立体几何
单选
1．（广东省广州市2023届高三二模）木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）
B． C． D．
【详解】如图：正四棱台，由题意可知：是底面正方形的中心也是球O的球心，
且,所以 ,进而可得
取的中点为，过的中点作，连接,
所以 ,,故,
在直角三角形中， 故，
由于,所以即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为，
故选：A
2．（广东省深圳市2023届高三二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.
正方体表面积为，所以，
所以，；
如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.
则，，所以，
所以，
所以，正四面体的表面积为，所以.
又为的中心，所以.
又根据正四面体的性质，可知，
所以，
所以，；
球的表面积为，所以，
所以，.
因为，
所以，，
所以，.
故选：B.
3．（山东省济南市2023届高三二模）17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
B． C． D．
【详解】由旋转体的概念可得：△OCD、阴影部分、半圆所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去同半径的半球、半球，易知OE=DE，
设DE=OE=r.
故，，，
显然，且.
故选：D.
4．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A选项，如下图所示，在正方体中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面，A满足；
对于B选项，如下图所示，连接，
在正方体中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，故，
因为、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，B满足；
对于C选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，
连接、、，
因为且，、分别为、的中点，
所以，且，故四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，所以，，则，
所以，、、、四点共面，
因为且，则四边形为平行四边形，所以，，
因为、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，C满足；
对于D选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，
连接、、、、、，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为、分别为、的中点，所以，，故，
所以，、、、四点共面，
同理可证，故，同理可得，，
反设平面，因为，且平面，则平面，
但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，D不满足.
故选：D.
多选
5．（广东省佛山市2023届高三二模）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图，
，而，，，
，
因为平面与平面的夹角为，则当时，，
当时，，
所以的值可能为，.
故选：AD
6．（广东省广州市2023届高三二模）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
【详解】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，
因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，，
因为点，分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于Ａ：因为，
，
所以，
当时，即，，取得最小值，故A错误；
对于B：若，则，
所以，
因为，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，
所以平面，即平面，故B正确；
对于C：若平面，则，即，
，即，
设平面的一个法向量为，因为，，
则，取，则，
因为，
所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，
又因为点为等边三角形的重心，
所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为，
则，即，解得，
所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，故C选项正确；
对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线平面，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，故D正确，
故选：BCD．
7．（广东省深圳市2023届高三二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为
【详解】由题意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，在中，，
，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
又因为平面，
则，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
故选：BD.
8．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值为
C．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
【详解】如图（1）所示，作平面，连接，
因为直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，
所以，即
所以，即，
以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图（2）平面直角坐标系，
设，，，
则，整理得，
可得圆心，半径，
设点圆与轴的交点分别为，可得，
因为，所以
又由且， 所以，
则，，所以A正确，B错误；
因为，可设，
设与平面所成角为，且，
可得，且，
又由
，
令，根据斜率的结合意义，可得表示圆与定点连线的斜率，
又由与圆相切时，
可得，解得或，即，
当时，此时取得最小值，即最小时，此时H在外部，
如图（3）所示，此时二面角的平面角为锐角，的平面角为钝角，所以C、D正确．
故选：ACD．
9．（山东省济南市2023届高三二模）如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．直线与可能垂直
D．若，则二面角的大小为
【详解】对于A，分别为中点，，
平面，平面，平面，A正确；
对于B，平面，平面，，
与为异面直线，B正确；
对于C，设菱形的边长为，又，则，
，，
，
，，
即与不可能垂直，C错误；
对于D，取中点，连接，
为等边三角形，，，
即为二面角的平面角，
设菱形的边长为，则，
，
，
又，，解得：，
二面角的大小为，D正确.
故选：ABD.
10．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，
四面体CDEF的体积，B错误；
对于C，过作于，如图，而，则，
又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，
又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，
当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，
因此，，
则，
令，则，而，即，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.
故选：AD
填空
11．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．
【详解】设棱长为2，则
所以原正方体的体积为，
所以二十四等边体为，
所以二十四等边体与原正方体的体积之比为．
故答案为：.
解答
12．（广东省佛山市2023届高三二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【详解】（1）因为平面，平面，
所以平面，又平面，
设平面平面，则，
设的中点为，连接，则，又，
所以，即为，就是应画的线，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面为直角梯形，又，
所以，，
所以，截面周长为；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面，设，又，
∴，，
由，可得，即，
即为的三等分点，连接，即就是应画的线.
13．（广东省广州市2023届高三二模）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）取中点，连接、，如图所示：
，点是的中点，
，
又是的中点，
，
又在直三棱柱中，有， 平面
，
平面，
平面，且面，平面平面，
，
平面，且平面，
，
又，且、平面，
平面，
又，
平面，
平面，
面平面.
（2）由（1）知平面，则，
设，则，，，
，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大，
此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则有，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则有，取，解得，
设直线与平面所成的角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
14．（广东省深圳市2023届高三二模）在三棱柱中，，，.
(1)证明:；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）设的中点为，连接
因为，所以，又因为且，
所以， 因为平面，且，
所以平面 ,因为 平面 ，
所以,又因为是的中点，
所以 .
（2）在中，由余弦定理求得则
因为，所以，解得,
在和中，可知.
在中，，因此.
由(1)知，，且平面，且，
所以平面 .
以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
所以,
设平面的法向量为,
则 ,
,
令，得.
设平面的法向量为,
则 ,
即
令，得 ,
设平面与平面夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
15．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
【详解】（1）取的中点Q，连接,
则有，且，又，且，
故，且，
则四边形EFPQ为平行四边形，则，
又平面，平面，故平面．
（2）取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则可得，，，，
由P为中点，故，
则，，，
设平面BFP的法向量，
则，即，故取，
故所求角的正弦值为，
所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．
16．（山东省济南市2023届高三二模）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，.
(1)证明：四边形MNFD为矩形；
(2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值.
【详解】（1）延长,则相交于一点,连接,
M，N分别为棱的中点，所以 且，
由于，所以又，
所以,所以四边形为平行四边形，
在三棱锥中，,所以,
进而得 ,又 ,因此
所以 ，故四边形为矩形
（2）由可知分别是的中点，
所以,
又四边形为正方形，所以，所以,
由于三棱锥为正三棱锥，且，因此三棱锥为正四面体，
因此直线BC与平面ACFD所成的角即为直线与平面所成角，
取的中心为,连接,则平面，所以为直线与平面所成角，
设四面体的棱长为 ，在中，由正弦定理可得， ，
在中，,
故直线BC与平面ACFD所成的角的正弦值为
17．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）
证明：取的中点为E，连结，
∵，∴，
在和中，
∴，∴，
∵的中点为E，∴，
∵，∴面，
∵面，∴
（2）
过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为
故平面与平面夹角的余弦值为.单选
5．（广东省广州市2023届高三二模）木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）
B． C． D．
4．（广东省深圳市2023届高三二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A． B． C． D．
6．（山东省济南市2023届高三二模）17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为O，ABCD是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD，阴影部分，半圆所形成的几何体的体积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
多选
10．（广东省佛山市2023届高三二模）四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
12．（广东省广州市2023届高三二模）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
11．（广东省深圳市2023届高三二模）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为
12．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有（ ）
A．三棱锥体积的最小值为
B．三棱锥体积的最大值为
C．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角
D．直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角
11．（山东省济南市2023届高三二模）如图所示，在菱形中，，分别是线段的中点，将沿直线折起得到三棱锥，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．直线与可能垂直
D．若，则二面角的大小为
12．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
填空
14．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．
则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______．
解答
20．（广东省佛山市2023届高三二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
20．（广东省广州市2023届高三二模）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（广东省深圳市2023届高三二模）在三棱柱中，，，.
(1)证明:；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
19．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值．
19．（山东省济南市2023届高三二模）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，.
(1)证明：四边形MNFD为矩形；
(2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值.
19．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
