皖北五校2023届高三下学期5月冲刺数学试题（一）（含解析）

皖北五校2023届高三下学期5月冲刺数学试题（一）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若i是虚数单位，复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面四边形中，，现将沿折起，并连接，使得平面平面，若所得三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．一条直线经过点，且与：相交所得弦长为，则此直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．或
6．若，，，则，的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
7．如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C．或 D．
二、多选题
10．某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组，小组）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则（ ）
A．小组打分的分值的众数为47
B．小组打分的分值第80百分位数为69
C．小组更像是由专业人士组成
D．小组打分的分值的均值小于小组打分的分值的均值
11．在正三棱柱中，，M，N，P分别为棱的中点，则错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥的体积为 D．平面截该正三棱柱所得的截面图形为五边形
12．已知抛物线C的顶点为O，焦点为F，圆F的圆心为F，半径为OF.平面内一点P满足，过P分别作C和圆F的切线，切点分别为M，N（均异于点O），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．M，N，F三点共线 D．
三、填空题
13．已知，则的最小值为_______.
14．设函数，则使得成立的的取值范围是___________
15．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．
16．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．
四、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求△ABC的周长；
(2)已知，且边BC上有一点D满足，求AD.
19．2022年8月9日，美国签署《2022年芯片与科学法案》，对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力.某企业原有400名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员最多有多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情，企业决定：研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求满足条件的的最大值，并说明理由.
20．如图，四棱锥中，平面，，E为中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
21．已知直角坐标平面内的两点，.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.
22．已知函数．
(1)讨论的最小值；
(2)设有两个零点，证明：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】解出两个集合中的不等式，再求两个解集的交集.
【详解】不等式解得，，，
不等式解得，，
。
故选：D
2．B
【分析】先利用复数的除法求出的代数形式，再代入求模即可.
【详解】由已知，
.
故选：B.
3．B
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求的系数.
【详解】因为的展开式的通项公式为，
令可得，所以的系数为.
故选：B.
4．C
【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积.
【详解】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC 平面ABC，
∴BC⊥平面ACD，
又∵AD 平面ACD，∴AD⊥BC，
又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC 平面BCD，DC 平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又∵BD 平面BCD，∴AD⊥BD，即为直角，
又∵为直角，
∴取的中点，连接OC，OD，
由直角三角形的斜边上的中线性质OA=OB=OC=OD，
可得为三棱锥外接球的球心，
由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，
∴，
∵BC⊥平面ACD，为直角，
∴三棱锥的体积为
故选：C
5．D
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由弦长求得弦心距，设出直线方程，由点到直线的距离公式即可得到直线方程．
【详解】解：化圆为标准方程，
可得圆心坐标为，半径为2．
所求直线与圆相交所得弦长为，半径为2，
弦心距为．
当直线斜率不存在时，直线方程为，显然适合题意
当直线的斜率存在时，设直线方程为．
即．
弦心距，解得．
即直线方程为：
综上：所求直线方程为或．
故选：D．
6．B
【分析】根据向量的夹角公式即可求出．
【详解】由题意可得，，由于向量夹角的范围为，
所以向量与的夹角为．
故选：B．
7．B
【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于 ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.
【详解】
取的中点D，连接交于点E，连接DE，
则 且，则为异面直线与所成的角或其补角．
易求，，则，
所以.
故选：B．
8．B
【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，
利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知
，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.
【详解】不等式，可化为，
设，则，
即在上单调递增，而，
因为，所以，
由已知恒成立，
令，则，
当时，即递减；
当时，即递增；
∴，
故只需，即．又，
所以的取值范围为.
故选：B
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立 ；
(2)恒成立
9．B
【分析】先利用诱导公式和商数关系求得，再利用二倍角的正切公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
10．AC
【分析】由众数的定义判断A；由百分位数的定义判断B；根据数据波动性大小判断C；计算两组均值判断D，进而可得正确选项.
【详解】由折线图知，小组打分的分值分别为：，
小组打分的分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，
对于A：小组打分的分值的众数为47，故选项A正确；
对于B：小组打分的分值第80百分位数为，所以应排序第，所以小组打分的分值第80百分位数为70，故选项B不正确；
对于C：小组打分的分值比较均匀，波动较小，故小组更像是由专业人士组成，故选项C正确；
对于D：小组打分的分值的均值小于，
小组打分的分值均值为
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D不正确；
故选：AC.
11．CD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由空间向量法判断选项AB，由求得棱锥体积判断选项C，作出截面判断选项D．
【详解】取中点，连接，则，又平面与平面垂直，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内且与平行，由已知，
因此有，，，，，，，，
，，，
设平面一个法向量为，
则，取，则，
，即与平面的法向量不垂直，因此与平面不平行，选项A错误；
又，，因此与不平行，从而与平面不垂直，选项B错误；
由正棱柱性质知到平面的距离为，即到平面的距离等于，而是中点，则到平面的距离为，
又，
所以，选项C正确；
设直线与直线和直线分别交于点，如下图．连接交于，连接交于，则五边形是平面截该正三棱柱所得的截面，
选项D正确；
故选：CD．
12．ABC
【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设，切线PM的方程，利用直线与抛物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点P的坐标，结合、、、、，利用平面向量的坐标表示化简计算，依次求解即可.
【详解】设抛物线方程为，则，
所以圆F的方程为，即.
设切点分别为，则，，
有，.
易知两条切线的斜率存在，设切线PM的方程为，
则，消去x，得，
，整理得，
即，得，即，
所以切线PM的方程为，即.
同理可得切线PN的方程为，
令，分别得，，
由，知点P在y轴上，为，由，得，有.
又，，
所以与共线，即，故A正确；
又，，
所以，即，故B正确；
又，
，
所以与共线，所以三点共线，故C正确；
因为，三点共线，所以，得，
所以，
得，
有，所以不成立，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解决有关空间中位置关系或距离关系的问题.
13．2
【分析】设，，将所求表达式转化为与上两点距离的平方，再利用导数的几何意义求解即可
【详解】设，，则在函数的图象上，在函数的图象上，易知与的图象关于直线对称，，令，则，，由对称性知，最小时，，，所以的最小值为．
故答案为：2
14．
【分析】证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解．
【详解】的定义域是，
，是偶函数，
时，设，
，，，从而，
所以，即，是增函数，
不等式化为，
所以，，解得．
故答案为：
15．
【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.
【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，
则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，
所以，
；
故答案为：.
16．/
【分析】过点作于点，于点，设，分别表示出，，，，根据两角差的正切公式表示出，求出的最大值，结合在的单调性得出此时最大，即可求得答案．
【详解】过点作于点，于点，如图所示，
设，则 ，由题可知，，，
易得四边形为矩形，
所以，，，
所以，
则，，
所以
，
设，则，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，即，
所以当时，即，最大，
由题可知，，
因为在上单调递增，
所以最大时，最大，
所以时，到达最佳射门位置，
故答案为：．
17．(1)；
(2).
【分析】(1)根据等差数列的通项公式与前和公式结合已知条件求出首项和公差，进而即可求出通项公式；
(2)由(1)得，再利用分组求和法即可求得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
若选择条件①，
由题可得，解得，
若选择条件②，
由题可得，解得，
.
（2）由(1)知，选择两个条件中的任何一个，都有，
则，
18．(1)9；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式，正弦定理边化角，结合二倍角正弦求出A，再利用余弦定理求解作答.
（2）由余弦定理求出a，由面积关系可得，再利用余弦定理建立方程组求解作答.
【详解】（1）由可得：，
又，得，由正弦定理得，
因为，即有，显然，又，有，
于是，即，则，若，由余弦定理，
得，解得，
所以△ABC的周长为9.
（2）设，则，由（1）知
在△ABC中，由及余弦定理得：，即，
由，知，
在△ABD中，，即，
在△ADC中，，即，
联立解得，，
所以.
19．(1)300；
(2)7，理由见解析.
【分析】（1）根据题意可得，解不等式可得结果；
（2）由题意得，化简得在时恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）根据题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则
，
解得，
因为且，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的技术人员最多300人；
（2）由条件可知研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得
，
两边同除以，得
，
整理得，
即在时恒成立，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以满足条件的的最大值为7.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，，可得平面.
（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接，如图所示：
中，，
，为等腰三角形，E为中点，∴，
平面，平面，∴
，平面，
所以平面.
（2）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
有，，，，，，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为 ，
则，令，得 ,∴,
二面角的平面角为，，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而求出方程；
（2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．
【详解】（1）∵，
∴中点为.且.
∴线段的中垂线的斜率为1，
∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.
（2）∵关于轴的对称点，
∴
所以直线的方程为：，
即反射光线所在的直线方程为
22．(1)当时，无最小值；当时，取最小值
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用换元法可得：令，由，，故在上递增，因此，所以，则，分，和进行讨论即可得解；
（2）根据题意由（1）可得有两个零点即两个零点，，
且，，则原不等式等价于，利用换元法证明即可.
【详解】（1）因为，，
令，，，
故在上递增，因此．
，则，
①若，则，所以在上无最小值；
②若，则，恒成立，在上递增，
当，，此时在上无最小值；
③若，则当时，，递减，
当时，，递增，
所以当时，取最小值即取最小值．
综上，当时，无最小值；当时，取最小值．
（2）有两个零点两个零点，，
且，．
．
由，两式相加得，
两式相减得，
因此，
所以即证．
不妨设，则，
则只需证，即．
设，，
则，
在上递增，则，
所以原不等式即得证．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，考查了转化思想.要求较高计算能力，属于难题.本题的关键点有：
（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；
（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.
答案第1页，共2页
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