皖北五校2023届高三下学期5月冲刺数学试题（五）（含解析）

皖北五校2023届高三下学期5月冲刺数学试题（五）
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
3．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若，，球O的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．若单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则( )
A． B． C． D．
9．某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组，小组）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则（ ）
A．小组打分的分值的众数为47
B．小组打分的分值第80百分位数为69
C．小组更像是由专业人士组成
D．小组打分的分值的均值小于小组打分的分值的均值
11．如图，在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ）
A．与为共面直线
B．平面∥平面
C．三棱锥的体积为定值
D．与平面所成角的正切值为
12．已知抛物线C的顶点为O，焦点为F，圆F的圆心为F，半径为OF.平面内一点P满足，过P分别作C和圆F的切线，切点分别为M，N（均异于点O），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．M，N，F三点共线 D．
三、填空题
13．函数与有公切线，则实数的值为__________．
14．定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______．
15．甲、乙两人进行围棋比赛，采用局制．已知每局比赛甲胜的概率为，且第一局比赛甲胜，则最终甲获胜的概率是_____．
16．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择．若选择线路，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．
四、解答题
17．已知为等差数列，且．
(1)求的首项和公差；
(2)数列满足，其中、，求．
18．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值.
(1)；
(2).
19．chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球， chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：， ，其中，，且.第一阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向.
(1)若已知某单个样本，共真实分布，共预测近似分布，计算该单个样本的交叉损失函数Loss的值；
(2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT的回答被采纳的概率为50%.
①求chatGPT的回答被采纳的概率；
②已知chatGPT的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率.
参考数据：.，
20．如图所示，在四棱锥中，平面平面，，且，设平面与平面的交线为．
(1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面；
(2)记与平面的交点为，点S在交线上，且，当二面角的余弦值为，求的值．
21．已知三个顶点是，，
(1)求BC边上的垂直平分线的直线方程：
(2)求点A到BC边所在直线的距离及的面积.
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数有两个极值点，证明：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据指数函数性质解指数不等式得集合，再根据交集的概念运算即可.
【详解】解：由于，所以，则，又，
所以.
故选：B.
2．A
【分析】利用复数的模公式及复数的除法法则，结合复数的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
由，得，
所以复数z的虚部为.
故选：A.
3．C
【分析】由已知条件可知为展开式中的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得出答案.
【详解】解：由已知条件可知为展开式中的系数，
则
.
故选：C.
4．D
【分析】利用球的表面积公式及直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，结合勾股定理及重要不等式，再利用棱锥的体积公式即可求解.
【详解】设球的半径为,则，所以，
因为，，
所以的外接圆的半径为，
所以点到平面的距离为，
设，则，所以，当且仅当成立
所以三棱锥的体积为.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意分析可得，则，根据垂径定理和点到直线的距离公式计算求解．
【详解】设圆心O到直线l的距离为d，
∵，则以为邻边的平行四边为菱形，即
由，即，则
又由垂径定理可知，即
解得
则，解得．
故选：A．
6．B
【分析】先求出，然后用夹角公式求解.
【详解】由，得，
所以，所以，
又，所以.
故选：B.
7．C
【分析】由平面，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可求得外接球的表面积.
【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球，为上下底面的外心，
为的中点，为底面外接圆的半径，
由余弦定理得
由正弦定理得，由，得，
所以球的表面积为．
故选：C
8．B
【分析】对于a和c，可构造函数，利用导数判断其单调性即可判断a、c大小；，可构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．
【详解】①令，
令，
，
当时，单调递增，
又，∴，又，
∴在成立，∴，即；
②令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
③令，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，
即，∴，∴．
故选：B．
9．C
【分析】根据函数的对称性即特殊点的函数值，利用排除法即可得解.
【详解】解：有图象可知，函数图像关于y轴对称，即函数为偶函数，
对于A，，故函数为偶函数，
当时，，，则，与图像矛盾，故排除A；
对于B，，所以函数为奇函数，故排除A；
对于C，，故函数为偶函数，
当时，，，则，符合题意，故C符合；
对于D，，所以函数为奇函数，故排除D.
故选：C.
10．AC
【分析】由众数的定义判断A；由百分位数的定义判断B；根据数据波动性大小判断C；计算两组均值判断D，进而可得正确选项.
【详解】由折线图知，小组打分的分值分别为：，
小组打分的分值分别为：，
按照从小到大的顺序排列为：，
对于A：小组打分的分值的众数为47，故选项A正确；
对于B：小组打分的分值第80百分位数为，所以应排序第，所以小组打分的分值第80百分位数为70，故选项B不正确；
对于C：小组打分的分值比较均匀，波动较小，故小组更像是由专业人士组成，故选项C正确；
对于D：小组打分的分值的均值小于，
小组打分的分值均值为
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D不正确；
故选：AC.
11．BC
【分析】根据棱柱的结构特征可得，即可判断A；利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断B；由题意得点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，即可判断C；建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角，即可判断D．
【详解】对于A：连接，如图所示：
，分别为，的中点，，
在正方体中，，
，而，与为异面直线，故A错误；
对于B：连接，
点，分别为，的中点，，又，
平面，平面，∥平面，
由选项A得，平面，平面，∥平面，
又，平面，平面，平面∥平面，故B正确；
对于C：由选项B得∥平面，
点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，
，
，故D错误．
故选：BC．
12．ABC
【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设，切线PM的方程，利用直线与抛物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点P的坐标，结合、、、、，利用平面向量的坐标表示化简计算，依次求解即可.
【详解】设抛物线方程为，则，
所以圆F的方程为，即.
设切点分别为，则，，
有，.
易知两条切线的斜率存在，设切线PM的方程为，
则，消去x，得，
，整理得，
即，得，即，
所以切线PM的方程为，即.
同理可得切线PN的方程为，
令，分别得，，
由，知点P在y轴上，为，由，得，有.
又，，
所以与共线，即，故A正确；
又，，
所以，即，故B正确；
又，
，
所以与共线，所以三点共线，故C正确；
因为，三点共线，所以，得，
所以，
得，
有，所以不成立，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解决有关空间中位置关系或距离关系的问题.
13．4
【分析】根据题意，设两个函数的切点分别为、，求出函数的导数，由的导数分析可得的值，即可得公切线为，据此可得关于的方程组，解可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，函数与有公切线，
设切点分别为，，，，
；
所以且，
所以公切线为，
则有，
设，
则在 上递增，
又，故，，
故答案为：4
14．（答案不唯一）
【分析】根据性质①②可知，为奇函数且函数图像关于对称，即可得到结果.
【详解】因为，即满足性质①
又因为，
，且
所以，即满足性质②
故答案为:
15．
【分析】“最终甲获胜”的对立事件为“最终乙获胜”，由对立事件的概率可得结果.
【详解】“最终甲获胜”的对立事件为“最终乙获胜”，所以“最终甲获胜”的概率.
故答案为：.
16．/
【分析】过点作于点，于点，设，分别表示出，，，，根据两角差的正切公式表示出，求出的最大值，结合在的单调性得出此时最大，即可求得答案．
【详解】过点作于点，于点，如图所示，
设，则 ，由题可知，，，
易得四边形为矩形，
所以，，，
所以，
则，，
所以
，
设，则，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，即，
所以当时，即，最大，
由题可知，，
因为在上单调递增，
所以最大时，最大，
所以时，到达最佳射门位置，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等差数列的通项公式；
（2）先化简数列的通项公式，利用裂项求和法求出，利用并项求和法求出、的值，即可得出的值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
由可得，即，
所以，，解得，.
（2）因为，则，
所以
；
；
.
因此，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；
（2）由诱导公式计算即可.
【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以.
；
（2）.
19．(1)0.356
(2)①0.88；②.
【分析】（1）利用交叉损失函数公式即可求得该单个样本的交叉损失函数Loss的值；
（2）利用全概率概率公式即可求得chatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式即可求得该测试输入的问题没有语法错误的概率.
【详解】（1）由题意，该单个样本的交叉损失函数：
（2）记事件A：charGPT中输入的语法无错误：事件B：charGPT中输入的语法有错误；
事件C：chatGPT的回答被纳
依题意：，，，.
①由全概率公式得，chatGPT的回答被采纳的概率为
，
②依题意，.
所以该测试输入的问题没有语法错误的概率为.
20．(1)直线即为所求作的直线，证明见解析
(2)
【分析】（1）延长AB、DC交于Q点，即可得到交线，通过证明，即可证明线面垂直；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量得出，解方程即可.
【详解】（1）延长，交于点，连结，则直线即为所求作的直线：
因为，所以
又因为，所以，分别为，中点，
且为正三角形，所以，
又，平面平面且交线为，且平面，
所以平面，
且面PAB，所以，
又，且平面，平面,
所以平面，即平面：
（2）取的中点，连结，则，
又平面平面且交线为，且平面，
所以平面，
以为原点，，所在直线为，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
由，得，
所以，，
显然平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即
取，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，解得
所以当二面角的余弦值为时，
21．(1)
(2)，
【分析】（1）先利用坐标求解，利用垂直关系求得BC边上的垂直平分线的斜率为：，再求解BC的中点D的坐标，即得解；
（2）利用点到直线距离公式求解点A到BC边所在直线的距离，即为的高，的底边长为，求解即可
(1)
∵，，∴，
则BC边上的垂直平分线的斜率为：
又BC的中点D的坐标为，
所以BC边的中垂线所在的直线方程为：，即为
(2)
直线BC的方程为：，即
则点到直线的距离为：
，
故面积为
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据确定或，再对进行分类讨论，讨论求出函数的单调性；
（2）对求导，结合的极值点个数得到在上有两个不等实根，得到，，，表达出，只需证，构造，，研究其单调性，求出，由对勾函数的单调性证明出结论.
【详解】（1）定义域为，且
，
令得，或，
①当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
②当时，，在单调递增，
③当时，与，，单调递增，
，，单调递减，
综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；
（2）由已知，，则，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需，故，
又，，
所以
，
要证，即证，
只需证，
令，，
则，
令，则恒成立，
所以在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理得，使得，
即，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
则，
∵由对勾函数知在上单调递增，
∴，
∴，即，得证．
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页