专题27 命题与证明、轨迹（选择题30题）（含解析）-【冲刺2023中考】真题冲刺专题（知识点+专题训练）

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【真题汇编】2023年中考数学备考之命题与证明、轨迹
1．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
3．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
【真题汇编】2023年中考数学备考之命题与证明、轨迹
（选择题30题）
满分：120分 建议时间：100分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一．命题与定理（共11小题，满分44分，每小题4分）
1．（4分）（2022 绥化）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2．（4分）（2022 梧州）下列命题中，假命题是（　　）
A．﹣2的绝对值是﹣2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
3．（4分）（2022 上海）下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
4．（4分）（2022 无锡）下列命题中，是真命题的有（　　）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．（4分）（2022 岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
6．（4分）（2022 衡阳）下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
7．（4分）（2022 达州）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
8．（4分）（2022 盘锦）下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
9．（4分）（2022 通辽）下列命题：
①（m n2）3＝m3n5
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则x≥1
其中假命题的个数是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
10．（4分）（2022 台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
11．（4分）（2022 呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．推理与论证（共4小题，满分16分，每小题4分）
12．（4分）（2018 淄博）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
13．（4分）（2018 嘉兴）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
14．（4分）（2017 宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（4分）（2018 台湾）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（　　）
A．只使用苹果
B．只使用芭乐
C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多
D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多
三．反证法（共2小题，满分8分，每小题4分）
16．（4分）（2018 嘉兴）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
17．（4分）（2017 山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（　　）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
四．轨迹（共13小题，满分52分，每小题4分）
18．（4分）（2020 台湾）如图表示平面上A、B两点与直线L的位置关系，其中B点在L上．若有一动点P从A点开始移动，移动过程中与B点的距离保持不变，则下列关于P点移动路径的叙述，何者正确？（　　）
A．在与直线L平行且通过A点的直线上
B．在与直线L垂直且通过A点的直线上
C．在以B点为圆心且通过A点的圆上
D．在以AB为直径的圆上
19．（4分）（2018 荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）
A． B． C．1 D．2
20．（4分）（2017 桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）
A． B．2 C．π D．π
21．（4分）（2017 达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
22．（4分）（2016 通辽）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝6，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A．288π B．294π C．300π D．396π
23．（4分）（2020 南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
24．（4分）（2019 泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
25．（4分）（2020 桂林）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（　　）
A．π B．π C．2π D．2π
26．（4分）（2017 巴彦淖尔）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
27．（4分）（2022 大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（　　）
A．4π B．8 C．8π D．16
28．（4分）（2020 淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（　　）
A．2π+2 B．3π C． D．+2
29．（4分）（2019 武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　）
A． B． C． D．
30．（4分）（2022 滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　）
A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
【真题汇编】2023年中考数学备考之命题与证明、轨迹（选择题30题）
参考答案与试题解析
一．命题与定理（共11小题，满分44分，每小题4分）
1．（4分）（2022 绥化）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【解析】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
故选：B．
2．（4分）（2022 梧州）下列命题中，假命题是（　　）
A．﹣2的绝对值是﹣2
B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形
D．如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b
【解析】解：﹣2的绝对值是2，故A是假命题，符合题意；
对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；
如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b，故D是真命题，不符合题意；
故选：A．
3．（4分）（2022 上海）下列说法正确的是（　　）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
【解析】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
4．（4分）（2022 无锡）下列命题中，是真命题的有（　　）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【解析】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：B．
5．（4分）（2022 岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【解析】解：A．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：A．
6．（4分）（2022 衡阳）下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【解析】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：C．
7．（4分）（2022 达州）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若a＜b，则ac2＜bc2
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【解析】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
C、若a＜b，c＝0时，则ac2＝bc2，原命题是假命题；
D、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，是真命题；
故选：D．
8．（4分）（2022 盘锦）下列命题不正确的是（　　）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【解析】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
9．（4分）（2022 通辽）下列命题：
①（m n2）3＝m3n5
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则x≥1
其中假命题的个数是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【解析】解：①（m n2）3＝m3n6，故原命题错误，是假命题，符合题意；
②数据1，3，3，5的方差为2，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），正确，是真命题，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑤若使代数式在实数范围内有意义，则x≥1，正确，是真命题，不符合题意，
假命题有2个，
故选：C．
10．（4分）（2022 台州）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
【解析】解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
AD⊥BC，即PD⊥BC，
又PB＝PC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
11．（4分）（2022 呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：（1）根据题意得：0.9×1.1a﹣0.85a＝0.14a，故①是正确的；
（2）如图：
设∠EDC＝x，则∠AED＝x+60°，
∵AD＝AE
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠DAC＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2x﹣120°＝60﹣2x．
∴∠BAD＝60°﹣∠DAC＝2x＝2∠EDC．
故②是错误的．
（3）如图：D为BC的中点，两边为AB，AC；
把AD中线延长加倍，得△ACD≌△EBD，
所以AC＝BE，所以△ABE与对应三角形全等，得∠BAE和∠E与对应角相等，进而转化为∠BAC与对应角相等再根据两边及夹角相等，两个三角形全等，
故③是正确的．
（4）设该列自然数为a，则新数为，则a﹣＝＝，
∵0≤a≤55，
∴原数与对应新数的差是先变大，再变小．
故④是错误的．
故选：B．
二．推理与论证（共4小题，满分16分，每小题4分）
12．（4分）（2018 淄博）甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选：D．
13．（4分）（2018 嘉兴）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，
∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，
∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，
∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，
∴与乙打平的球队是甲与丁．
故选：B．
14．（4分）（2017 宁波）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a＝b+x，y﹣a+x+a＝y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
15．（4分）（2018 台湾）小柔要榨果汁，她有苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，已知小柔榨果汁时没有使用柳丁，关于她榨果汁时另外两种水果的使用情形，下列叙述何者正确？（　　）
A．只使用苹果
B．只使用芭乐
C．使用苹果及芭乐，且使用的苹果颗数比使用的芭乐颗数多
D．使用苹果及芭乐，且使用的芭乐颗数比使用的苹果颗数多
【解析】解：∵苹果、芭乐、柳丁三种水果，且其颗数比为9：7：6，
∴设苹果为9x颗，芭乐7x颗，柳丁6x颗（x是正整数），
∵小柔榨果汁时没有使用柳丁，
∴设小柔榨完果汁后，苹果a颗，芭乐b颗，
∵小柔榨完果汁后，苹果、芭乐、柳丁的颗数比变为6：3：4，
∴，，
∴a＝9x，b＝x，
∴苹果的用量为9x﹣a＝9x﹣9x＝0，
芭乐的用量为7x﹣b＝7x﹣x＝x＞0，
∴她榨果汁时，只用了芭乐，
故选：B．
三．反证法（共2小题，满分8分，每小题4分）
16．（4分）（2018 嘉兴）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
【解析】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．
故选：D．
17．（4分）（2017 山西）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机，是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．于是（）2＝（）2＝2，所以，q2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（　　）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
【解析】解：由题意可得：这种证明“是无理数”的方法是反证法．
故选：B．
四．轨迹（共13小题，满分52分，每小题4分）
18．（4分）（2020 台湾）如图表示平面上A、B两点与直线L的位置关系，其中B点在L上．若有一动点P从A点开始移动，移动过程中与B点的距离保持不变，则下列关于P点移动路径的叙述，何者正确？（　　）
A．在与直线L平行且通过A点的直线上
B．在与直线L垂直且通过A点的直线上
C．在以B点为圆心且通过A点的圆上
D．在以AB为直径的圆上
【解析】解：∵动点P从A点开始移动，移动过程中与B点的距离保持不变，
∴AB＝BP，
∴点P在以B点为圆心且通过A点的圆上，
故选：C．
19．（4分）（2018 荆门）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）
A． B． C．1 D．2
【解析】解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM＝PQ，CM＝PQ，
∴OM＝CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长＝AB＝1．
故选：C．
20．（4分）（2017 桂林）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）
A． B．2 C．π D．π
【解析】解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，
当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°，
∴∠BOG＝120°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
21．（4分）（2017 达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）
A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π
【解析】解：∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝BD＝5，
转动一次A的路线长是：＝2π，
转动第二次的路线长是：＝π，
转动第三次的路线长是：＝π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：π+π+2π＝6π，
∵2017÷4＝504…1，
∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：6π×504+2π＝3026π，
故选：D．
22．（4分）（2016 通辽）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝6，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转99次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A．288π B．294π C．300π D．396π
【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝BD＝10，
转动一次A的路线长是：＝4π，
转动第二次的路线长是：＝5π，
转动第三次的路线长是：＝3π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：4π+5π+3π＝12π，
99÷4＝24余3，
顶点A转动四次经过的路线长为：12π×25＝300π．
故选：C．
23．（4分）（2020 南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【解析】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝＝π，
故选：A．
24．（4分）（2019 泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【解析】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，
∴∠DP2P1＝90°，
∴∠DP1P2＝45°，
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长，
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2，
∴PB的最小值是2．
故选：D．
25．（4分）（2020 桂林）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（　　）
A．π B．π C．2π D．2π
【解析】解：如图，设的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB'
∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，
根据垂径定理，得
AC＝AB＝4，PO⊥AB，
OC＝＝3，
∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
∴AP＝＝2，
∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
∴LPP′＝＝π．
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．
故选：B．
26．（4分）（2017 巴彦淖尔）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点A的坐标为（﹣2，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝2，那么当P点运动一周时，点Q运动的总路程是（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
【解析】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝2，
∴AB＝4，BO＝2，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为2，
②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C时，
∵∠ABO＝30°
∴∠BAO＝60°
∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°，
∴cos30°＝，
∴AQ＝＝4，
∴OQ＝4﹣2＝2，
则点Q运动的路程为QO＝2，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝4﹣2，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝2，
∴点Q运动的总路程为：2+2+4﹣2+2＝8．
故选：D．
27．（4分）（2022 大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（　　）
A．4π B．8 C．8π D．16
【解析】解：如图，当点N在x轴的正半轴上或原点时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．
∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM，
∴QT＝ON，QR＝OM，
∴QT+QR＝（OM+ON）＝4，
∴x+y＝4，
∴y＝﹣x+4，
∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，
∵直线y＝﹣x+4与坐标轴交于（0，4），（4，0），
∴点Q运动路径的长＝＝4，
当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长＝＝4，
综上所述，点Q的运动路径的长为8，
故选：B．
28．（4分）（2020 淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的运动路径的长是（　　）
A．2π+2 B．3π C． D．+2
【解析】解：如图，
点O的运动路径的长＝的长+的长+O1O2的长
＝++
＝，
故选：C．
29．（4分）（2019 武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
作等腰Rt△ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
故选：A．
30．（4分）（2022 滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　）
A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
【解析】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a），
∵EG＝FG，
∴G（a，﹣a），
∴点G在直线y＝﹣x+上运动，
∴点G的运动轨迹是线段，
故选：A．
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