河北省保定市高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

崇德实验中学2023届高三下学期期中考试
数学试题
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答
第I卷（选择题共60分）
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则（ ）
A.9 B.6 C.5 D.3
3.已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B.1 C. D.2
4.把一枚硬币任意掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现正面”，则（ ）
A. B. C. D.
5.某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行2千米到达处，则处与处之间的距离为（ ）
A.1千米 B.2千米 C.3千米 D.6千米
6.点到直线距离的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.
7.若与的夹角为钝角，则的取值可能是（ ）
A.5 B.4 C.3 D.6
8.已知椭圆的左右焦点为，直线与椭圆相交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
10.下列命题中，正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.已知二项式的展开式中（ ）
A.含项的系数为28
B.所有项的系数和为1
C.二项式系数最大的项是第五项
D.系数最大的项是第六项
12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到
B.，则
C.是偶函数
D.在区间上单调递增
第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则__________.
14.函数的最小值为__________.
15.已知向量，则以为邻边的平行四边形的面积为__________.
16.一个三位自然数，百位 十位 个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________.
四 解答题：
17.（本题10分）
设函数，已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若的内角所对的边分别为（其中），且的面积为，求的值.
18.（本题12分）
在等差数列中，为的前项和，，数列满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（本题12分）
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20.（本题12分）
如图，已知斜三棱柱底面是边长2的正三角形，为所在平面上一点且四边形是菱形，，四边形为正方形，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21.（本题12分）
已知椭圆的离心率为为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.
22.（本题12分）
函数.
（1）若，求函数的最大值；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围.
高三数学试题参考答案
1.C（考察一元二次方程的解法 集合的运算）
【详解】因为，又，
所以.
故选：C.
2.B（考察两向量平行的充要条件）
【详解】解：因为向量，且，所以，解得.
故选：B
3.A（考察幂函数的定义）
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，又因为的图象经过点，
所以，得，所以.
故选：A
4.C（考察条件概率的计算）
【详解】由题意知，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是.
故选：C
5.A（考察方向角 余弦定理）
【解析】画出方向向量，利用余弦定理，列方程求解即可.
【详解】解：如图所示，
中，，
由余弦定理可得：
，
解得，所以处与处之间的距离为1千米.
故选：A.
6.D（主要考查点到直线的距离公式，考查三角函数求最值）
【详解】点到直线距离，
化简得，
其中满足，当时取得最大值，即.
故选：D
7.C（考察向量的夹角 向量的数量积的运算）
【详解】若与的夹角为钝角，则，
解得，当时，若与共线，则，解得，
故若与的夹角为钝角，等价于错误，正确.
故选：C.
8.D（考察了椭圆的性质，余弦定理，椭圆离心率的求法）
【详解】
设椭圆的右焦点，连接，，由根据平行四边形性质得到
，由余弦定理定理，
由三边关系得到，
则，
椭圆的离心率，
故选.
9.CD（考查了由集合元素个数求参数值，考查了分类讨论的思想）
【详解】
当时，即，解得，
当时，代入方程解得，满足题意；
当时，方程无解，不满足题意；
当时，即，即，
整理可得，解得，满足题意；
故选：BC
10.BD（考察不等式的性质）
【详解】A错误，，则，
B正确，由得，又，故成立，
错误，由得，又，则，
D正确，由得，又，故，即成立.
故选：BD.
11.BC（考察二项式定理）
【详解】二项式的展开式的通项公式为.
对于A：含项为.故错误；
对于B：在二项式的展开式中，令，可得所有项的系数和为1.故正确；
对于：二项式的展开式一共有9项，由二项式系数的性质可得，二项式系数最大的项是第五项.故C正确；
对于D：每一项的系数记为.显然为奇数，为偶数，.要求系数最大的项，只需比较为偶数的情况：
时，时，时，；
时，时，.
故系数最大的项为第七项.故D错误.
故选：BC.
12.AD（考察三角函数图像变换 单调性 周期性 奇偶函数的判定）
【详解】对于的图象向右平移个长度单位得到，故A正确，
对于B，因为，由可知为最值，
又，故，故B错误，
对于为奇函数，故错误，
对于，故在区间上单调递增，正确，
故选：AD
13.2（考察拋物线定义）
【详解】由抛物线的定义可得，解得.
14.（考查分段函数最小值的求法）
【详解】由题意可知时，，函数的最小值为-1，
当时，当且仅当时取等号，
又，所以函数的最小值为：.
故答案为.
15.（考察向量的数量积 向量的夹角）
【详解】，故，
故以为邻边的平行四边形为矩形，面积为.
故答案为：
16.（古典概型 排列组合）
【详解】，且互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：，，共24个数字，
其中为“凹数”的有，共8个，
所以所求概率为，
故答案为：
17.（1）（2）
（考察二倍角公式 三角形面积公式 余弦定理的应用）
（1）.
由题设，，则.
（2）由题设，，则或，
或，又，
由，则，
，则，
，解得或，又，可得，故.
综上，.
18.（1）（2）
（考察等差数列的通项公式和前项和公式可求数列的通项公式，错位相减法求数列的前项和）
【详解】（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以，①
则当时，②
①-②得：，则，而当时，，则，满足上式.
所以.
（2）记，
19.（综合考察了列联表 独立性检验 及分布列和期望）
【详解】（1）列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意得3人进球总次数的所有可能取值为，
，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为.
20.（1）证明见解析；（2）.
（主要考察平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的判定定理以及用空间向量求两平面成角的正弦值）
【详解】解：（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，
因为四边形为正方形，
所以，而与相交于平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为平面平面，交线为，
所以平面，又因为平面平面，
所以平面，
因为且，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
（2）以为原点，所在的直线方向为轴，垂直的直线方向为轴，建立如图空间直角坐标系，
则.
在中，，
则，
则，
设平面的法向量为，
由，令，
易见，平面的法向量为，
所以
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
21.（1）；（2）存在；.
（考察弦长公式以及点到直线的距离公式 三角形的面积公式，韦达定理 二次函数的性质）
【详解】（1）由，可设，则，
方程化为
又点在椭圆上，则，解得
因此椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为
联立直线和椭圆的方程消去得，
化简得：
当时，取得最大值，即此时
又，
则
即
令则
因此此时平面内存在两点使得.
当直线的斜率不存在时，设，则
，即当取得最大值.
此时中点的坐标为，满足方程
因此此时平面内存在两点使得.
综上，平面内存在两定点，使为定值
22.（1）；（2）.
（考察函数的单调性和最值以及含参数的恒成立问题）
【详解】（1），故.
由得，；由得，.
在递增，在递减..
（2）在恒成立
在恒成立.
设，则.
当时，，且.
当时，，设.
在递增，又，使得.
当时，；当时，.
当时，；当时，.
函数在递增，在递减，在递增.
由得，且.
，又
则当时，，则的取值范围是.