上海市上外附属浦东外国语2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

浦东外国语2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷
2023.4
一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，一共34分）
1．已知，则______．
2．若的展开式中含有常数项，则满足条件的n的最小值为______．
3．若的展开式中的系数是，则______．
4．设，则______．
5．______．
6．有5张卡片，每张卡片的正反两面分别标有两个数字，且第i张卡片上的两个数字分别为和．用这五张卡片排成一排，一共可以组成______个不同的五位数（用数字作答）．
7．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，安排到四个不同场所为大众服务，那么不同的安排方案有______种（用数字作答）．
8．已知对任意成立，求实数a的取值范围为______．
9．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且．则不等式的解集是______．
10．对于，将n表示为，当时，．当时，为0或1．记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）．若，则______．
二、选择题（每题4分，一共24分）
11．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）．
A．2 B． C． D．
12．如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统、K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）．
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
13．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）．
A． B． C． D．
14．设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）．
A． B， C． D．
15．设在处有导数，则（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
三、解答题
17．（本题满分为8分）
某厂生产某种产品x件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量为多少时总利润最大？
18．（本题满分为8分，其中第1小题为4分，第2小题为4分）
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好，否则评为及格．假设此员工对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．
19．（本题满分为12分，其中第1小题为6分，第2小题为6分）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
20．（本题满分为14分，其中第1小题为4分，第2小题为4分，第3小题为6分）
已知是函数的一个极值点．
（1）求a；
（2）求函数的单调区间；
（3）若直线与函数的图象有3个交点，求b的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.；2.7；3.1；4.-2；5.；6.3456；7.1080；8.；9.；
10.1093；
9．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且．则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】令,则,
因此函数在上是奇函数.
当时,,在时单调递增,
故函数在上单调递增.
当时,函数在上是奇函数,可知：在上单调递增,
且,的解集为.
不等式的解集是.故答案为.
二、选择题
11.B；12.B；13.D；14.B；15.D;16.B;
15．设在处有导数，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
16．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（ ）．
A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
【答案】B
【解析】因为图中每条线段的两个端点涂不同颜色,所以可以按所用颜色分两类:
第一类:用三种颜色涂完,必然两两同色,即,或同色,
有种不同的涂色方法;
第二类：用四种颜色涂完,则A,D,E肯定不同色,有种涂色方法,
再从中选一位置涂第四色有三种,
若选B,则F,C共三种涂法,所以有种不同的涂色方法；
根据分类计数原理知,共有种不同的涂色方法.
三、解答题
17.25；
18（1），（2）；
19．（本题满分为12分，其中第1小题为6分，第2小题为6分）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【答案】（1）,（2）.
【解析】（1）设分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
解得或(舍去)
将分别代入(3)、(2)可得
即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.
(II)记为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,
则
20．（本题满分为14分，其中第1小题为4分，第2小题为4分，第3小题为6分）
已知是函数的一个极值点．
（1）求a；
（2）求函数的单调区间；
（3）若直线与函数的图象有3个交点，求b的取值范围．
【答案】（1），（2），（3）
【解析】（1）因为,所以,因此
（2）由上题可知,,,
当时,,当时,,
所以的单调增区间是;的单调减区间是
（3）由前两小题知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,,
所以的极大值为,极小值为,
因此
所以在的三个单调区间,
直线与函数的图象各有一个交点,当且仅当,
因此,b的取值范围为.