5.1.1任意角-高中数学人教A版必修一同步课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
数 学
数 学
题型一　与任意角有关的概念辨析
知识梳理
角的分类　
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识梳理
角的加法
(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.
(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.
(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β).
课堂精讲
【例1】　(1)下列说法中，正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限角；
③第二象限角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
解析
(1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，
如400°的角是第一象限角，但不是锐角，
故①的说法是错误的；
同理第二象限角也不一定是钝角，
故③的说法也是错误的；
小于90°的角不一定为锐角，比如负角，
故④的说法是错误的.
答案　　(1) ②⑤
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
课堂精讲
【例1】　(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析
(2)两次旋转后形成的角为
60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－760°＋720°＝－40°.
答案　　 (2)－40°
角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
课堂精讲
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
课堂精炼
【训练1】写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.
解
题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°
＝570°.
角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和
数 学
题型二　终边相同的角
知识梳理
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
;
课堂精讲
解
与10 030°终边相同的角的一般形式为
β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°得－10 390°解得k＝－28，
故所求的最大负角为β＝－50°.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
课堂精讲
解
(2)由0°得－10 030°解得k＝－27，
故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，
得－9 670°≤k·360°<－9 310°，
解得k＝－26，
故所求的角为β＝670°.
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
课堂精讲
解
课堂精讲
课堂精讲
(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
课堂精炼
解
求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并
数 学
题型三　象限角和区间(域)角
知识梳理
象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
课堂精讲
把所给角表示成
β＝α＋k·360°
(其中α ∈[0°，360°) ，k∈Z)
的形式，然后判断角α所在区域
解析　－2 019°＝－6×360°＋141°，
141°是第二象限角，
所以－2 019°为第二象限角.
答案　二
课堂精讲
解　①终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为
{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
课堂精讲
解　②由题干图可知，
阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于
－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，
故可表示为
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
课堂精讲
解　在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)
表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
课堂精讲
解　由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}
∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
课堂精讲
解 ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴ 2α的终边位于第三或第四象限，
或在y轴的非正半轴上.
课堂精讲
课堂精讲
课堂精讲
解
课堂精讲
解
课堂精讲
1.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
课堂精炼
解析　(1)由α是第二象限角可得，
90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.
所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α
>180°－(180°＋k·360°)，
即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，
所以180°－α为第一象限角.
答案 (1)A
课堂精炼
解析　(2)∵0°<α<90°，
∴0°<2α<180°，
∴2α是小于180°的正角.
答案　　(2)C
课堂小结
1.通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养.
2.本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解.
3.会写终边相同的角、区域角.