北外东坡高2025届2022-2023学年度下期5月月考
参考答案
1-8.CBCAD BDB
9．BC
10．ABC
11．BC
12．BCD
13．
14．
15．
16．4
17. （1）在上的投影向量为∶；
（2），
则，
即向量与夹角的余弦值为．
18. （1）因为，所以，
所以，即，解得，
所以；
（2）由已知得，则
.
19.（1），令，则对称轴为，
令，，则，，所以单调递减区间为，．
（2）∵，则，∴，∴，故函数在区间的值域为．
20.（1），，
，
，
.
（2）
.
21. （1）.
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
所以
.
22. （1）解：因为摩天轮转一圈的时间是，即周期，所以角速度，
不妨以摩天轮在地面上的投影所在直线为x轴，过摩天轮的中心且垂直x轴的直线为y轴建立直角坐标系，
又因为摩天轮离地面最近为米，摩天轮半径为米，
即摩天轮中心离地面的距离米，所以.
（2）解：由（1）知甲出发t分钟后离地面的高度，
当时，乙离地面的高度为，
设两人的高度差第一次达到最大时的时间为，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以（min）时两人高度第一次达到最大，为米.
北外东坡高 2025 届 2022-2023 学年度下期 5 月月考 8．已知函数 f (x) = sin x + ( 0)在区间[0, ]上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论：
4
数学 ① f (x)在区间 (0, )上有且仅有 3 个不同的零点；
② f (x)的最小正周期可能是 ；
2
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）第 1页，第Ⅱ卷（非选择题）第 2页，共 2页；满分 150分，考试时间 120
13 17
分钟 ③ 的取值范围是 ， ；
4 4
注意事项：
④ f (x)在区间 0, 上单调递增．
15
1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；
其中所有正确结论的序号是（ ）
2、 选择题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
答在试卷上，非选择题部分用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卡相应位置作答！
二 多选题（全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、单选题 9．下列说法正确的是（ ）
1.若角 的终边上一点的坐标为 (1, 1)，则cos =（ ） A．对于任意两个向量a,b，若 a b ，且 a与b同向，则a b
1 3
A．-1 B． 2 C． 2 D．1 B．向量e1 = (2, 3)，e2 = , 能作为平面内所有向量的一组基底
2 2
2 4
C． P 在 ABC 所在平面内，若PA+ PB+ PC = 0，则 P 是 ABC 的重心
2． sin13 cos 43 + cos13 sin 223 =（ ）
D．若a b 0，则a 与b 的夹角是钝角
1 3 2
A．1 B． C． D． 10．下列三角式中，值为 1 的是（ ）
2 2 2
A．4sin15 cos15 B．2 cos
2 sin2
3．下列函数中最小正周期是2 的奇函数的是（ ） 6 6
2 tan 22.5 1 1
A． B． C． D． + cos y = tan x y = cos x C． y = sin ( x + 3 ) D． y = sin 2x 1 tan2 22.5 2 2 6
4 11．在斜三角形 ABC 中， ABC A B tan A
tan B 2
．如图，在正六边形 ABCDEF 中， AF ED + EF + 2AB =（ ）
的三个内角分别为 ， ，C，若 ， 是方程3x 6x +1= 0的两根，则下列说法正确的
A． B． C． D． 是（ ） 0 AB AD CF
π A． tan C = 3 B． ABC 是钝角三角形
5．下列是函数 f (x) = tan 2x 的对称中心的是（ ）
4
C． sin B cos A D．cos B sin A
π π π
A． ,0 B． ,0 C． (0,0) D． ,0
4 4 8 12．O是△ABC 内一定点，且OA+OC + 2OB = 0，则（ ）
6．已知向量 a,b不共线，且向量 a+b与a+ (2 1)b 的方向相反，则实数 的值为（ ） 1 1
A．直线 AO必过 BC边的中点 B． AO = AB + AC
1 1 1 2 4
A．1 B． C．1或 D． 1或
2 2 2 C． S△ : S△ =1: 2 D．若 OB = OC =1，且OB ⊥OC ，则 OA = 5AOC ABC
7．为了得到 y = cos(2x + )的图象，可以将函数 y = cos x的图象（ ）
6
1 π
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
2 6
π
B．每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
6
π
C．每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
12
1 π
D．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
2 12
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班级____ ___姓名____ ___考试号____ ___
密 封 线
二、填空题（每题 5分，共计 20分） 20.如图，在△ABC中， AB = 2， AC = 3， BAC = 60 ，DB = 2AD ，CE = 2EB．
2
13．已知扇形的圆心角为 60°，所在圆的半径为 10 cm，则扇形的面积是______ cm ．
1 2
14．已知 sin 2 = ,且 ,则cos sin = _________ .
4 3 3
15．已知 AB 是圆 C 中长度为 3 的一条弦，其中 C 为圆心，则 AB AC = ______．
16．已知点 G 是 ABC的重心，过点 G 作直线分别与 AB,AC 两边相交于点 M,N 两点（点 M,N 与点 B,C 不重合），设 (1)设CD = xAB+ yAC ，求 x，y的值，并求 CD ；
1 1 (2)
AB = xAM , AC = yAN ,则 + 的最小值为 求 的值． ______． AB DE
x 1 y 1
三、解答题（6个大题，共计 70分）
2π
17. 已知向量 a与b 的夹角 = ，且 a = 3, b = 2 ．
3
(1) b 在a上的投影向量；
(2)求向量a与 a + b 夹角的余弦值．
π 1 4
21. 已知0 π，cos = ，sin ( + ) = .
2 4 3 5
(1)求sin 2 的值；
(2)求cos + 的值. 4
π
tan + 1
4
18. 已知 = 7．
π
tan + +1
4
(1)求 tan 、 cos 2 的值； 22. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高 128 米，转轮直径约为 114 米，共有 28 个酷似太空舱胶囊的全
2sin2 sin 2
(2)求 的值. 景式进口轿厢，每个轿厢可容纳 25 人.“湾区之光”旋转一圈时间是 28 分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱
1+ tan
转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动 t（单位；min）后距离地面的高度为 H（单位：m）
2
19.已知函数 f (x) = 2 3sin (π x)cos x 2cos x+1．
(1)求函数 f ( x)的对称轴方程及单调递减区间；
(1)求在转动一周的过程中，H关于 t的函数解析式H (t)；
5π π
(2)求函数 f ( x)在区间 , 的值域； 14
12 6
(2)若甲、乙两人进舱时间相差 分钟，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h（单位：m）第一次达到最大时所需
3
要的时间 t，并求该最大值.
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