山西省朔州市怀仁市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试卷（PDF版含解析）

2022~2023 学年第二学期高一年级第二次月考
数学试题
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（共 8小题，每题 5分）
1. 在复平面内，复数 z对应的点的坐标是(1，2)，则 i·z＝( )
A. 1＋2i B. －2＋i
C. 1－2i D. －2－i
2. 设 D为△ABC所在平面内一点， ＝3 ，则( )
A. ＝－ ＋ B. ＝ －
C. ＝ ＋ D. ＝ －
3. 设平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若 a∥b，则|3a＋b|等于( )
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中,若 c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为( )
A. 3 B. 3
2
C. 3 3 D. 3
5. 圆台的体积为 7π，上、下底面的半径分别为 1和 2，则圆台的高为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
6. 已知 sinα＝－ ，α是第三象限角，则 tan 2α的值为( )
A. － B.
C. － D.
高一数学月考二 第 1 页 （共 5页）
7. 在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为 2,则该三角形外接圆的半径为( )
A. 2 3 B. 4 2
C. 5 2 D. 3 2
2
8. 将函数 的图象向左或向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，若 对任意实数 成立，则实数 的最小
值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共 4小题，每题 5分）
9. 已知 a∈R,复数 z=(1-ai)(3+2i),则下列说法正确的是( )
A. 若复数 z 3为纯虚数,则 a=-2
B. 2若复数 z为实数,则 a=3
C. 若复数 z的模为 13,则 a=1
D. 3 2若复数 z在复平面内对应的点在第一象限,则- 10. 已知向量 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论正确的有( )
A. a·b＝5 B.与 a 同向的单位向量是
C. 〈a，b〉＝ D. a 与 b 垂直
11. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，D为 AB的中点，
且 a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinB＋sinC)，c＝2，则( )
A. B.△ABC面积的取值范围为C （0，3
6
C.△ABC周长的取值范围为（4，6 D. CD长度的取值范围为（1，3
高一数学月考二 第 2 页 （共 5页）
12. 设函数 （ ， 是常数， ， ），若 在区间
上具有单调性，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周期为
B. 的单调递减区间为
C. 的对称轴为
D. 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
三、填空题（共 4小题，每题 5分）
13. 已知 a 与 b 是两个单位向量，且向量 a 与 b 的夹角为 2 ，则向量 a 在向
3
量 b 上投影向量为________．
14. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a＝ ，A＝30°，
sinB＋cosB＝ ，则 b＝________.
15. 已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的部分图象如图所示，
则φ＝ .
16. 已知直三棱柱ABC-A1B1C ，1 AA1 2 3,AB 2,AC
5
3, BAC
6
则直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面积为
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四、解答题（共 6小题，17 题 10 分，其余均 12 分）
17. 已知复数 z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是纯虚数．
(1)求 b的值；
(2)若ω＝ ，求复数ω的模|ω|和ω的共轭复数
18. 已知|a|＝1，a·b＝ ，(a＋b)·(a－b)＝ .
(1)求|b|的值；
(2)求向量 a－b 与 a＋b 夹角的正切值．
19. 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑
上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相
等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
(1)试计算出图案中圆柱与球的体积比；
(2)假设球的半径 r＝12 cm.试计算出图案中圆锥的体积和表面积．
20. 在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且 ＝ .
(1)求 sinB的值；
(2)若 b＝4 ，且 a＝c，求△ABC的面积．
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21. 已知函数 f(x)＝ sinxcosx＋cos2x－ .
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数 f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函
数 g(x)的图象.若关于 x的方程 g(x)－k＝0在区间 上有实数解，求实
数 k的取值范围.
22．记△ 的内角 A，B，C的对边分别为 a b c cos sin2 ， ， ，已知 = ．
1+sin 1+cos2
(1)若 cos = 1，求 sin ；
3
2 2
(2) + 求 2 的最小值．
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高一下学期第二次月考数学试题参考答案
1. 【答案】B
【解析】z＝1＋2i，i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.
2. 【答案】A
【解析】 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ － ＝－ ＋
.
3. 【答案】A
【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，
解得 y＝－4，从而 3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝ .
4. 【答案】B
【解析】∵C=180°-30°-120°=30°,∴a=c=2,
∴面积 S 1= acsinB 1= ×2×2×sin1202 2 °= 3.
5. 【答案】A
【解析】设圆台的高为 h，由题意知 V＝ π(12＋1×2＋22)h＝7π，解得 h＝3.
6. 【答案】A
【解析】因为 sinα＝－ ，α是第三象限角，所以 cosα＝－ ＝－ ，
所以 tanα＝ ＝2，则 tan 2α＝ ＝－ .
7. 【答案】C
1 1
【解析】由三角形的面积公式,得 2= acsinB= c× 2,得 c=42 2 2.2
∵b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4 2 × 2=25,
2
∴b=5.
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∵ =2R(R为△ABC外接圆的半径),
sin
5 5 2
∴R= = 2 = .2sin 2× 22
8. 【答案】D
【解析】因为 ,
则 ,
由 得函数 的对称轴为 ,
所以 ,所以 ,
因为 ,所以当 时,可得 ,即 ,即 的最小值为
故选:D.
9. 【答案】ABD
【解析】z=(1-ai)(3+2i)=3+2a+(2-3a)i,
A 3中,若复数 z为纯虚数,则 3+2a=0,且 2-3a≠0,得 a=- .故 A2 正确;
B 2中,若复数 z为实数,则 2-3a=0,得 a=3.故 B正确;
C中,若复数 z的模为 13,则(3+2a)2+(2-3a)2=13+13a2=13,得 a=0.故 C不正确;
D 3 2中,若复数 z在复平面内对应的点在第一象限,则 3+2a>0,且 2-3a>0,得- a2< <3.
故 D正确.
10. 【答案】ABC
【解析】∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故
A正确；
|a|＝ ＝ ，∴a 的单位向量是 ，即 ，
故 B正确；
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|b|＝ ＝ ，cos 〈a，b〉＝ ＝ ＝ ，∵〈a，b〉
∈[0，π]．∴〈a，b〉＝ ，故 C正确；D错误．
11. 【答案】BCD
【解析】由题可知，a(a－b)＝(c－b)(b＋c)，
整理得 a2＋b2－c2＝ab，
所以 cosC＝ ＝ ，
又 012. 【答案】ABD
【解析】由 在区间 上具有单调性知， 的周期 T满足 ，
所以 ，又因为 ，所以 ， 在同一个周期内且
，故 的一条对称轴为 ，又由 知 的一个对
称中心为 ，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以 ，得 ，
即 ，A正确．
又因为 的一个对称中心为 ，所以 ， ，由
知， ，故 .
，解得 ， ，B正确；
， ， ，C错误；
的图象向左平移 个单位得
，D正确．
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故选：ABD．
13. 【答案】 1
b
2
14. 【答案】2
【解析】由 sinB＋cosB＝ ，得(sinB＋cosB)2＝2，即 1＋sin 2B＝2，
所以 sin 2B＝1，所以 2B＝90°，B＝45°.
由正弦定理 ＝ ，得 b＝ ＝2.
15. 【答案】
【解析】由图象知函数 y＝sin(ωx＋φ)的周期为 2 ＝ ，
∴ ＝ ，∴ω＝ .
∵当 x＝ 时，y有最小值－1，
∴ × ＋φ＝2kπ－ (k∈Z).
∵－π≤φ<π，∴φ＝ .
16. 【答案】64
17. 【答案】解 (1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为 z是纯虚数，
所以 3－3b＝0且 9＋b≠0，所以 b＝1. 4分
(2)ω＝ ＝ ＝ ＝ － i，
所以|ω|＝ ＝ . ω的共轭复数为 + i 10 分
18. 【答案】解 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝ .
因为|a|＝1，所以 1－|b|2＝ ，
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所以|b|＝ . 4 分
(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ＋ ＝2，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ＋ ＝1，
所以|a＋b|＝ ，|a－b|＝1. 8分
令 a＋b 与 a－b 的夹角为θ，
则 cosθ＝ ＝ ＝ ， 10 分
0， ，sin 14 , tan 7
4
即向量 a－b 与 a＋b 夹角的正切值是 7 . 12 分
19. 【答案】解 (1)设球的半径为 r，则圆柱底面半径为 r，高为 2r，∴圆柱的
体积 V1＝πr2·2r＝2πr3，球的体积 V2＝ πr3.∴圆柱与球的体积比 ＝ ＝
. 6 分
(2)由题意可知，圆锥底面半径 r1＝12 cm，高 2r1＝24 cm，
∴圆锥的母线长 l＝ ＝ r1＝12 (cm)，
∴圆锥的体积 V＝ πr ·2r1＝ π×123＝1 152π(cm3)．
圆锥的表面积 S＝πr ＋πr1l＝144π＋144 π＝144(1＋ )π(cm2)．12 分
20. 【答案】解 (1)由正弦定理及 ＝ ，有 ＝ ，
即 sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，
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所以 sin(B＋C)＝3sinAcosB.
又因为 A＋B＋C＝π，所以 sin(B＋C)＝sinA，
所以 sinA＝3sinAcosB.
因为 sinA≠0，所以 cosB＝ .
又 0(2)在△ABC中，由余弦定理可得 a2＋c2－ ac＝32，
又 a＝c，所以有 a2＝32，即 a2＝24，
所以△ABC的面积为 S＝ acsinB＝ a2sinB＝ ×24× ＝8 . 12 分
21.【答案】解 (1)∵f(x)＝ sinxcosx＋cos2x－ ＝ sin 2x＋ cos 2x＝sin ，
∴函数 f(x)的最小正周期为 T＝ ＝π.
由－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
故函数 f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). 5 分
(2)将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，
得到 g(x)＝sin 的图象.
∵0≤x≤ ，∴ ≤x＋ ≤ .
∴ ≤sin ≤1，∴ ≤g(x)≤1. 10分
∴关于 x的方程 g(x)－k＝0在区间 上有实数解，即 g(x)的图象与直线 y＝
k有交点.
∴ ≤k≤1，∴k的取值范围为 . 12 分
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22.(1) cos sin2 2sin cos sin 因为 = = 2 = ，即 sin = cos cos sin sin =1+sin 1+cos2 2cos cos
cos + = cos = 1，
3
1
所以 sin = ； 4分
3
π π
(2)由（1）知，sin = cos > 0，所以 < < π, 0 < <2 2，
而 sin = cos = sin π ，
2
所以 =
π + ，即有 =
π 2
2 2 ．
2+ 2 = sin
2 +sin2 = cos
22 +1 cos2
所以
2 sin2 cos2
2
2cos2 1 +1 cos2 = 4cos2 + 2 ．
cos2 cos2
5 ≥ 2 8 5 = 4 2 5

2 2
当且仅当cos2 = 2 + 时取等号，所以 2 的最小值为 4 2 5． 12分2
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