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专题01 集合
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北十堰·统考二模）若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）己知集合，集合，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·广东广州·统考二模）已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖南常德·二模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
10．（2023·甘肃武威·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广东佛山·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·湖南·校联考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知集合，，则为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
18．（2023·浙江·统考二模）若集合，，则（ ）
A． B．或 C．或 D． 或
19．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·湖北·统考二模）已知集合，，且全集，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
22．（2023·全国·模拟预测）下列选项中，不正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．一元线性回归模型中，其中的，叫做，的最小二乘估计
23．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
三、填空题
25．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________.
26．（2023·上海奉贤·统考二模）已知集合，，若，则____________．
27．（2023·上海静安·统考二模）若集合，，且，则___________.
28．（2023·上海宝山·统考二模）已知集合，，则_________．
四、解答题
29．（2023·北京顺义·统考一模）已知实数集，定义．
(1)若，求；
(2)若，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
30．（2023·海南海口·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等差中项．
(1)求的值；
(2)若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围．
31．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
(1)当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
(2)证明：；
(3)证明：.
32．（2023·北京延庆·统考一模）已知为正整数，集合具有性质：“对于集合中的任意元素，，且，其中”. 集合中的元素个数记为．
(1)当时，求；
(2)当时，求的所有可能的取值；
(3)给定正整数，求．
33．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
34．（2023·北京通州·统考模拟预测）设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
(1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；
(3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
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专题01 集合
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出集合，根据交集含义即可得到答案.
【详解】由题意得，，
则，
故选：C．
2．（2023·湖北十堰·统考二模）若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：C.
3．（2023·浙江·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集的含义即可得到答案.
【详解】因为集合表示的是所有偶数的集合，所以，
故选：D.
4．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）己知集合，集合，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
因此，.
故选：B.
5．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，得，所以，
不等式的解集为，
所以，
所以或，
所以；
故选：A.
6．（2023·广东广州·统考二模）已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义求出集合，即可得解.
【详解】因为，，则，
故集合的元素个数为.
故选：B.
7．（2023·湖南常德·二模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：C.
8．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别解出两个集合的取值范围，取交集即可.
【详解】因为，，
可得，
因为，，
即，可得，
取交集可得，
故选：B.
9．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】因为，，，则，
所以，或，
若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；
若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.
因此，.
故选：B.
10．（2023·甘肃武威·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后计算集合的交集.
【详解】由，
，
所以，
故选：D.
11．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合，，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简集合M，N，根据集合的运算判断为两集合交集即可得解.
【详解】，，
,
由Venn图知，A符合要求.
故选：A
12．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用交集和补集的定义逐一判断即可.
【详解】集合，，
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：C.
13．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：
所以.
故选：D.
14．（2023·广东佛山·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求集合，再求.
【详解】，得或，
所以或，，
所以.
故选：C
15．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合 ，集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，根据集合的交集运算可得答案.
【详解】由题可得，故，
解可得，则,
故，
故选：C
16．（2023·湖南·校联考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，后由集合交集定义可得答案.
【详解】，
，则.
故选：C
17．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知集合，，则为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】先化简集合B，再利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为，则或，
所以或，
或
故选：C
18．（2023·浙江·统考二模）若集合，，则（ ）
A． B．或 C．或 D． 或
【答案】C
【分析】通过解不等式得集合，再求交集即可.
【详解】因为或，
或，
所以或，
故选：C.
19．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求出集合、，图中阴影部分为，根据并集、补集的定义计算可得.
【详解】由，解得或，所以，
由，解得或，所以，
所以，又，则图中阴影部分为.
故选：D
20．（2023·湖北·统考二模）已知集合，，且全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解.
【详解】由已知得集合表示的区间为，集合表示的区间为，
则，，，
,
故选：.
二、多选题
21．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可.
【详解】设，,
因为p是q的必要条件，所以，
当时，由无解可得，符合题意；
当时，或，当时，由解得，
当时，由解得.
综上，的取值为0，，.
故选：BCD
22．（2023·全国·模拟预测）下列选项中，不正确的是（ ）
A．对于任何两个集合，恒成立
B．“对于，”的否定是“，”
C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱
D．一元线性回归模型中，其中的，叫做，的最小二乘估计
【答案】CD
【分析】根据集合间的关系以及含有量词的命题的否定，相关系数的概念和最小二乘估计的概念依次判断即可．
【详解】解：对于任何两个集合，都有，所以恒成立，故A正确；
“对于，”的否定是“，”，故B正确；
对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C错误；
一元线性回归模型中，其中的，叫做b，a的平均值，，叫做b，a的最小二乘估计，故D错误.
故选：CD.
23．（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
24．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义,举例或举反例一一判断每个选项，可得答案.
【详解】对于A，因为，，故A错误；
对于B，若，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，
则，而内也有有理数，
则，故C错误；
对于D，若，，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
三、填空题
25．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.
【详解】由解得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
26．（2023·上海奉贤·统考二模）已知集合，，若，则____________．
【答案】
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】因，，，则，故.
故答案为：
27．（2023·上海静安·统考二模）若集合，，且，则___________.
【答案】
【分析】依题意可得且，即可求出、的值，从而求出集合、，再根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，且，
所以且，显然，所以且，所以，
所以，，
所以.
故答案为：
28．（2023·上海宝山·统考二模）已知集合，，则_________．
【答案】
【分析】利用交集定义直接求解．
【详解】因为集合，，
所以．
故答案为：．
四、解答题
29．（2023·北京顺义·统考一模）已知实数集，定义．
(1)若，求；
(2)若，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值．
【答案】(1)
(2)或者.
(3)13
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；
（3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解.
【详解】（1）;
（2）首先，；
其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记，不妨设或者--
①当时，，
相乘可知，从而，
从而，所以；
②当时，与上面类似的方法可以得到
进而，从而
所以或者.
（3）估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数.
先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
不妨设，则
上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素.
不妨设
其中为正整数，．
于是有
以上是中的个非正数元素：另外，注意到
它们是中的5个正数．这表明
综上可知，总有-
另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13.
30．（2023·海南海口·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知，且是与的等差中项．
(1)求的值；
(2)若集合中最小的元素为6，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程组，解之即可求得的值；
（2）利用题给条件列出关于实数t的不等式，解之即可求得实数t的取值范围．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
则，解之得，则
（2）由（1）得等差数列的首项为1，公差为2，则，
由集合中最小的元素为6，
可得满足不等式的最小正整数n为6，
则，解之得
则实数t的取值范围为
31．（2023·北京门头沟·统考一模）已知集合.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作.
(1)当，即集合.
（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为；
（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于；
(2)证明：；
(3)证明：.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取，验证得到答案.
（2）若，，，从大到小取个元素，得到中任意4个元素之和，得到证明.
（3）集合的元素按和为分组，和把集合的元素按和为分组，确定中必有一个与没有公共元素，设，的4个元素满足条件，得到时成立，得到证明.
【详解】（1）取，则，满足条件；
取，则；；
；；；
满足条件.
（2）若，，，从大到小取个元素，
，，或，，
则中任意4个元素之和，不成立，故.
（3）当时，把集合的元素按和为分组，得：
，
易得，中至少有2个二元子集满足．
若把集合的元素按和为分组，得：
．
易得，中至少有3个二元子集满足．
而集合两两互不相交，与中每一个至多有一个公共元素，
所以，中必有一个与没有公共元素，不妨设，
则的4个元素就是的4个互异元素，而这4个元素的和为．
又，所以．
【点睛】关键点睛：本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将集合按照和为与和为分组，再根据抽屉原理得到新集合，是解题的关键.
32．（2023·北京延庆·统考一模）已知为正整数，集合具有性质：“对于集合中的任意元素，，且，其中”. 集合中的元素个数记为．
(1)当时，求；
(2)当时，求的所有可能的取值；
(3)给定正整数，求．
【答案】(1)
(2)所有可能取值为
(3)
【分析】（1）由定义即可求解，
（2）先证明，且，然后利用“移位”，即可求解，
（3）根据数组中有多少个不满足，即可推理求解.
【详解】（1）时，集合中的元素为，，
所以．
（2）时，首先证明，且．
在中，令，得，从而有．
在中，令，得．
又， 故，从而有．
考虑，即，，
此时为最大值．
现交换与，使得，此时．
现将逐项前移，直至．在前移过程中，显然不变，这一过程称为1次“移位”．
依此类推，每次“移位”的值依次递减．经过有限次移位，一定可以调整为交替出现．
注意到为奇数，所以为最小值．
所以的所有可能取值为．
（3）由题设，在中，有个，个，显然，从中选个，其余为的种数共有种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足，记该数为．
如果不满足，则一定存在最小的正整数
，使得，且．
将统统改变符号， 这一对应为：
，
从而将变为个，个组成的有序数组．
因此，就是个，个组成的有序数组的个数，即．
所以.
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
33．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)43
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值；
（2）利用已知的定义及性质，分别证明充分性和必要性成立即可；
（3）根据新定义分析差值可能出现的情况数，对其进行分析即可得出结论.
【详解】（1）因为，，，，则的可能情况有：
，，，，，，
所以，．
（2）充分性：若是等差数列，设公差为d．
因为数列是递增数列，所以．
则当时，，
所以，．
必要性：若．
因为是递增数列，所以，
所以，且互不相等，
所以．
又，
所以，且互不相等．
所以，
所以，
所以为等差数列．
（3）因为数列A由1，2，3，…，11，22这12个数组成，任意两个不同的数作差，
差值只可能为和，共42个不同的值；
∵这12个数在数列中每个至少出现一次，
∴当时，和这两个数中至少有一个在集合中，
∵这12个数在数列中共出现23次，所以数列中存在，
∴，
当数列：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．
有，．
则的最大值为43．
34．（2023·北京通州·统考模拟预测）设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
(1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；
(3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
【答案】(1)；；；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.
（2）令，设出集合及所其元素和，根据定义求出的元素和，求出结合不等式性质求解作答.
（3）设、及中元素的和，按为奇数、偶数推理判断作答.
【详解】（1），集合A的所有2阶分拆是：；；.
（2）依题意，不妨设，，
则，
而，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是.
（3）依题意，，，与中元素的和相等，
设与中元素的和为，集合中所有元素之和为，于是，
①当集合中存在元素为奇数时，
因为是偶数，于是是奇数，对于任意，均有，
因此此时集合中的元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以n为奇数；
②当集合中存在元素为偶数时，
因为是偶数，于是是偶数，对于任意，均有，
因此此时集合中的元素均为偶数，对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得，
显然集合中的元素除以2，仍然满足条件，将集合中的元素不断除以2，直至有一个奇数，
此时，由①可得n为奇数，
综上得：n为奇数.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.
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