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专题05 幂指对函数
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得，，
所以．
故选：C．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求解一元二次不等式化简集合，根据指数的性质化简集合，再求解即可.
【详解】依题意，，
故，故ABD错误，C正确.
故选：C.
3．（2023·广东惠州·统考一模）设集合，则的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．无穷多个
【答案】A
【分析】根据函数在上单调递增，及，即可得解.
【详解】由函数在上单调递增，及，
可得，则其元素个数为3，
故选：A．
4．（2023·浙江台州·统考二模）设集合,,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出A集合，再计算交集即可.
【详解】由,得,所以,又,
所以.
故选：C
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就，其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ）
2 3 5 7 11 13
0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】由题意得出，然后两边取以10为底的对数，再对比参考数据可得出.
【详解】由题意知，，
即，，
而，，，，
，，正整数的值为14.
故选：B.
6．（2023·河北张家口·统考二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值.
【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为.
设地球 火星运行轨道的半长轴分别为，，
则，
于是.
故选: A.
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得且，结合与的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
8．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合A，集合的交集运算即可求出．
【详解】集合，
，
．
故选：A．
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.
【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；
根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.
故选：B
10．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将函数在区间上单调递增，转化为且在区间上恒成立可求解.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以且在区间上恒成立，
所以，解得或.
故选：B
11．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合再求交集可得答案.
【详解】，
所以.
故选：B.
12．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.
【详解】集合，即，
，则，所以.
故选：B
13．（2023·广东·统考模拟预测）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
则，因此，.
故选：C.
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求得两个集合，再根据交集计算即可.
【详解】由题意，可得；
，
则.
故选：C.
15．（2023·浙江·校联考二模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解对数不等式、一元一次不等式化简集合，再应用集合的交、补运算求结果.
【详解】由，得，所以，所以，
因为，所以，
所以.
故选：A.
16．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解二次不等式得集合A，由对数型函数的定义域得集合，再求集合即可.
【详解】，
所以.
故选：C.
17．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据对数函数的单调性逐项分析.
【详解】依题意，，故，故①错误；
，故，即，故②正确；
，故，即，故③正确；
故选：C.
18．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可解出集合，，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】集合，
或；
；
则．
故选：C
19．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
20．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，即，
因为，则，所以，，
又因为，则，故，故.
故选：A.
21．（2023·江西南昌·校联考二模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
22．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．
B．
C．x，y，z可能构成等比数列
D．关于x，y，z的方程有且只有一组解
【答案】D
【分析】对于A、B项，令，结合幂函数的单调性即可判断；对于C项，利用反证法即可判定；对于D项，构造函数判定其零点个数即可.
【详解】令，则
令，
由幂函数图象的性质可知：
当时，在上单调递增，故，即；
当时，在上单调递减，故，即；
故AB不一定正确；
假设成等比数列，则，
则，与已知矛盾，故C错误；
令，由指数函数的性质可知在上单调递减，
注意到，故只有一个零点，即只有一个解，
所以只有一组解，故D正确.
故选：D
23．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用，取对数可得，可得，构造函数，判断单调性可得.
【详解】∵，∴，即，
∴，∴，∴，∴.
令，则，
∴在上单调递增，∴，即，∴，∴.
故选：D.
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】根据题意可得，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.
【详解】厚度为的带钢从一端输入经过减薄率为4%的对轧辊后厚度为，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为，
则，
故选：D.
25．（2023·湖北·模拟预测）土壤中微量元素（如N，P，K等）的含量直接影响植物的生长发育，进而影响植物群落内植物种类的分布．某次实验中，为研究某微量元素对植物生长发育的具体影响，实验人员配比了不同浓度的溶液若干，其浓度指标值可近似拟合为，并记这个指标值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该组数据均为同底数幂，故以指数函数的运算性质作为切入点，利用对数计算规则寻求数据的规律．
【详解】由数据可得，从第三项开始，第i项是前两项之积，
即，
取对数得，
设，则，
，
，
累加得，
所以，
所以．
故选：B.
26．（2023·北京延庆·统考一模）数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．
【详解】解：，，
，
又为整数，
必须是2的次幂，即．
内所有的“幸运数”的和：
，
故选：D．
27．（2023·福建·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造，根据导函数可得在上单调递减，进而可得出.构造，根据导函数单调性，结合中间值1即可得出，即可得出答案.
【详解】令，则，
令，则恒成立，
所以，即在R上单调递增.
又，
所以，当时，恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，所以，
即，，即，即，所以.
令，则，导函数单调递增，
且所以存在，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，所以，
又，所以；
综上可得，.
故选：A.
28．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可.
【详解】因为，所以，显然.
令，则，，
若，且，
则，
所以在上递减，则，即，
综上，.
故选：D.
29．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为，所以，所以
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得；
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得
综上，的取值范围为
故选：C
二、多选题
30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【答案】AC
【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和，解指数不等式可判断C，D.
【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为3，故C正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
31．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为1
【答案】BC
【分析】根据不等式的性质可得.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB；利用作差法计算即可判断C；结合基本不等式计算即可判断D.
【详解】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
32．（2023·全国·模拟预测）已知，，且.则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为1
C． D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式以及导数证明不等式，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，，且，所以.
选项A：，当且仅当，即，时取等号，故A正确；
选项B：由，当且仅当，时取等号，故B错误；
选项C：因为，，且，所以，得，当且仅当，时取等号，所以，故C错误；
选项D：因为，所以，所以，
令，，
则，易知在上单调递增，
因为，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，即，故D正确.
故选：AD
33．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且 B．的最大值为
C．的最小值为7 D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
34．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；
又函数是奇函数，则，因此，即有，
于是，即函数的周期为4，有，C正确；
因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；
当时，，所以，D错误．
故选：ABC
35．（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由题设知，特殊值判断A；根据指对数的单调性判断B、C；由基本不等式知，进而判断是否成立判断D.
【详解】由，故，
当时，A错；
由在定义域上递减，而，故，B错；
由，而在定义域上递增，故，C对；
因为，则，
仅当，即时等号成立，
所以，只需，而，仅当时等号成立，
综上，，仅当时等号成立，D对.
故选：CD
36．（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
37．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.
【详解】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.
38．（2023·山西·校联考模拟预测）已知当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定的不等式，赋值变形判断A；赋值求和判断CD；变形不等式右边，借助二项式定理及组合数的性质推理判断D作答.
【详解】因为，令，，则，
令，，则，A正确；
因为，则，，…，，以上各式相加有，B错误；
由得，，即，
于是，，，…，，
以上各式相加有，即，C正确；
由得，，因此，
设，，
则，所以，D正确．
故选：ACD
【点睛】关键点睛：由给定信息判断命题的正确性问题，从给定的信息出发结合命题，对变量适当赋值，再综合利用相关数学知识及方法是解决问题的关键.
三、填空题
39．（2023·上海闵行·统考二模）若实数、满足、，则______________．
【答案】
【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值.
【详解】由，得，
所以，
故答案为：.
40．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
41．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
42．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
【答案】2
【分析】根据指数函数的单调性求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为函数在区间上递增，
所以，
则，解得或（舍去）.
故答案为：.
43．（2023·湖南怀化·统考二模）已知实数，，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为___________.
【答案】
【分析】由题知，，进而构造函数，再根据函数的单调性得，再与求和整理即可得答案.
【详解】解：由题知，所以，
所以，
因为，
所以
令，，则，
因为，恒成立，
所以，在上单调递减，
所以，，即
因为，
所以，即
故答案为：.
四、解答题
44．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）
【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析
(2)大约在2030年年底总资产可以翻两番
【分析】（1）分别计算出两个项目的期望和方差，比较后得到结论；
（2）设年后总资产可以翻两番，根据题意列出方程，求出答案.
【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元，则的分布列为
60 -30
若投资项目二，设获利为万元，则的分布列为
100 0 -60
，
，
，
，
，
这说明虽然项目一 项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资.
（2）假设年后总资产可以翻两番，依题意，，即，
两边取对数，得，
，，
大约在2030年年底总资产可以翻两番.
45．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
【答案】(1)①当时，没有极值；②当时，有极大值，无极小值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域后求，运用导数分类讨论与时单调性进而分析的极值.
（2）运用对进行放缩及对数运算公式即可证明.
【详解】（1），则定义域为，
.
①当时，恒成立，则为上的增函数，所以没有极值.
②当时，由，得；由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
故当时，有极大值，无极小值.
综述：①当时，没有极值；
②当时，有极大值，无极小值.
（2）证明：取m＝1，由（1）知在上单调递减，所以.
即,.
令，得，即，
分别取k＝n＋1，n＋2，…，n＋（n＋1），，
可得．
即成立．
46．（2023·上海浦东新·统考二模）已知数列是首项为9，公比为的等比数列．
(1)求的值；
(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．
【答案】(1)
(2)当2或3时，取得最大值3
【分析】（1）求出等比数列的通项公式，由等比数列的前项和求解即可；
（2）记，由（1）知，由等差数列的前项和求出，由二次函数的性质即可求出答案.
【详解】（1）由题，则，
（2）记，由（1）知，
所以，
，
当2或3时，取得最大值3．
47．（2023·上海普陀·统考二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
(1)设且，求x的取值范围；
(2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设，利用指数单调性求解集即可；
（2）由已知有，，根据条件分析中的元素组成，利用等差数列前n项和公式、分组求和.
【详解】（1）由题设，又且都不为1的正实数，
所以，而，故.
（2）由，，
而数列前100项中有，其中属于数列有，
所以数列前100项是的前103项去掉三个元素，
则.
48．（2023·全国·模拟预测）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）分析函数的单调性与奇偶性，由可得出，令，可得以及，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围；
（2）计算出，求出函数的值域，根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可求得正整数的可能取值.
【详解】（1）解：因为，
任取、且，则，
所以，，
所以，，则函数为上的增函数，
又因为，所以，函数为上的奇函数，
由可得，
所以，，即，
即，
令，其中，所以，，可得，
因为函数、在上均为增函数，则在上为增函数，
当时，，所以，，可得，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
当时，，因此，实数的取值范围是.
（2）解：因为
，
所以，
，
所以，，
，其中，
由基本不等式可得，
所以，，
若存在正整数，使不等式有解，则，解得，
又因为，所以，满足条件的正整数的值为或或.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
49．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即()，变形即可证明.
【详解】（1）令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题.
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专题05 幂指对函数
一、单选题
1．（2023·浙江杭州·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广东惠州·统考一模）设集合，则的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．无穷多个
4．（2023·浙江台州·统考二模）设集合,,则 ( )
A． B． C． D．
5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就，其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个81位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ）
2 3 5 7 11 13
0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（2023·河北张家口·统考二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·广东·统考模拟预测）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·浙江·校联考二模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，现有如下说法：①；②；③.则正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江西南昌·校联考二模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
22．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知正实数x，y，z满足，则（ ）
A．
B．
C．x，y，z可能构成等比数列
D．关于x，y，z的方程有且只有一组解
23．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为（单位：）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为（单位：）.若，每对轧辊的减薄率不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率）
A．14 B．15 C．16 D．17
25．（2023·湖北·模拟预测）土壤中微量元素（如N，P，K等）的含量直接影响植物的生长发育，进而影响植物群落内植物种类的分布．某次实验中，为研究某微量元素对植物生长发育的具体影响，实验人员配比了不同浓度的溶液若干，其浓度指标值可近似拟合为，并记这个指标值为，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·北京延庆·统考一模）数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·福建·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
31．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值为1
32．（2023·全国·模拟预测）已知，，且.则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为1
C． D．
33．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且 B．的最大值为
C．的最小值为7 D．
34．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
35．（2023·海南·统考模拟预测）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·山西·校联考模拟预测）已知当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
39．（2023·上海闵行·统考二模）若实数、满足、，则______________．
40．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
41．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
42．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．
43．（2023·湖南怀化·统考二模）已知实数，，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为___________.
四、解答题
44．（2023·陕西西安·统考一模）某公司计划在2023年年初将200万元用于投资，现有两个项目供选择.项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？（参考数据）
45．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
46．（2023·上海浦东新·统考二模）已知数列是首项为9，公比为的等比数列．
(1)求的值；
(2)设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值．
47．（2023·上海普陀·统考二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
(1)设且，求x的取值范围；
(2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
48．（2023·全国·模拟预测）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令.
(1)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，、、、、，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
49．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知，证明：
(1)；
(2)．
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