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专题03 函数及其性质
一、单选题
1．（2023·湖北十堰·统考二模）若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解.
【详解】因为，
，
所以．
故选：C.
2．（2023·广西·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用中间值法，结合幂函数、三角函数、对数函数的单调性，可得答案.
【详解】由题意知，，，，，故．
故选：D.
3．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减,再逐项分析即可.
【详解】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减.
A不满足②，B不满足①，
C不满足②,因为在单调递减，在单调递增.
对于D,满足①,当,单调递减,也满足②.
故选：D.
4．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.
【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以不符合题意.
对于选项：是向右平移了两个单位长度，
所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.
故选.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即可得出答案.
【详解】易知，．
令，，
则在单调递增，又，所以，
所以．又，
则，即．
综上，．
故选：B.
6．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用递推式判断在上的符号及单调性，并得到，即可判断的个数.
【详解】令且均属于，则，
所以，故，
又，故在上恒成立，且在上单调递增，
所以，满足仅有，即仅有1个.
故选：A
7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性和对称性判断函数在上的单调性，再比较大小，结合的单调性即可得出答案．
【详解】解：因为函数是R上的偶函数，
所以函数的对称轴为，
又因为对任意，，且都有成立．
所以函数在上单调递增，
而，，，
所以，
所以，
因为函数的对称轴为，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
9．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题知，再构造函数比较，根据比较大小即可.
【详解】解：，
设，则在恒成立，
所以函数为单调递减函数，
所以，即，所以.
因为,
所以，即，
所以，即，所以，
综上，.
故选：A
10．（2023·浙江·校联考二模）双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则
【答案】B
【分析】对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断.
【详解】对于A，
，A正确；
对于B，，
，
所以，B错误；
对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数；
令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确；
对于D，令，则，
设，所以，
又因为，所以，D正确.
故选：B
11．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】构造函数，其中，
则，所以，函数在上单调递增，
所以，，即，
因为，则，所以，，
又因为，则，故，故.
故选：A.
12．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出函数在、上均为增函数，再结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】当时，，所以，在上为减函数，
因为在是减函数，且函数在上为减函数，
只需，解得.
故选：B.
13．（2023·北京东城·统考二模）设，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可比较a，b；构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可比较b，c，然后可得.
【详解】令，则，
当时，，单调递增，
所以，即，
令，则，
当时，，单调递减，
所以，即
所以.
故选：A
14．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；
B：，
在上，在上，在上，
所以在、上递减，上递增，符合；
C：由且定义域为，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；
D：由且定义域为R，为奇函数，
研究上性质：，故在递增，
所以在R上递增，不符合；
故选：B
15．（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围.
【详解】因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加2，则对应值变为原来的；若减少2，则对应值变为原来的2倍.
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，（舍去），
因为当时，成立，所以.
故选：A.
【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用函数的单调性判定大小即可.
【详解】设，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以（时等号成立），
所以，即，即；
设，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以，
综上．
故选：D．
17．（2023·浙江嘉兴·统考二模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意令可得，即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可判断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可判断C.
【详解】A：
令，得，则函数图象关于点对称.
若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，
得，即①，
又，为偶函数，所以②，
由①②得，所以函数的周期为2.
所以，即，故B正确；
C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.
令，若，
则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，
所以，故D正确.
故选：C.
18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知函数，则的零点个数为（ ）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2029
【答案】C
【分析】因为 ,得出,进而依此类推，可得，易知单调性，数形结合函数的图像与这一系列直线 确定交点个数即可.
【详解】因为 ,所以当时, ,
得或,
得或,
由得或，
由得，进而可得,
故由可得，或或.
依此类推，可得，其中 k =0,1.2....,2023.
易知,,可得在上单调递增，在上单调递增，
可得在上单调递减，画出函数的图像，如图所示．
结合图像易知，函数的图像与这一系列直线 ,,共有2027个交点.
故选 :C
19．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.
【详解】当时，．由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是．
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键.
20．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
21．（2023·浙江·统考二模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据进行构造函数，利用导数判断单调性，推出a与1的大小关系，同理判断b与1的关系，判断的大小范围时采用分析的方法，结合的特点，构造函数，利用导数判断单调性，即可判断其范围.
【详解】设函数,求导得：,
∴在上单调递减，所以，A错误；
设函数，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，仅当时取等号，
即，则时，，即，
所以，D错误；
由，
下面证明，
，即证,
令，即证：，即，
构造函数 ，即证，
由，所以在上单调递减，则，
即证，
令，，
即在上单调递减，故，即成立，
故成立，所以，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题比较大小，要明确数的结构特点，确定其中的变量，进而构造相应的函数，利用单调性进行大小比较，难点是本题解答时要选择恰当的变量，连续构造相应的函数，进行解答.
二、多选题
22．（2023·浙江·校联考二模）已知函数，则（ ）
A．f（x）是单调递增函数 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可判断函数为单调函数，且为增函数可判断A的正误；由的解析式求得的解析式，再求的的解析式，化简即可判断B的正误；将特殊值代入即可排除C；由求得，在求得最值，可判断，即可得到结果.
【详解】函数为连续函数，且当是斜率为正，当时斜率为正，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
所以，故D正确．
故选：ABD.
23．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．，函数是奇函数
B．，使得过原点至少可以作的一条切线
C．，方程一定有实根
D．，使得方程有实根
【答案】AD
【分析】选项A，由奇函数的定义判断；选项B，通过联立方程组判断切线是否存在；选项C，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项D，特殊值法判断存在性.
【详解】函数，定义域，且，函数是奇函数，A选项正确；
设直线，联立方程：，得，，直线不可能是的一条切线， B选项错误；
若，，则，得，
即，由的有界性，显然不一定有解，C选项错误；
当，，显然存在，，使方程有解，D选项正确.
故选：AD
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】由题意可得为偶函数，在上单调递增，不等式等价于，由，解不等式即可.
【详解】函数是定义在上的可导函数，，则定义域为，
，为偶函数，
当时，，则在上单调递增，
当，，则有，
即，所以，
由，可得，
根据选项可知，实数a的取值可以是-1和0.
故选：AB.
25．（2023·辽宁大连·统考一模）定义在上的函数，则（ ）
A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称
B．存在实数，使函数为单调函数
C．任意实数，函数都存在最小值
D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线
【答案】ACD
【分析】根据对称性先用特殊值求得的值，再判断对称性是否对所以自变量均成立即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断D.
【详解】对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立
所以且，所以，解得，
且当时，，则，
所以存在唯一实数，使函数图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；
对于C，由于，又令，则恒成立，
所以在上单调递增，且，故存在唯一的零点，使得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数，函数都存在最小值，故C正确；
对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，
所以切线方程为，当切线过原点时，有
整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确.
故选：ACD.
26．（2023·河北唐山·统考二模）已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】根据可判断A,求导即可根据判断B，由为偶函数以及对称可判断C，根据函数的性质画出大致图象，即可由时，求解D.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，
由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，
又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：
由性质结合图可知：当时，，
由得，故 ，
当且时，此时无解，
当时，，解得 ，
当且时，由得
综上可得的解集为，故D正确，
故选：BCD
【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，题目综合性较高，要对函数基本性质比较熟练，可根据性质利用图象求解问题.对于函数的性质综合运用题目可从以下几个方面解题.
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
27．（2023·湖北·统考二模）已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（ ）
A．当时，存在零点
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】对于选项A，把代入可得，所以不存在零点；对于选项B，由得，再通过构造函数，求的最值，从而证得当时，成立；对于选项C，用反证法先假设，推出，与矛盾，所以正确；对于选项D，令，即可得出的取值范围，从而得到.
【详解】对于选项A，因为，，.
所以当时，，所以不存在零点.
故选项A错误.
对于选项B，因为，
所以，即，所以.
当时，令，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，
所以在上递增，所以.
故选项B正确.
对于选项C，假设，则，
因为
又因为，与矛盾，所以正确.
故选项C正确.
对于选项D，因为，
所以，
令，
所以，
所以，，所以，所以，
即.
故选项D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，可利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性、最值，由此来证得不等式成立.
28．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上最大值为2
B．有两个零点
C．的图像关于点对称
D．存在实数，使的图像关于原点对称
【答案】AC
【分析】根据题意，求导即可判断A，将零点问题转化为函数图像交点问题即可判断B，根据对称中心的定义即可判断C，将问题转化为判断是否为奇函数即可判断D.
【详解】对于，，
在上单调递增，
，故正确；
对于的零点个数即方程的实根个数，
即方程的实根个数，即与图像的交点个数.
在同一坐标系中画出与图像如图所示：
两个函数图像只有一个交点，故B错误；
对于，若的图像关于点对称，
则有对任意恒成立.
恒成立，
的图像关于点对称，故正确；
对于，若存在实数使的图像关于原点对称，则为奇函数.
令对任意恒成立，
即恒成立，
即对任意恒成立，
则，上述方程组无解，故错误.
故选：AC.
29．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于对称 B．的一个周期为
C．不关于对称 D．关于对称
【答案】ABD
【分析】A选项，对两边求导可判断选项正误；
B选项，由①②可知的一个周期为，即可判断选项正误；
C选项，验证是否等于2d即可判断选项正误；
D选项，验证是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由两边求导得，即关于对称，故A正确；
B选项，由为偶函数，知.
又，
则
，即的一个周期为，则的一个周期为，故B正确；
C选项，注意到当时，.
则，即此时
关于，即对称，故C错误；
D选项，由为偶函数，知关于对称，即，则，即关于对称，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：为偶函数；
若以为对称轴，且以为一个对称中心，，则为周期函数，且其一个周期为.
30．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数的值域为，则的子集个数为
D．
【答案】BD
【分析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.
【详解】对于A中，例如，则，，
可得，所以A错误；
对于B中，由，，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若，则且，
所以且，即且，
所以，不符合题意，即，
同理，
若，则与其中一个为，另一个为，或其中一个为，另一个为，
不妨令，则，
此时，，
则，，所以，，
又，显然不符合题意；
再令，则，
此时，，
则，，所以，，
又，不妨令，，此时满足；
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C错误；
对于D中，设，
若，可得，所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时；
，此时；
，此时；
，此时，
所以，结合周期为，即恒为，
即，
所以，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.
三、填空题
31．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
【答案】1
【分析】先求定义域,再利用复合函数单调性即可判断出单调区间,进而求解最小值.
【详解】函数的定义域为.
由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增.
而.所以,函数的最小值为1.
故答案为:1.
32．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）关于函数，有如下四个命题：
①若，则的图象关于点对称；
②若的图象关于直线对称，则；
③当时，函数的极值为；
④当时，函数有两个零点．
其中所有真命题的序号是________．
【答案】①②③
【分析】利用函数对称性的定义可判断①；利用函数对称性的定义求出的值，可判断②；利用函数的极值与导数的关系可判断③；取，解方程，可判断④.
【详解】对于①，当时，，
则
，
所以，当时，的图象关于点对称，①对；
对于②，若的图象关于直线对称，
则对任意的，，
即，
即，即，解得，②对；
对于③，当时，，该函数的定义域为，
所以，，令，可得；令，可得.
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数的极小值为，③对；
对于④，当时，由，可得，
此时函数只有一个零点，④错.
故答案为：①②③.
33．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】4
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数作答
【详解】依题意，函数是以4为周期的偶函数，当时，，
则当时，，
方程，
因此原方程的实根就是函数与函数的图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，
观察图象知，当时，两函数图象只有一个交点，
当时，由得，即当时，两函数图象只有一个公共点，
于是当时，函数与的图象有2个公共点，
又函数与均为偶函数，则当时，两个函数图象有2个公共点，
所以函数与的图象有4个公共点，即原方程有4个根．
故答案为：4
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
34．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是__________.
【答案】
【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值.
【详解】因为实数a，b满足，
所以，且.
令，则，所以，
代入，则有，
所以关于b的一元二次方程有正根，
只需，解得：.
此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.
综上所述：.
即的最小值是（此时，解得：）.
故答案为：.
35．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】先求出当时，，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.
【详解】设分别为函数的图像上关于直线对称的两点，不妨设，则.
所以，所以
所以.
所以当时，.
所以.
而，所以.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
36．（2023·湖北·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
【答案】
【分析】构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围.
【详解】令，则，故为R上的偶函数，
当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
等价于，
即在上恒成立．
所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，
解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，若，则构造，
若，则构造，若，则构造.
四、解答题
37．（2023·河南·校联考三模）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）分区间讨论求解不等式即可得解；
（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，由不等式恒成立求解.
【详解】（1）
当时，令，得，所以；
当时，令，得，无解；
当时，令，得，所以．
综上，原不等式的解集为或．
（2），
当且仅当时，取得最小值，
，在时取得最大值．
又因为关于x的不等式恒成立，
所以，
即，所以m的取值范围为．
38．（2023·河北张家口·统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式，化简整理可得，可得，进而即得；
（2）由余弦定理可推得，变形即可得出，根据已知条件，得出的范围，即可得出，然后根据不等式的性质得出，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由，得，
整理可得.
又，所以.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，于是，，
所以，则，
由正弦定理得.
在锐角中，，则.
又，故，
所以，所以，
所以，，
因此，.
由题意可得恒成立，
于是，.
所以，实数的取值范围是.
39．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）．定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为．
(1)判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)求证：当时，函数有两个不同的零点．
【答案】(1)在区间上是凸函数，理由见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，可得函数解析式，根据凸函数的定义即可判断出结论；
（2）判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）由，得，
而，依题意，，∴，
∴，，
∴，
因为，
∴在区间上为凸函数.
（2）证明：由（1）知在区间内单调递减，又，
∴，使得，
当时，：当时，，
∴在内单调递增，在内单调递减，
因为，，，
∴在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点.
【点睛】方法点睛：（1）根据凸函数的定义，对函数二次求导，结合三角函数性质判断导数正负即可；（2）证明时，函数有2个零点，利用函数的单调性结合零点存在定理即可判断.
40．（2023·上海嘉定·统考二模）已知，等差数列的前项和为，记．
(1)求证：函数的图像关于点中心对称；
(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)证明见解析，理由见解析
【分析】（1）函数中心对称性质：，则的图象关于点中心对称，根据此定义证明即可；
（2）利用三角形内角和为和等差中项性质求解出和 ，再根据定义展开，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出的取值范围；
（3）根据等差数列性质可得，将该关系式代入计算即可.
【详解】（1），
，
，
故函数的图象关于点中心对称；
（2）因为为等差数列，所以，
又因 、、是某三角形的三个内角，所以，得，，
化简得：，
因为、、是某三角形的三个内角，且，所以，
即，，可得；
（3）证明：若，根据等差数列性质可得，
由此可得，，，
即，
，
解得，证毕.
反之，若，即
因为为等差数列，所以，
即，
当且仅当时，，
若，则，
故反之不成立，证毕.
【点睛】方法点睛：
常见函数的累加求值：
①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算；
②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算.
41．（2023·上海浦东新·统考二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．
(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
(2)已知，． 证明：点是的0度点；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
【答案】(1)原点是函数的一个1度点，点不是函数的一个1度点
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求；
（2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕；
（3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解.
【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）设，，
则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设，则当时，，故在区间上严格增．
因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若，因为，解得有两个驻点．
由或时得严格增；而当时，得严格减．
故在时取得极大值，在时取得极小值．
又因为，，
所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上，的全体2度点构成的集合为或．
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
42．（2023·上海青浦·统考二模）设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；
（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.
【详解】（1）不妨设，在区间上严格增，
对任意，有，
又，
函数在区间上是严格增函数；
（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，
当在区间上严格减时，在区间上是严格减，
又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，
可得，
当时，，在左右附近两侧异号，
满足条件，所以.
（3）当时，
由条件知，
当时，对任意，有，
即，
又的值域是，，
当时，对任意，有，
，
又的值域是，，
综上可知，任意，.
43．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数.
(1)若在上周期为，求的值；
(2)当时，判断函数在上零点的个数：
(3)已知在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)一个零点
(3)
【分析】（1）利用恒成立，得到在上恒成立，即可求值；
（2）对函数求导，讨论、，根据导数符号判断单调性，结合零点存在性定理研究零点的个数；
（3）将问题化为在上恒成立，构造函数，讨论参数并研究其单调性，进而分区间判断是否恒成立求参数范围.
【详解】（1）由题意，在上，
所以，
即在上恒成立，
又，故.
（2）当时，则，
当时，所以，即在上单调递增.
又，所以在上有且仅有一个零点；
当时，所以在上无零点.
综上，在上有且仅有一个零点.
（3）由，即，整理得，
令，则，
当时，对任意有，又，
所以，此时在上单调递增，故，符合题意.
当时，令，则，
所以，在上恒成立，即在上单调递增.
又.
当，即时，在上有，此时在上单调递增，，符合题意.
当，即时，若，即，
由零点存在定理，存在使，故上，
所以在上递减，此时，不合题意.
若，即，此时对恒有且不恒为0.
即在上单调递减，所以，不合题意.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问，问题转化为在上恒成立，构造中间函数研究函数符号.
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专题03 函数及其性质
一、单选题
1．（2023·湖北十堰·统考二模）若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·广西·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( )
A． B．
C． D．
4．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·浙江·校联考二模）双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
D．若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则
11．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·北京东城·统考二模）设，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·浙江嘉兴·统考二模）设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知函数，则的零点个数为（ ）
A．2023 B．2025 C．2027 D．2029
19．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
21．（2023·浙江·统考二模）设，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
22．（2023·浙江·校联考二模）已知函数，则（ ）
A．f（x）是单调递增函数 B．
C． D．
23．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．，函数是奇函数
B．，使得过原点至少可以作的一条切线
C．，方程一定有实根
D．，使得方程有实根
24．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，当时，，若且对任意，不等式成立，则实数的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
25．（2023·辽宁大连·统考一模）定义在上的函数，则（ ）
A．存在唯一实数，使函数图象关于直线对称
B．存在实数，使函数为单调函数
C．任意实数，函数都存在最小值
D．任意实数，函数都存在两条过原点的切线
26．（2023·河北唐山·统考二模）已知函数及其导函数的定义域均为．，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
27．（2023·湖北·统考二模）已知，定义：表示不超过的最大整数，例如.若函数，其中，则（ ）
A．当时，存在零点
B．若，则
C．若，则
D．若，则
28．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．在上最大值为2
B．有两个零点
C．的图像关于点对称
D．存在实数，使的图像关于原点对称
29．（2023·湖南·校联考二模）已知函数满足：①为偶函数；②，．是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于对称 B．的一个周期为
C．不关于对称 D．关于对称
30．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设，当时，规定，如，.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．设函数的值域为，则的子集个数为
D．
三、填空题
31．（2023·河北张家口·统考二模）函数的最小值为___________.
32．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）关于函数，有如下四个命题：
①若，则的图象关于点对称；
②若的图象关于直线对称，则；
③当时，函数的极值为；
④当时，函数有两个零点．
其中所有真命题的序号是________．
33．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
34．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知实数a，b满足，则的最小值是__________.
35．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数的图像关于直线对称，且时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
36．（2023·湖北·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
四、解答题
37．（2023·河南·校联考三模）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围．
38．（2023·河北张家口·统考二模）在锐角中，角所对的边分别为，若.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
39．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）．定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为．
(1)判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)求证：当时，函数有两个不同的零点．
40．（2023·上海嘉定·统考二模）已知，等差数列的前项和为，记．
(1)求证：函数的图像关于点中心对称；
(2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
(3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
41．（2023·上海浦东新·统考二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．
(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
(2)已知，． 证明：点是的0度点；
(3)求函数的全体2度点构成的集合．
42．（2023·上海青浦·统考二模）设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.
43．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数.
(1)若在上周期为，求的值；
(2)当时，判断函数在上零点的个数：
(3)已知在上恒成立，求实数的取值范围.
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