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专题04 一次函数与二次函数
一、单选题
1．（2023·河南·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先分别求解出、两个集合，然后再根据集合并集的定义进行运算即可.
【详解】由于，故，
，，即，故，
因此，即.
故选：A.
2．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先求得时，函数的值域为，结合函数为奇函数，求得函数的值域，进而求得其最小值.
【详解】当时，函数，
当时，；当时，，
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数，所以的值域为，
所以的最小值是.
故选：A.
3．（2023·海南·校联考模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，，
所以.
故选：A.
4．（2023·江西南昌·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数式有意义及交集的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以.
由，得，即，解得，
所以，
所以.
故选：A.
5．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象可知，，再结合二次函数的顶点式即可解出．
【详解】由图可知，，而，顶点横坐标为，所以．
故选：A．
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.
【详解】因为，，所以，
所以，，又，所以，不满足，
故选项A、B、C错误，选项D正确，
故选：D.
7．（2023·辽宁锦州·统考二模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定，，再计算交集得到答案.
【详解】，
，故，
故.
故选：B
8．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先解对数不等式求出集合，在根据二次函数的性质求出集合，最后根据并集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
又，
所以.
故选：A
9．（2023·湖南怀化·统考二模）如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】由于，
如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，
连接,由于，则≌,
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值，
故选：A．
10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由，得，设，根据相似可得，代入双曲线方程，进而得到，再结合二次函数性质求解即可.
【详解】由双曲线，得，
由，得，又，
设，则，即，
又在双曲线上，所以，
即，即，
整理，得，
令，，则，
因为函数对称轴为，在上单调递增，
所以时，，即，
所以.
故选：D.
11．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】由余弦定理可得，
所以.
因为，，所以，即，解得.
所以
，
当时，.
故选：C.
12．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
【答案】C
【分析】先表示利润函数，利润等于销售收入减去投资和固定投入100万元，再分别利用二次函数、均值不等式求最值.
【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，
，
即，
当时，的对称轴，则；
当时，，当且仅当时，取得最大值2200.
综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.
故选：C.
13．（2023·陕西安康·统考二模）若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.
【详解】对于A：，
故A正确；
对于B：∵，∴，故B错误；
对于C：，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：，故D错误．
故选：A．
14．（2023·浙江温州·统考二模）已知向量，满足，且对任意实数，，的最小值为，的最小值为，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】不妨设向量，，求出，的坐标，表示为关于x的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，表示为关于y的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m，n，即可求得．
【详解】不妨设向量，，
则，，
所以，
又对任意实数有的最小值为，
所以，化简得．
又，
对任意实数有的最小值为，
所以，所以，即．
由，可得或3，
故或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量，的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值．
15．（2023·云南·校联考二模）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性可解不等式求得集合；结合二次函数性质可求得集合；根据交集定义可求得结果.
【详解】由得：，即；
由得：，此时，，即，
.
故选：D.
16．（2023·贵州·统考模拟预测）若函数的最小值为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x的范围分类讨论去掉的绝对值符号，再根据二次函数的性质和f(x)的最小值即可求出关于a的方程，令，根据g(a)的单调性即可求出a的范围．
【详解】当时，，
当时，，
∵，
∴的最小值为，∴，即，
设，则是R上的增函数，
∵，，
∴．
故选：C．
17．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
18．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】变形给定等式，求出的范围，再把变形为的二次函数，求出最大值作答.
【详解】由，得，解得，
于是，而，
当且仅当，即时等号，因此，
所以当时，取得最大值.
故选：C
19．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得，
所以圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
故有，即，
所以半径为，
当时，圆C的半径的最小值为.
故选：C.
20．（2023·陕西渭南·统考二模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】看成关于的二次函数，即可求解.
【详解】根据题意得：
由于所以是关于的二次函数，因此当即时，取得最小值.
故选：A.
21．（2023·江西吉安·统考一模）在正方体中，E F分别为的中点，G为线段上的动点，则异面直线与所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用向量法写出两直线夹角余弦的表达式，再利用二次函数的性质即可求出最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，，
分别为中点，则，，，
故，，
设两异面直线夹角为，其中，
故，
，则当或时，取得最小值，最小值为，
又因为在上为单调减函数，则的最大值为.
故选：C.
22．（2023·北京丰台·统考二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
23．（2023·新疆阿克苏·校考一模）设函数，，，．记，，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小无法确定
【答案】A
【分析】判断函数和的单调性，结合数列的单调性，化简，关系式，去绝对值，然后将值代入函数解析式计算，的值，比较大小即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
数列为单调递增数列，
所以
所以.
令，则，因为函数在上单调递增，
在上单调递减，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以
因为，所以
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：求解本题的关键是利用函数和的单调性与数列的单调性，对化简、去绝对值，然后再代值计算.
二、多选题
24．（2023·吉林白山·统考三模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】解：设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：AC
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
25．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】BD
【分析】求出给定函数的定义域及导数，利用导函数有两个不同的零点，求解作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数有两个极值点，则方程，即在内有两个变号零点，
令，，则，令，
当时，，的取值集合是，当时，，
若，即，函数对单调递增，的取值集合是，
若，即，函数对单调递减，的取值集合是，
依题意，方程在内有两个不等实根，即直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点，
于是当或时，在内有两个变号零点，
所以实数a的取值范围是或，即a的值可以是，，选项AC不满足，BD正确.
故选：BD
26．（2023·吉林长春·校联考一模）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意可得，对A：根据不等式性质分析运算；对B：利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建，利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.
【详解】由，
可得，
对A：∵，则，
故，A正确；
对B：由选项A可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故，B正确；
对C：，
令，则，C错误；
对D：，等价于，
构建，则当时恒成立，
则在上单调递增，
由选项A可知：，则，
故，D正确；
故选：ABD.
27．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
28．（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，由可得，解得，
所以，，B错；
对于C选项，由可得，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；
对于D选项，，
因为，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.
故选：ACD.
29．（2023·湖南株洲·统考一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】设，由可得，再根据选项依次判断正误即可.
【详解】设，
，，，
即，
所以要使为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式.
由中的最高次数为4，是它的一个零点，
因此，
即.
对选项，，是正确的；
对选项，，是正确的；
对选项，，是正确的；
对选项，，当时，最小值为，当时，无最小值，因此选项是错误的.
故选：.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.
三、填空题
30．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【分析】根据导数与极值的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
31．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）双曲线的离心率的取值范围是___．
【答案】
【分析】由已知求得，，得到.又，根据二次函数的性质得出，开方即可得出答案.
【详解】由题意可知，，，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
故答案为：.
32．（2023·重庆·统考二模）已知，，则的最小值为___________.
【答案】/
【分析】首先由条件变形得，再利用二次函数求最值.
【详解】设，
，
当，此时，的最小值为.
故答案为：
33．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
【答案】
【分析】设，以为基底可表示出，从而用表示出；根据算数平均数、几何平均数和希罗平均数的定义，结合二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】设，
，
，解得：，，，，
，，.
故答案为：.
34．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由有两等根，可得得，由可得 为对称轴，可得，则可得到的解析式，对分类讨论，利用函数单调性可得的最大值.
【详解】解：已知方程有两等根，即有两等根，
，解得；
，得，是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在上的最大值为，
当时，在上是增函数，，
当时，在上是增函数，在上是减函数，，
综上，的最大值为1.
故答案为：1.
35．（2023·安徽合肥·校联考三模）函数的值域为____．
【答案】
【分析】利用换元法和二次函数性质即可求得的值域.
【详解】
令，则，
则的值域转化为，的值域，
，则，
则的值域为，则函数的值域为.
故答案为：
四、解答题
36．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）选择条件①：可得是首项为4，公差为3的等差数列，即可求出数列的通项公式；选择条件②：当时，，两式相减，即可得出答案；
（2）选择条件①：假设存在满足题意的正整数m，则有，即，即，由二次函数的性质即可求出m的最小值；
选择条件②：分和两种情况，再结合二次函数的性质即可求出m的最小值；
【详解】（1）选择条件①：
由，，得是首项为4，公差为3的等差数列，
则，又，所以．
选择条件②：
由，可得当时，，
又当时，不满足上式，所以
（2）选择条件①：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，
则有，即，
即
因为且，，
所以当时，．
所以存在正整数m，使得，，成等比数列，m的最小值为8
选择条件②：
假设存在满足题意的正整数m，使得，，成等比数列，则有，
当时，有，即，此时n无正整数解，
当时，，即．
因为，所以不可能为正整数，
所以不存在正整数m，使得，，成等比数列
38．（2023·甘肃武威·统考三模）已知
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，恒成立，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）考虑，，，解不等式得到答案.
（2）计算，，得到，确定，变换，得到答案.
【详解】（1），
当时，，得，故；
当时，，得，故；
当时，由，得，此时无解.
综上所述：原不等式的解集是．
（2），故，，，则，
，
，故，，
，故m的最大值为2．
39．（2023·海南·统考模拟预测）白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y与x线性相关．
季度x 1 2 3 4 5 6 7
销售额y（单位：万元） 2.7 3.1 3.9 4.6 5.1 5.7 6.4
(1)根据前7个季度的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；
(3)若该养殖户每季度的利润W与x，y的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．
附：经验回归方程中的系数，．
【答案】(1)
(2)7.625万元
(3)第5季度
【分析】（1）由y关于x的回归直线方程的计算公式求得结果；
（2）将代入回归直线方程求得结果；
（3）将养殖户每季度的利润W表示成关于x的二次函数，再求二次函数的最值.
【详解】（1）由表格数据，得，，
则，
所以，
所以y关于x的经验回归方程为．
（2）将代入（1）中所求方程，得，
即该养殖户在第9个季度的销售额约为7.625万元．
（3）由题意知，
．
因为，则由二次函数的对称性知，该养殖户在第5季度所获利润最大．
40．（2023·广东广州·统考二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
【答案】(1)
(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.
【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于的回归方程为.
（2）解：由可得，
年利润
，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.
41．（2023·上海宝山·统考二模）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．
4 6 8 10
12 20 28 84
(1)试建立与的线性回归方程；
(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布为
假设产品月利润=月销售量×销售价格成本．（其中月销售量=生产量）
根据（1）进行计算，当产量为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)时，月利润的期望值最大，最大值为.
【分析】（1）由线性回归方程计算公式可得答案；
（2）由题可得月利润的期望值表达式，后由单调性可得答案.
【详解】（1）设与的回归方程为，则，
又，，
，.
则.，则回归方程为：.
（2）设月利润的期望值为，则由题可得：
，则在上单调递增，
则当时，最大，.
即件时，月利润的期望值最大，最大值为万元
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专题04 一次函数与二次函数
一、单选题
1．（2023·河南·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·海南·校联考模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西南昌·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东枣庄·统考二模）指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁锦州·统考二模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·湖南怀化·统考二模）如图，在平面四边形中，，.若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
11．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
12．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（ ）
A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元
13．（2023·陕西安康·统考二模）若，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·浙江温州·统考二模）已知向量，满足，且对任意实数，，的最小值为，的最小值为，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
15．（2023·云南·校联考二模）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·贵州·统考模拟预测）若函数的最小值为，则( )
A． B． C． D．
17．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为
20．（2023·陕西渭南·统考二模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江西吉安·统考一模）在正方体中，E F分别为的中点，G为线段上的动点，则异面直线与所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·北京丰台·统考二模）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
23．（2023·新疆阿克苏·校考一模）设函数，，，．记，，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．，的大小无法确定
二、多选题
24．（2023·吉林白山·统考三模）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（ ）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
25．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数，若函数有两个极值点，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
26．（2023·吉林长春·校联考一模）已知实数a，b满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
28．（2023·山东聊城·统考一模）设，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
29．（2023·湖南株洲·统考一模）已知是函数的零点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
30．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
31．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）双曲线的离心率的取值范围是___．
32．（2023·重庆·统考二模）已知，，则的最小值为___________.
33．（2023·四川凉山·二模）已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．
34．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
35．（2023·安徽合肥·校联考三模）函数的值域为____．
四、解答题
36．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
37．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）在①，，②，为的前n项和，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列满足______．
(1)求数列的通项公式；
(2)对大于1的正整数n，是否存在正整数m，使得，，成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
38．（2023·甘肃武威·统考三模）已知
(1)求不等式的解集；
(2)若，且，恒成立，求m的最大值．
39．（2023·海南·统考模拟预测）白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y与x线性相关．
季度x 1 2 3 4 5 6 7
销售额y（单位：万元） 2.7 3.1 3.9 4.6 5.1 5.7 6.4
(1)根据前7个季度的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；
(3)若该养殖户每季度的利润W与x，y的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．
附：经验回归方程中的系数，．
40．（2023·广东广州·统考二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
41．（2023·上海宝山·统考二模）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．
4 6 8 10
12 20 28 84
(1)试建立与的线性回归方程；
(2)研究人员进一步统计历年的销售数据发现．在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布为
假设产品月利润=月销售量×销售价格成本．（其中月销售量=生产量）
根据（1）进行计算，当产量为何值时．月利润的期望值最大？最大值为多少？
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