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专题02 常用逻辑用语
一、单选题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知等比数列的公比为，，其前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·北京东城·统考二模）“ ”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题，不是素数，则为（ ）
A．，是素数 B．，是素数
C．，是素数 D．，是素数
5．（2023·北京海淀·统考二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．（2023·广东佛山·统考二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023·广东佛山·统考二模）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023·北京昌平·统考二模）对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）复数是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．且 B． C．且 D．
12．（2023·上海金山·统考二模）设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题
13．（2023·北京朝阳·二模）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023·辽宁·校联考二模）已知，若，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·浙江温州·统考三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
18．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·全国·校联考二模）已知命题，；命题，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数
二、多选题
21．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数是自然对数的底数，则（ ）
A．
B．若，则
C．的最大值为
D．“”是“”的充分不必要条件
22．（2023·广东梅州·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．的最大值为
23．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．命题使得，则
D．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为
24．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状，如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，a，b，，且a，b，c不全相等）
若该建筑的室内地面是面积为的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．若，则
25．（2023·陕西渭南·统考二模）已知命题p：；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）下列说法中，其中正确的是（ ）
A．命题：“”的否定是“”
B．化简的结果为2
C．…
D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.
28．（2023·广东·统考一模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
三、填空题
29．（2023·浙江·校联考二模）命题“，”的否定为______．
30．（2023·江西南昌·校联考二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
31．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.
32．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
33．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）数列满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证：数列的指数和的充分必要条件是.
34．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
35．（2023·北京丰台·统考一模）已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
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专题02 常用逻辑用语
一、单选题
1．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知等比数列的公比为，，其前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质即可推导出，由此即可求解．
【详解】∵数列为正项等比数列，且公比为，前项和为，
∴；；
∵，故，
∵，
①当时，，即：“”
∴具有充分性；
②当“”时，即，
∴具有必要性．
故选：C．
2．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）已知两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的共线的坐标运算，求得，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】因为且，可得，解得或，
又因为为非零向量，所以，即，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
3．（2023·北京东城·统考二模）“ ”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用，得出，从而求出，再利用偶函数的定义进行判断即可得出充分性成立，再利用，得出，从而判断必要性成立，从而得出结果.
【详解】若，得到，所以，
当时，，当时，，
即或，
当时，恒有，当时，，
所以，若，则为偶函数，
若为偶函数，则，所以，化简得，所以，
故选：C.
4．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知命题，不是素数，则为（ ）
A．，是素数 B．，是素数
C．，是素数 D．，是素数
【答案】D
【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数.
故选：D.
5．（2023·北京海淀·统考二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，故，而，
存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分条件，
若且，则与方向相同，故此时，所以“”是“存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件，
故选：C
6．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由充分必要条件的定义举反例判定即可.
【详解】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.
【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.
8．（2023·广东佛山·统考二模）已知方程，其中．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.
【详解】因为方程，其中，
所以当时，方程为，即是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当时，方程为，即是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当时，方程为，即是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有，这与矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
9．（2023·广东佛山·统考二模）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】等差数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，显然有，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
10．（2023·北京昌平·统考二模）对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可.
【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数与的图象，
则函数的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，
根据图象令，解得，
分析可得其图象关于直线对称，
要使函数的图象关于直线对称，则t的值为，
当时，函数的图象关于直线对称，
所以“”是“函数的图象关于直线对称”的充分必要条件.
故选：C
11．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）复数是纯虚数的充分不必要条件是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.
【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，
又因为且是且的充分不必要条件，
所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.
故选：C.
12．（2023·上海金山·统考二模）设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题
【答案】C
【分析】根据等比数列的前项和公式计算和，然后分析判断．
【详解】，，
由已知且时，，因此中（为偶数）或（为奇数）时取得最大值，
因此对命题①，有，，命题①为真命题；
由已知数列是或，其中，
整理化简后等于或中连续项的和或等于0,
若，取即可满足题意；
若等于中连续项的和，例如（且），
则有，取，即可满足题意；
同理若等于中连续项的和，例如（且），
则有，取，即可满足题意；
综上，命题②是真命题．
故选：C．
13．（2023·北京朝阳·二模）已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】讨论、对应在上的单调性，结合充分必要性的定义可得答案.
【详解】当时，，显然在上单调递增，充分性成立；
而在区间上单调递增，此时，必要性不成立；
所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A
14．（2023·辽宁·校联考二模）已知，若，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得或，
即命题为真命题时，构成集合或，
又由，根据指数函数的图象与性质，可得，
即命题为真命题时，构成集合
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．
【详解】令，则，所以p为真命题；
若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，
所以只有为真命题.
故选：B．
16．（2023·浙江温州·统考三模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性可解不等式，然后可得.
【详解】设，则，
所以在R上单调递增，
所以不等式.
即“”是“”的充要条件.
故选：C
17．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必要性，得到答案.
【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，
，不充分；
若，则，整理得到，
若且，设夹角为，则，即，即，即，故与共线，必要性成立.
综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件.
故选：B
18．（2023·安徽合肥·校联考三模）已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.
【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件，
如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误；
对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ，
如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确.
故选：D.
19．（2023·全国·校联考二模）已知命题，；命题，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用命题的真假判定，真值表的应用求解.
【详解】因为不成立，所以p为假命题；
因为当时，成立，故q为真命题．
所以为假命题，为真命题．
故选：．
20．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数
【答案】B
【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.
【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：B
二、多选题
21．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知函数是自然对数的底数，则（ ）
A．
B．若，则
C．的最大值为
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】首先求函数的导数，判断函数的单调性和函数的最大值，判断AC，由特殊值判断B，根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义判断D.
【详解】，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，，
，，故A正确；
由单调性可知，当时，函数取得最大值，故C正确；
若，则，即，
由可知，，故B错误；
不等式等价于，
当，，因为函数在单调递增，
所以，即，故，
当时，则，
因为函数在单调递增，在单调递减，
，，又，
所以，即，
所以当时，，
故“”是“”的充分条件，
又因为，所以，即，
即时，也成立，
故“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，D正确.
故选：ACD.
22．（2023·广东梅州·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．的最大值为
【答案】AD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用对数函数单调性求出最值判断D作答.
【详解】对于A，“若，则”是假命题，因为，而；“若，则”是假命题，
因为，而，即“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；
对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“，”，B错误；
对于C，当时，成立，因此成立，不一定有，C错误；
对于D，函数的定义域为，，
而函数在上单调递增，因此当时，，D正确.
故选：AD
23．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．命题使得，则
D．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断A选项，根据基本不等式取等条件判断B选项，根据命题的否定判断C选项，根据古典概型概念判断D选项.
【详解】若，左右两边乘以,可得,A选项正确;
,当且仅当取等号,显然等号取不到，即的最小值不是4,B选项错误;
命题使得，则,C选项错误;
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种情况：,
则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况，
则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为,D选项正确;
故选:AD.
24．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状，如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，a，b，，且a，b，c不全相等）
若该建筑的室内地面是面积为的圆，则下列结论正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．若，则
【答案】AD
【分析】令 得底面曲线方程结合已知条件分别判断A,B,D选项，根据反证法判断C选项即可.
【详解】已知,令 得底面曲线方程为,
建筑的室内地面是面积为的圆，
,且得 ,故A正确；
,不全相等， ，故B错误；
由得 ，即 ，则 与 不全相等矛盾，故C错误；
若，即则，故D正确.
故选:AD.
25．（2023·陕西渭南·统考二模）已知命题p：；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】结合对数函数的性质，指数函数的性质判断出的真假后，由复合命题的真值表判断．
【详解】时，无意义，命题是假命题，时，，命题是真命题，则是真命题，是假命题，
因此AB是真命题，CD是假命题．
故选：AB．
26．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
【答案】BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故.
所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C，，因为，
若，则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C正确；
对于D，，
令得，又，
若，
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若，
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）下列说法中，其中正确的是（ ）
A．命题：“”的否定是“”
B．化简的结果为2
C．…
D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.
【答案】BCD
【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B；根据二项式定理即可判断C；利用线面垂直的判定定理可得平面，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.
【详解】A：命题：“”的否定是“”，故A错；
B：，故B正确；
C：…，故C正确；
D：如图所示，
由，，则，得，
由是的中点，，易知：△为等边三角形且，
又，所以，得，
又，平面，所以平面.
设球心为且在过△中心垂直于面的垂线上，点到底面的距离为，
由正弦定理得的外接圆半径，
球的半径，
所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确.
故选：BCD.
28．（2023·广东·统考一模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
【答案】BC
【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.
【详解】对A：当时，，而，A错误；
对B：对于集合，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
对C：对于集合，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于集合，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
三、填空题
29．（2023·浙江·校联考二模）命题“，”的否定为______．
【答案】．
【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为.
故答案为：.
30．（2023·江西南昌·校联考二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为___________.（用区间表示）
【答案】
【分析】求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.
【详解】因为，即函数的值域为，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
31．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.
【答案】（只需满足即可）
【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.
【详解】由可得，则，
所以，，解得，
因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.
故答案为：（只需满足即可）.
32．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
33．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）数列满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证：数列的指数和的充分必要条件是.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别讨论的取值，由可求得所有可能的取值；
（2）当时，可知，结合等比数列求和公式可证得充分性成立；假设，可知，结合等比数列求和公式可证得必要性成立，由此可得结论.
【详解】（1）由题意知：，
，
当时，；当，时，；
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，；
当，时，；当时，；
综上所述：所有可能的取值为.
（2）充分性：当时，（当且仅当时取等号），
即当时，，充分性成立；
必要性：假设，则（当且仅当时取等号），
与矛盾，假设错误，即，必要性成立；
综上所述：数列的指数和的充分必要条件是
34．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
35．（2023·北京丰台·统考一模）已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据所给定义判断即可.
（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；
（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.
【详解】（1）因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
（2）先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”.
（3）的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，
若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，
故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；
所以.
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，
当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，
当三个数都属于，因为数组满足条件，
所以此时集合必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.
（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，
分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；
当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，
根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
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