泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）参考答案
1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A 11．B 12．B
13． 14． 15．4320 16．
17．解：（1）由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，所以有；
（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
18．解：（1）可取162，163，164，165，166，
，，，
，，
所以分布列为：
162 163 164 165 166
（2）设表示每天的利润，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以平均利润为（元）.
19．解（1）连接AC，面ABCD
，，面PAC，面PAC，，
面，，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立坐标系则，
，，设平面的法向量为，
即，令，则，，
A到面PBC距离.
（2）由（1）可知：，，，，
设平面的法向量为，
即，，令，则，
设面的法向量为，
即令，则，，
，∴二面角的正弦值为.
20．（1）解：设，，，则有，，，整理可得.
（2）设，，联立，消元得，
当，即时，
则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点O到直线l的距离，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．
21．（1）∵函数，∴函数，（.
由，解得，由，得.
∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）证明：由（1）知，的最小值为，
∴（且），即，
∴，，…，，
累加得：，
即，
∴，
下面利用数学归纳法证明.
当时，左边，右边，不等式成立；
假设当时不等式成立，即，
那么，当时，.
要证，
只需证，也就是证，此时显然成立.
∴，即，综上，.
∴.
22．解:(1)直线的参数方程为(为参数) 极坐标方程为()
(2)曲线的普通方程为
将直线的参数方程代入曲线中，得，
设点对应的参数分别是，则，
23．（1）由题意可知，，
①当时，原式可化为，即或，∴；
②当时，原式可化为，即或，∴无解；
③当时，原式可化为，即或，∴；综上所述，．
（2）由题意可知，，当时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
令，当时，取到最小值为，由题意可知，故．泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知与之间的一组数据：若关于的线性回归方程为，则的值为．
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
4．执行如图所示的程序框图，则输出的为
A． B． C． D．
5．在的展开式中，含项的系数为
A．21 B．－21 C．35 D．－35
6．已知新华中学高一2班有20人，某次数学考试中，得分被评为等的5人，等8人，等7人.从中随意选取2人，则这两人得分在同一等级的概率为
A． B． C． D．
7．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则
A．， B．， C．， D．，
8．如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自空白部分的概率等于
A． B． C． D．
9．若直线是曲线的一条切线，则实数
A． B． C． D．
10．一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为
A． B． C． D．
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直
线与交于A，B两点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f（x）＝﹣2ex+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为_____.
14．已知命题：：不等式的解集为；：不等式的解集为，若命题与命题中至少有一个为假命题，则的取值范围为_______________.
15．有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有________.
16．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(Ⅰ)，，的值；
(Ⅱ)若函数有三个零点，求的取值范围．
18．随着2022年北京冬季奥运会的如火如荼地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：
每天需求量 162 163 164 165 166
频数 2 4 6 5 3
以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．
19．如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，面ABCD，，．
(Ⅰ)求点A到平面PBC的距离；
(Ⅱ)求二面角的正弦值．
20．设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
(Ⅰ)求点G运动的曲线C的方程；
(Ⅱ)直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
21．已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系中，直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线的参数方程和极坐标方程；
(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
(Ⅰ)求不等式的解集；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围．
