峨眉山市2022-2023学年高二下学期期中考试理科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B B C A D B C D D A
13． 14．36 15． 16．－1
17．解：（1）方法一：(直接法)．第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为 (种)；
第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为 (种)；第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为 (种)；故共有60＋36＋4＝100(种)．………………（5分）
方法二：(间接法)．从10名同学中选出3名同学的选法种数为种．其中不适合条件的有种，故共有 (种)．
（2）第一类：3名代表中有一名男生，则选法为 (种)；第二类：3名代表中无男生，则选法为 (种)；故共有60＋20＝80(种)．………………（10分）
18．解：(1)因为函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝，
由得0 e.
所以函数f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．………………（6分）
（2）由（1）得f (x)在(e，＋∞)上单调递减∴。………………（12分）
19.(1)证明 ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1.
又BC1 平面AD1E，AD1 平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E.………………（5分）
解 如图所示，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A－xyz，不妨设正方体的棱长为2，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，D1(2，0，2)，E(0，2，1)..………………（6分）
∴＝(0，0，2)，＝(2，0，2)，＝(0，2，1)..………………（7分）
设平面AD1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即
令y＝1，则z＝－2，x＝2，
∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，1，－2)...………………（9分）
∴cos〈，n〉＝＝＝－...………………（11分）
∴直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为...………………（12分）
20.解 (1)当a＝0时，f (x)＝x2－xln x，定义域为(0，＋∞)，
故f ′(x)＝2x－1－ln x，设g(x)＝2x－1－ln x，则g′(x)＝。
当0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x＝时，g(x)取得最小值。
所以f ′(x)min＝g(x)min＝＝2×－1－ln ＝ln 2。..………………（6分）
(2)解法一：因为f ′(x)＝2x－a－1－ln x，所以设h(x)＝2x－a－1－ln x，
则h′(x)＝。由(1)可知h(x)的最小值是＝－a＋ln 2，
要使f (x)在(0，＋∞)上单调递增，只需f ′(x)min＝h(x)min＝－a＋ln 2≥0，
所以a≤ln 2。故a的取值范围为(－∞，ln 2]。..………………（12分）
解法二：由题意，问题可转化为f ′(x)＝2x－a－1－ln x≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即a≤2x－ln x－1在(0，＋∞)上恒成立。
令h(x)＝2x－ln x－1，则h′(x)＝2－，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)在上单调递减，
当x∈时，h′(x)>0，h(x)在上单调递增，
所以h(x)min＝h＝ln 2，所以a≤ln 2，即a的取值范围为(－∞，ln 2]。..………………（12分）
21.解 (1)依题意知，f (x)的定义域为(0，＋∞)，对f (x)求导，得f ′(x)＝＋2ax－b。..………………（1分）由已知，得..………………（3分）
解得
所以f ′(x)＝－＝＝(x>0)，
可知f (x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
满足f (x)在x＝2处取得极值，所以a＝－，b＝0。..………………（6分）
(2)当a＝－时，g(x)＝ln x－x2＋b。
对g(x)求导，得g′(x)＝－＝＝。..……（7分）
当x∈(1,2)时，g′(x)>0，当x∈(2，3)时，g′(x)<0，所以g(x)在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，
在区间[1,3]上，g(x)max＝g(2)＝ln 2－＋b。..………………（9分）
又g(1)＝－＋b，g(3)＝ln 3－＋b，g(3)－g(1)＝ln 3－1>0，
所以g(x)min＝g(1)＝－＋b＝1，解得b＝，..………………（11分）
所以g(2)＝ln 2＋。于是函数g(x)在区间[1,3]上的最大值为g(2)＝ln 2＋。..………………（12分）
解：（1）由可得，
当时，，当时，当时，。
从而的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由得，，，
①若，即时恒成立，故在R上单调递增；
②若，即时，由可得或。由得，此时的单调递增区间为，的单调递减区间为；
③若，即时，由可得或。由得，此时的单调递增区间为，的单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）不等式，可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则。
令，则，则在上单调递减，
又，故在上有唯一的实根，
不妨设该实根为，故当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
故，又因为，
所以，，，所以，
由题意知，解得，故的取值范围为。
另（2）由不等式，可得对恒成立。
即对任意的恒成立，
令，，则，
故当时，，单调递增；
故当时，，单调递减。
故，由题意知，解得，故的取值范围为。峨眉山市2022-2023学年高二下学期期中考试
理科数学试题
选择题（每题5分共60分）
1.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.命题p：“ x>1，x2－1>0”，则p为( )
A. x>1，x2－1≤0 B. x≤1，x2－1≤0C. x0>1，x－1≤0 D. x0≤1，x－1≤0
3.已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝( )
A．－1－I B．－1＋I C．－＋i D．－－i
4.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A.[1，＋∞) B.(0，1] C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
5.函数y＝xex的最小值是( )
A.－1 B.－e C.－ D.不存在
6.已知函数f(x)＝，则函数在x＝－1处的切线方程是( )
A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0 C.2x－y－1＝0 D.x＋2y－2＝0
7.树立劳动观念对人的健康成长至关重要。某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有( )
A．8种 B．9种 C．12种 D．14种
8.的展开式中x3的系数为( )
A．168 B．84 C．42 D．21
9.已知函数f (x)＝x3＋2x，若f (a)＋f (1－2a)>0，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)B．(－∞，1)C． D．
10.已知函数f (x)＝x3－ax2－bx(a>0，b>0)的一个极值点为1，则ab的最大值为( )
A．1 B． C． D．
11.若在上可导且，其导函数满足，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数若存在实数使得成立，则正实数m的取值范围为( )
A． B． C． D．
填空题（每题5分，共20分）
命题“若x2＜4,则－2＜x＜2”的逆否命题为________ ．
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种。
15.已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是________．
16.已知a，b为实数，不等式ax＋b≥ln x恒成立，则的最小值为___________.
解答题（共70分）
17．（10分）一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，
（1）其中至少有一名男生的选法有几种？（2）至多有1名男生的选法有几种？
18.(12分）已知函数f(x)＝－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[，5]上的最大值．
19.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点.
(1)求证：BC1∥平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.
20.已知函数f(x)＝x2－ax－xln x，a∈R，f′(x)是f(x)的导函数。
(1)若a＝0，求函数f′(x)的最小值；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围。
21.已知函数f (x)＝ln x＋ax2－bx。(1)若函数f (x)在x＝2处取得极值ln 2－，求a，b的值；
(2)当a＝－时，函数g(x)＝f (x)＋bx＋b在区间[1,3]上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值。
已知函数（其中.
讨论f (x)的单调性；
当时，求实数a的取值范围。
