峨眉山市2022-2023学年高二下学期期中考试
文科数学试题
选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的导数是( )
A．－9 B．－3 C．14 D．3
3．下面程序框图的算法思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”，若输入m＝210，n＝125，则输出的n为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
4．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．16
5．命题的否定应该是（ ）
A． B． C． D．
6．函数f (x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0，1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，0)，(1，＋∞)
7．已知．若 是 的充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．[ —1， 6] B．(7，＋∞) C．(—∞，—2) D．(－1，6)
8．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝( )
A．－e B．－1 C．1 D．e
9．函数在处有极值为7，则为（ ）
A．－3或3 B． 3或－9 C． 3 D．－3
10．已知函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，且对任意x∈R，f ′(x)＞2，则f (x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
11．已知函数有两个极值点，求的范围（ ）.
A． B． C． D．
12．已知函数．若过点可以作曲线三条切线，则m的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________．
15．若函数有两个实根，则的取值范围是 .
16．若函数，则下列选项正确的有 .
①是周期函数 ②在有4个零点
③在上是增函数 ④的最小值为－1.
三．解答题（共6小题，第17题10分，第18~22题每小题12分，共70分）
17.某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率（可能性）是0.19．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
18．已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0．
（1）若为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若为真，为假，求实数m的取值范围．
19．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
（1）若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
（2）若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
20．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．
（1）证明：AE⊥PB；
（2）当四棱锥P ABCE的体积最大时，
求点C到平面PAB的距离．
21．已知函数f (x)＝．
（1）若a＝0，求y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程；
（2）若函数f (x)在x＝－1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及最大值和最小值．
22．已知函数f (x)＝＋a ln x，g (x)＝．
（1）讨论函数f (x)的单调性；
（2）证明：a＝1时，．（Ⅱ）若曲线 y＝f (x)存在两条垂直于 y轴的切线，求 a的取值范围．
21 级高二下半期考试数学科试题答案（文科）
[解] f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．（1分）
一．选择题 f 0 ＝b＝0，
(1)由题意，得 （3分）
1-6 CDCDCA 7-12 ABCBBA f ′ 0 ＝－a a＋2 ＝－3，
二、填空题 解得 b＝0，a＝－3或 a＝1． （6分）
2 0 (2)因为曲线 y＝f (x)存在两条垂直于 y轴的切线，13.3 14.360 15（. ，） 16.②③
e 所以关于 x的方程 f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
三．解答题（共 6 2小题，第 17 题 10 分，第 18~22 题每小题 12 分，共 70 分） 所以Δ＝4(1－a) ＋12a(a＋2)＞0，（8分）
17. (1) x
1
解： ∵ ＝0.19，∴x＝380.（5分） 即 4a2＋4a＋1＞0，所以 a≠－ ．
2 000 2
(2)初三年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500(名)，现用分层抽样的方法在全校抽 1 1－∞，－ － ，＋∞
所以 a的取值范围为 2 ∪ 2 ．（12分）
48
取 48名学生，应在初三年级抽取的人数为 ×500＝12(名)．（10分）
2 000 20.如图，等腰梯形 ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为 CD的中点，将△ADE沿
18. p x mx2 1 0 q x x2 mx 1>0. AE折到△APE的位置．已知 ：存在 0∈R， 0＋ ≤ ， ：任意 ∈R， ＋ ＋
p q (1)证明：AE⊥PB；（Ⅰ）若 为假命题，求实数 m的取值范围．
(2)当四棱锥 P-ABCE的体积最大时，求点 C到平面 PAB的距离．
（Ⅱ）若 p q为真， p q为假，求实数 m的取值范围.
[解] (1)证明：在等腰梯形 ABCD中，连接 BD，交 AE于点 O，
解：（Ⅰ）P真：恒过 0,1 ，m 0显然不成立，开口向下，m 0（2分） ∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形 ABCE为平行四边形，
0 ∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，(2分）
q真： （4分）
m2 4 0 2 m 2 π∴在等腰梯形 ABCD中，∠C＝∠ADE＝ ，BD⊥BC，3
m 0 ∴BD⊥AE．p q为假，则 p假 q假 m 2（6分）
m 2或m 2 如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，
（Ⅱ）p,q一真一假 又 OP 平面 POB，OB 平面 POB，OP∩OB＝O，
∴AE⊥平面 POB，（4分）
m 0 m 0
p假 q真 0 m 2（8分）p真 q假 m 2（10分）
2 m 2 m 2 m 2
∵PB 平面 POB，∴AE⊥PB．（6 分）
或
(2)当四棱锥 P-ABCE的体积最大时，平面 PAE⊥平面 ABCE．
综上：m 2或0 m 2（12分）
又平面 PAE∩平面 ABCE＝AE，PO 平面 PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面 ABCE．
19.已知函数 f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
3
Ⅰ ∵OP＝OB＝ ，∴PB
6
＝ ，
（ ）若函数 f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求 a，b的值； 2 2
1
1 6 2 x 3 f (x) 0 31 6 × 15 又因为 ＜ 时， ＞ ；x＞ 时，f (x)＜0，所以函数 f (x)的最大值为 f (－1)＝1，最小值为 f (4)
∵AP＝AB＝1，（7分）∴S△PAB＝ × × 1－ 2 2 ＝ ， 2 22 2 8
1
1 1 3 3 1 ＝－ ．（12分）
连接 AC，则 VP-ABC＝ OP·S△ABC＝ × × ＝ ，（9分） 43 3 2 4 8
1 ex
设点 C到平面 PAB的距离为 d， 22.已知函数 f (x)＝ ＋aln x，g(x)＝ ．x x
3V 3 (1)讨论函数 f (x)的单调性；
1 P-ABCV V S 8 15∵ P-ABC＝ C-PAB＝ △PAB·d，∴d＝ ＝ ＝ （12分）3 5 e
S 15 1＋△PAB (2)证明：a＝1时，f (x)＋g(x)－ x
2 ln x＞e．
8
3 2x [解] (1)函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)，21．已知函数 f (x) －＝ ．
x2＋a f ′(x) 1 a ax－1＝－ ＋ ＝ ，（1分）
x2 x x2
(1)若 a＝0，求 y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程；
当 a≤0时，f ′(x)＜0，所以 f (x)在(0，＋∞)上单调递减；（2分）
(2)若函数 f (x)在 x＝－1处取得极值，求 f (x)的单调区间，以及最大值和最小值．
3－2x 当 a＞0时，由 f ′(x)＞0
1
得 x＞ ，由 f ′(x)＜0得 0 1＜x＜ ，
[解] (1)当 a＝0时，f (x)＝ ，则 f ′(x) 2x－6＝ ．（2分） a a
x2 x3
1 1
当 x＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故 y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为 y－1＝－4(x－1)，整理 0， ，＋∞所以 f (x)在 a 上单调递减，在 a 上单调递增．（3分）
得 y＝－4x＋5．（4分） 综上可知：当 a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
(2) f (x) 3－2x f ′(x) 2 x
2－3x－a
已知函数 ＝ ，则 ＝ ．（5分） 1 1
x2
0， ，＋∞
＋a x2＋a 2 当 a＞0时，f (x)在 a 上单调递减，在 a 上单调递增．（4分）
f (x) 2 4－a 若函数 在 x＝－1处取得极值，令 f ′(－1)＝0，则 ＝0，解得 a＝4． (2)证明：因为 x＞0，当 a＝1 ex ex 1 eln x时，不等式等价于 － ＋ ＞ ，（5分）
a＋1 2 x
经检验，当 a＝4时，x＝－1为函数 f (x)的极大值，符合题意．（7分） 设 F (x)＝ex－ex＋1，则 F ′(x)＝ex－e，所以 x∈(1，＋∞)时，F ′(x)＞0，F (x)单调递增，x∈(0，1)
f (x) 3－2x
时，F ′(x)＜0，F (x)单调递减，所以 F (x)min＝F (1)＝1．
此时 ＝ ，函数定义域为 R，f ′(x) 2 x－4 x＋1 ＝ ，令 f ′(x)＝0，解得 x1＝－1，x2＝4．
x2＋4 x2＋4 2
设 G(x) eln x＝ ，
f (x)，f ′(x)随 x的变化趋势如下表： x
x (－∞，－1) －1 (－1，4) 4 (4 ) G′(x) e 1－ln x ，＋∞ 则 ＝ ，（8分）
x2
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
所以 x∈(0，e)时 G′(x)＞0，G(x)单调递增，x∈(e，＋∞)时 G′(x)＜0，G(x)单调递减，
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 G(x)max＝G(e)＝1．（10分）
故函数单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)．（10分）
虽然 F (x)的最小值等于 G(x)的最大值，但 1≠e，
极大值为 f (－1)＝1，极小值为 f (4) 1＝－ ．（11分）
4 所以 F (x)＞G(x)，即 ex－ex
eln x
＋1＞ ，故原不等式成立．（12分）
x
2
