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第十八章 平行四边形单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，则∠D等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
3．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
4．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
8．如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
9．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG＝AB，连结OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
二．填空题（共6小题）
11．已知矩形ABCD，请添加一个条件： ，使得矩形ABCD成为正方形．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 ．
13．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD的面积是 ．
14．如图，平行四边形ABCD的周长为22，对角线AC与BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多1，则AB＝ ．
15．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周长是20．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求AB的长．
18．利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：
19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
20．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足条件 时，四边形AEDF是正方形．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
22．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
23．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．
(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．
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第十八章 平行四边形单元测试
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平行四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，则∠D等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】根据平行四边形对角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝100°，
故选：C．
2．菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．
【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，
故选：B．
3．如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝40°，
∴∠OCD＝∠ODC＝70°．
故选：D．
4．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】过E作EG⊥FG于G，由七巧板和正方形的性质可知，EG＝1，FG＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过E作EG⊥FG于G，
由七巧板和正方形的性质可知：EG＝1，FG＝1+4＝5，
在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝，
故选：A．
5．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
①再加上条件“BC＝AD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
②再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
③再加上条件“AO＝CO”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
④再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，则四边形ABCD一定是平行四边形．
A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④
【分析】由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出①不正确；
由平行线的性质和添加条件得出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，②正确；
由平行线得出△AOB∽△COD，得出对应边成比例，证出BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，③正确；
先证出AO＝BO，在证明△AOB∽△COD，得出对应边成比例得出CO＝DO，因此四边形ABCD不一定是平行四边形，得出④不正确．
【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴①不正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴②正确，如图所示；
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝CO，
∴BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴③正确；
∵∠DBA＝∠CAB，
∴AO＝BO，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴AO：CO＝BO：DO，
∵AO＝BO，
∴CO＝DO，四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴④不正确；
故选：C．
6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】根据菱形的判定方法：四条边都相等的四边形是菱形进行判定即可．
【解答】解：根据作图方法可得AC＝AD＝BD＝BC，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°时，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥AB，AB∥CD，
∴BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
8．如图，点O为矩形的对称中心，点E从点A出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长EO交于点F，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．矩形→菱形→平行四边形→矩形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是矩形．
【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．
9．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=，
∴EF+BF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG＝AB，连结OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（ ）
A．12 B．15 C．15 D．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，证明△HOE≌HFG（AAS），可得OH＝FH，然后根据平行四边形的性质分析，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为BD的中点，AB∥CD，
∵点E为BC的中点，
∴OE＝AB＝GF，OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD，
∴∠OEH＝∠FGH，
在△HOE和△HFG中，
，
∴△HOE≌HFG（AAS），
∴OH＝FH，
∴点H为OF的中点，
∵S平行四边形ABCD＝BC hBC＝60，
∴S△BOE＝BE ×hBC＝BChBC＝BC hBC＝×60＝，
S△EOH＝OE ×hAB＝AB hAB＝AB hAB＝×60＝，
∴阴影部分面积＝+2×＝15．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．已知矩形ABCD，请添加一个条件： AB＝BC（答案不唯一） ，使得矩形ABCD成为正方形．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可．
【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 7 ．
【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵AC的垂直平分线交BC于点M，
∴AM＝CM，
∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，
故答案为：7．
13．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD的面积是 120 ．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×24×10＝120，
故答案为：120．
14．如图，平行四边形ABCD的周长为22，对角线AC与BD交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多1，则AB＝ 6 ．
【分析】利用平行四边形的性质可得AD+AB＝11，再根据△AOB的周长比△BOC的周长多1，得AB＝AD+1，从而解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵平行四边形ABCD的周长为22，
∴AD+AB＝11，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多1，
∴AB+AO+BO＝OB+OC+BC+1，
∴AB＝AD+1，
∴AD＝5，AB＝6，
故答案为：6．
15．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
16．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①利用三角形的面积公式计算即可；
②依题意画出图形，利用等边三角形和平行线的性质求出FH即可；
③将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，由“SAS”可证△DBE≌△NBE，可得DE＝NE，在Rt△PNE中，利用勾股定理可得AE，CD，DE的关系，可判断③；
④先证△AGE，△DCH都是等边三角形，可得AG＝AE＝CH＝CD，利用菱形的判定定理判定即可．
【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴ BHFG是菱形，故④正确，
故答案为：①②④．
三．解答题（共7小题）
17．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周长是20．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求AB的长．
【分析】（1）根据平行四边形对角相等即可得答案；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可得AO+BO的长，进而可求出AB．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AO+BO＝（AC+BD）＝12，
∴AO+BO+AB＝20，
∴AB＝8．
18．利用所给的图形证明：一个顶点到它所对的两边距离相等的平行四边形是菱形．（写出已知、求证并加以证明）
已知：
求证：
证明：
【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，由“AAS”可证△DAE≌△DCF，可得AD＝DC，即可得结论．
【解答】解：已知：在 ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
求证： ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA＝∠DFC＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△DAE≌△DCF（AAS）
∴DA＝DC，
∴ ABCD是菱形
19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面积＝．
20．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足条件 ∠BAC＝90° 时，四边形AEDF是正方形．
【分析】（1）先证四边形AEDF是平行四边形，再证EA＝ED，即可得出结论；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
故答案为：∠BAC＝90°．
21．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
22．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
（1）
证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）
解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
23．四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．
(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；
(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．
【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析
(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析
(3)≤m≤
【分析】（1）连结BD，根据三角形中位线的性质可得MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD，进而可得MQPN，MQ＝PN，根据平行四边形的判定定理即可求解；
（2）连结BD、AC，同理可得四边形MNPQ为平行四边形证明△ABC≌△DCB（SAS）得出AC＝BD，根据中位线的性质，即可得出MQ＝MN，根据平菱形的判定定理即可求解；
（3）连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，得出PQ是△ABD的中位线，根据三角形三边关系即可求解．
（1）
解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD
∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.
∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD
∴MQPN，MQ＝PN
∴四边形MNPQ为平行四边形．
（2）
四边形MNPQ为菱形，连结BD、AC
∵点M、N分别是边AB、BC的中点.
∴MN＝AC
在△ABC与△DCB中
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC＝BD
∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.
∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD
∴MQMN ，MQ＝PN
∵四边形MNPQ为平行四边形
∴平行四边形MNPQ是菱形．
（3）
解：如图，连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10，
∵点P是BD的中点，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5，
∵点Q是AD的中点，点P是BD的中点，
∴PQ是△ABD的中位线，
∴PQ＝AB＝，
在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ，
∴＜m＜，
∵点C、点Q是定点，点P是动点，
∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值，
当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值，
综上，m的取值范围为：≤m≤．
【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形三边关系，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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