初中数学青岛版七年级下册10.4 列方程组解应用题课件(共80张PPT)

(共80张PPT)
第10章 一次方程组
青岛版 七年级下册
10 . 4
列方程组解应用题
知识回顾
列一元一次方程解应用题的步骤：
审、列、解、验、答.
交流与发现
长江上一艘游船从沙市港出发，船速为17 千米/时，经过若干小时到达宜昌港.如果船速增加1千米/时，那么用同样多的时间，游船可到达宜昌上游9千米处的葛洲坝.提速前游船由沙市港航行到宜昌港所用的时间是多少 沙市港到宜昌港的航程是多少
在这个问题中，
(1) 已知量是什么 未知量是什么
(2) 等量关系是什么
速度×时间＝路程
(3) 如果设游船航行所用的时间为x时，沙市港到宜昌港的航程为y千米你能根据问题中的两个等量关系列出方程组吗
17x ＝ y
(17＋1)x ＝ y＋9
(4) 你会解所列的方程组吗
17x ＝ y
18x ＝ y＋9
进一步整理为：
17x ＝ y
(17＋1)x ＝ y＋9
例 1
小亮和小莹练习赛跑.如果小亮让小莹先跑 10米，那么小亮跑5秒就追上小莹；如果小亮让小莹先跑 2 秒，那么小亮跑 4秒就追上小莹. 两人每秒各跑多少米
等量关系是：
(1)小亮跑5秒的路程＝小莹跑5秒的路程＋10米；
(2)小亮跑4秒的路程＝小莹跑 (4＋2)秒的路程.
解：设小亮每秒跑x米，小莹每秒跑y米.
根据题意，得
5x ＝ 5y ＋10，
4x ＝ (4＋2) y
解得
x ＝ 6，
y＝ 4.
经检验，方程组的解符合题意.
所以小亮每秒跑6米，小莹每秒跑4米.
例 2
(中国古代数学问题) 有若干只鸡和兔放在同一个笼子里.从上面看，有35个头；从下面看，有94只脚.问笼子里有几只鸡 几只兔
解：设笼子里有x只鸡、y只兔.
已知共有35个头、94只脚.
根据题意，得
x ＋y ＝ 35 ，
2x ＋4y ＝ 94.
解得
x ＝ 23，
y＝ 12.
经检验，方程组的解符合题意.
所以，笼子里有23只鸡、12只兔.
对于这个问题，你能用四则运算的方法和列一元一次方程的方法求解吗 比较这两种方法与列二元一次方程组的方法，你认为它们各有什么特点 与同学交流.
挑战自我
甲、乙二人正在谈论他们的年龄.
甲：在我是你今年的岁数时，你那年10岁.
乙：在我是你今年的岁数时，你那年25岁.
想一想，甲、乙二人谁的年龄大 今年甲、乙二人各多少岁
练 习
1. 为绿化校园，时代中学买了杨树苗和柳树苗共 100棵.杨树苗每棵3 元，柳树苗每棵7元，买树苗共用460 元.两种树苗各买了多少棵
解：设买杨树苗x棵，买柳树苗y棵，
根据题意，得
x ＋y ＝ 100 ，
3x ＋7y ＝ 460.
解得
x ＝ 60，
y＝ 40.
答：买杨树苗60棵，买柳树苗40棵.
2. 如图，用8块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为60厘米的长方形灶台面.求每块瓷砖的长和宽 (瓷砖间的缝隙忽略不计 ).
解：设小长方形瓷砖的长为x厘米，宽为y厘米.
根据题意，得
x ＋y ＝ 60 ，
x ＝3y.
解得
x ＝ 45，
y＝ 15.
答：每块瓷砖的长为45厘米，宽为15厘米.
例 3
2010年4月份中国民航国内和国际航线运送旅客总人数共 2 160万人，其中，国内和国际航线运送旅客人数比2009 年4月份分别增长 13.2%和28.8%，2009年4月份国内航线和国际航线运送旅客总人数为1894万人，那么2009 年4月份国内和国际航线运送旅客分别有多少万人(结果精确到万人)
设2009年4月份中国民航国内航线运送旅客x万人，国际航线运送旅客y万人，得到下表：
2009年4月份 2010年4月份
国内航线运送人数/万人 x (1＋13.2%)x
国际航线运送人数/万人 y (1＋28.8%)y
合计/万人 1894 2160
解：设2009年4月份中国民航国内航线运送旅客x万人，国际航线运送旅客y万人.
根据题意，得
x ＋y ＝ 1894 ，
(1＋13.2%)x＋(1＋28.8% )y＝ 2160.
解这个方程组，得
x ≈1791，
y ≈103.
经检验，方程组的解符合题意.
所以2009年4月份中国民航国内航线运送旅客1791万人，国际航线运送旅客103万人
加油站
在解决一类实际问题时，可以通过列出方程组表示问题中的全部数量关系，所以方程组也是刻画现实世界数量关系的有效模型.
例 4
果园要将一批水果运往某地，打算租用某汽车运输公司的甲、乙两种货车.过去两次租用这两种货车的信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车车辆数 /辆 2 5
乙种货车车辆数 /辆 3 6
累计运货量/吨 15.5 35
现打算租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园应付运费多少元
等量关系是：
(1) 2辆甲种货车运量＋3辆乙种货车运量＝15.5吨；
(2) 5辆甲种货车运量＋6辆乙种货车运量＝35吨
根据题意，得
2x ＋ 3y ＝ 15.5 ，
5x ＋ 6y ＝ 35.
解得
x ＝4，
y ＝2.5.
经检验，方程组的解符合题意.
这次运水果所需运费为30×(4×3＋2.5×5) ＝735(元)
所以，果园应付运费735元
智趣园
两鼠穿墙
《九章算术》提出了一个有趣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何 ”
意思是说：今有一道墙，厚5尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天的进度是前一天的2倍；小老鼠第一天也进1尺，以后每天的进度是前一天的一半.问几天后两鼠相遇；此时.两鼠各穿墙几尺
该题当初是用“盈不足术”求解的.学过一次方程组后，我们也可以用二元一次方程组求解.由题意可知，穿墙第一天，大鼠、小鼠各穿墙1尺，共2尺；穿墙第二天，大鼠穿墙2尺，小鼠穿墙尺.两天大鼠和小鼠共穿墙尺，离穿透墙尚差尺.到第三天时，不用1天二鼠即可相遇.
在穿墙的第三天，设大鼠前进了x尺，小鼠前进了y尺，大鼠该天穿墙速度为4尺/天，小鼠为尺/天.等量关系是：①大鼠、小鼠一共穿墙尺；②该天在相遇前大、小鼠用的时间相等.
你能根据以上分析列出二元一次方程组来求解吗
练 习
1. 时代中学师生 100 人到甲、乙两公司参加社会实践活动，到甲公司的人数比到乙公司的人数的2倍少8 人，到两公司参加社会实践的人数各多少
解：设到乙公司参加社会实践活动的有x人，则到甲公司参加社会实践活动的有(2x－8)人，
根据题意得，(2x－8) ＋x ＝100，
解得 x＝36
则 2x－8＝2×36－8＝64.
答：到甲公司参加社会实践活动的有64人，到乙公司参加社会实践活动的有36人.
2. 山青林场有一块面积为 58 公顷的土地，现计划将其中的开辟为果园，其余的土地种粮食和蔬菜，并且种蔬菜的土地面积是种粮食的土地面积的. 该林场计划种蔬菜和粮食各多少公顷
解：设计划种蔬菜x公顷，种粮食y公顷，
根据题意，得
x ＋ 3＝ 58×(1－) ，
x ＝ y.
解得
x ＝8.7，
y ＝34.8.
答：该农场计划种蔬菜8.7公顷，种粮食34.8公顷.
例 5
一个三位数，三位数字之和为 12，个位数字是百位数字与十位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，求这个三位数.
解：设这个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z.
根据题意，得
x＋y＋z ＝ 12，
x ＝ 2(y＋z)
z ＝ 3y.
解得
x ＝8，
y ＝1，
z ＝3.
经检验，方程组的解符合题意.
所以这个三位数是318.
* 例 6
(中国古代数学问题)今有上等黍3捆，中等黍2捆，下等黍 1捆，共打出黍米39斗；又有上等黍2捆，中等黍3捆，下等黍1捆，共打出黍米34斗；再有上等黍1捆，中等黍2捆，下等黍3捆，共打出黍米26斗.问每捆上、中、下黍各能打出黍米多少斗
解：设每捆上、中、下黍分别能打出黍米x斗、y斗、z斗.
根据题意，得
3x＋2y＋z ＝ 39，
2x＋3y＋z＝ 34，
x＋2y＋3z＝ 26.
解得
x ＝，
y ＝ ，
z ＝ .
经检验，方程组的解符合题意.
所以，每捆上、中、下泰分别能打出黍米斗、 斗、 斗.
挑战自我
小亮、小莹和大刚每人面前各放有一堆栗子.小亮将自己面前的栗子分出一些给另外二人后，这二人的栗子数各增加1倍.接着小莹又将自己面前的栗子分些给小亮和大刚，小亮和大刚的栗子数都增加了1倍.
然后，大刚又分给另外二人一些栗子，使小亮和小莹面前的栗子数也都增加1倍. 这时，他们三人面前的栗子竟然都是 24颗.
你知道他们三人面前原来各有多少颗栗子吗
史海漫游
古老的百鸡问题
公元5世纪左右，北魏时期的数学家张丘建在他所著的《 张丘建算经 》中提出了一个著名的“百鸡问题”；
《张丘建算经》 (宋刻本 )
关于百鸡问题的记载
(选自《中国大百科全书·数学》)
《张丘建算经》 (宋刻本 )
关于百鸡问题的记载
(选自《中国大百科全书·数学》)
“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何 ”
《张丘建算经》 (宋刻本 )
关于百鸡问题的记载
(选自《中国大百科全书·数学》)
题目大意是：一只公鸡价值 5钱 (我国古代的一种货币单位)，一只母鸡价值3 钱，三只维鸡价值 1钱.用100钱买了100只鸡，问买公鸡、母鸡和雏鸡各多少只.
这一问题可利用列方程组的方法解决. 设x，y，z 分别表示所买公鸡、母鸡、雏鸡的只数，根据题意，得
这个方程组中有两个方程，却有三个未知数. 这类方程组在数学上称为不定方程组. 本题是求一个三元一次不定方程组的正整数解问题. 这一问题的提出标志着我国在公元5世纪时已对不定方程组有了系统深入的研究，并为后人学习不定方程组的求解提供了一个入门的范例.
利用我们学过的知识，可以采用下面的方法解这个不定方程组：
由②×3－①，化简得
7x＋4y＝100 .
y＝25－x .
因为y是正整数，所以x应是4的整数倍，且 (25－ x) 也是正整数，所以x只能取4，8，12. 由此得
所以，公鸡、母鸡、雏鸡各买了4只、18只、78只；或8只、11只、81只；或12只、4只、84只.
练 习
*1.甲、乙、丙三个数的和是25，甲数的等于乙数的，甲数比乙数与丙数的和少1.求这三个数.
解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z.
根据题意，得
x ＋ y ＋ z ＝ 25，
x ＝ y，
y ＋ z － x ＝ 1.
解得
x ＝12，
y ＝8，
z ＝5.
答：甲数为12，乙数为8，丙数为5.
*2. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜一场得3 分，平一场得1分，负一场得0分. 时代中学足球队在12场比赛中，平和负
的场数之和等于胜的场数，共
积21分.这个队在这届联赛中胜、
平、负各几场
解：设这个队在这届联赛中胜、平、负各x场、y场、z场.
根据题意，得
x ＋ y ＋ z ＝ 12，
y ＋z＝ ，
3x＋y ＝ 21.
解得
x ＝6，
y ＝3，
z ＝3.
答：这个队在这届联赛中胜、平、负各6场、3场、3场.
习题 10.4
复习与巩固
1. (中国古代数学问题)几个合作经营的商人正分配所得银两，某人在隔壁听见他们说，如果每人分得7两，就剩下4两； 如果每人分得9两，还少半斤 (旧时1斤＝ 16两).你知道共有多少商人和多少银两吗
解：设共有商人x人和银两y两，
根据题意，得
7x ＋4 ＝ y ，
9x－8＝ y.
解得
x ＝6，
y ＝46.
经检验，方程组的解符合题意.
答：共有商人6人，银两46两.
2.“十一”黄金周期间，某景区共接待省内、外游客122万人，总收入达4.8亿元，其中省内、外游客人均消费分别为160元和1200元.该景区接待省内、外游客各多少万人(精确到1万人)
解：设省内旅游者x万人次，省外旅游者y万人次，
根据题意，得
x ＋y ＝122 ，
160x＋1200y＝4 8000 0000.
解得
x ≈46 ，
y ≈72.
答：该景区接待省内外游客各为46和72万人.
3. 每千克大豆饼和棉籽饼中，磷和钾的含量(单位：克)分别如下表所示：
磷 钾
大豆饼 13.2 21.3
棉籽饼 16.3 9.7
现在要用这两种肥料配制成含磷 45.8 千克、钾40.7 千克的混合肥料.大豆饼和棉籽饼各需多少千克
解：设需要大豆饼x，棉籽饼y.
根据题意，得
13.2x＋16.3y ＝45.8，
21.3x＋9.7y＝40.7.
解得
x ＝10，
y ＝20.
故配置成含磷45.8千克，含40.7千克的混合肥料需要大豆饼10千克棉籽饼20千克.
4. 暑假时一批中学生参加夏令营，途经某旅店住宿.如果每间客房安排住7人，就会有7人没有地方住；如果每间客房安排住9人，就会空出一间房. 求旅店的客房数和中学生的人数.
解：设旅店的客房数为x间，中学生的人数为y人.
根据题意，得
7x＋7 ＝ y，
9(x－1)＝y.
解得
x ＝8，
y ＝63.
答：旅店的客房数为8间，中学生的人数为63人.
5. 某开发区去年的出口创汇额为25 亿美元，今年达到30.55 亿美元.已知今年上半年的出口创汇额比去年同期增长 18%，下半年比去年同期增长 25%，求今年上半年和下半年的出口创汇额.
解：设去年上半年出口创汇额为x亿美元，去年下半年的出口创汇额为y亿美元.
则今年上半年出口创汇额为：
(1＋18%) x＝1.18x (亿美元)，
今年下半年的出口创汇额为：
(1＋25%)y＝1.25y (亿美元)，
根据题意，得
x＋y ＝ 25，
1.18z ＋1.25y＝30.55.
解得
x ＝10，
y ＝15.
1.18x＝11.8亿美元，1.25y＝18.75亿美元，
答：今年上半年的出口创汇额11.8亿美元，下半年的出口创汇额18.75亿美元
6. 张大婶和王姐去菜市场买菜. 张大婶买了土豆3千克、菠菜2千克，共花费10.2元；王姐买了芹菜1千克、土豆2千克、菠菜1千克，共花费9.2元. 已知芹菜每千克3元，问土豆和菠菜每千克各多少元.
解：设土豆每千克x元，菠菜每千克y元，
根据题意，得
3x ＋2y ＝10.2，
3＋2x＋y＝9.2.
解得
x ＝2.2，
y ＝2.
答：故土豆每千克2.2元，菠菜每千克2元.
拓展与延伸
7.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成. 如果1立方米木料可制作桌面 50个，或制作桌腿300条. 现有5立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张
解：设用xm3木料做桌面，则用ym3木料做桌腿，恰好配成方桌，
根据题意，得
4×50x ＝300y，
x＋y＝5.
解得
x ＝3，
y ＝2.
50×3＝150张
∴用3m3木料做桌面，用2m3木料做桌腿，恰好配成方桌150张.
*8. (中国古代问题)买2匹马、3头牛或4只羊，价钱分别都不满10 000文(古时货币单位). 如果买2匹马加上1头牛，或者买3头牛加上1只羊，或者买4只羊加上1匹马，那么各自的价钱正好都是10 000文.求马、牛、羊的单价.
解：设1匹马的价格为x文，1头牛的价格为y文，1只羊的价格为z文.
根据题意，得
2x ＋y ＝10000，
3y＋z＝10000，
4z＋x＝10000.
解得
x ＝3600，
y ＝2800，
z＝1600.
答：1匹马的价格为3600文，1头牛的价格为2800文，1只羊的价格为1600文.
*9.某公路收费站对过往车辆的收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车 10元. 某天通过该收费站的大客车是小客车数量的，小客车是小轿车数量的，收取小轿车的通行费比大客车和小客车通行费之和少1050元.求当天这三种车辆通过的数量.
解：设当天通过该收费站的小轿车有x辆，则当天通过该收费站的小客车有x辆，大客车有 ×x ＝x辆，
依题意，得： 30×x＋15×x－10x ＝ 1050，
解得：x ＝ 231，
∴ x ＝84， x ＝70.
答：当天通过该收费站的小轿车有231辆，小客车有84辆，大客车有70辆.
10.《一千零一夜》中有这样一段文字： 有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“如果从你们中飞上来一只，那么树下的鸽子是整个鸽群的；如果从树上飞下去一只，树上、树下的鸽子就一样多.”你知道原来树上、树下的鸽子各多少只
解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子.
根据题意，得
y－1 ＝(x＋y)，
x＋1＝y＋ 1.
解得
x ＝7，
y ＝5.
答：树上原有7只鸽子，树下有5只鸽子。
根据题意，得
2y－x ＝3，
y＝x－2.
探索与创新
11. 甲、乙二人骑自行车同时从相距5千米的两地相向而行，经过 10分钟相遇.
(1) 求甲、乙两人的速度；
解：设甲的速度为x千米/分，乙的速度为y千米/分.
根据题意，得：10x＋10y ＝5，
所以甲、乙两人的速度是满足上述方程的所有正数解.
(2) 上面的问题(1) 有没有解 如果有解，有多少个解 请写出它的两个解；
有解，
有无数多个解，
如
x ＝0.1，
y ＝0.4.
或
x ＝0.2，
y ＝0.3.
(3) 请你适当增加上面的问题(1) 中的条件，使问题有唯一解，并解答你改编后的问题.
答案不唯一，所添加的条件是甲的速度比乙的速度快0.1千米/分，此时，有
10x＋10y＝5，
x＝y＋0.1.
解得
x ＝0.3，
y ＝0.2.
答：甲的速度是0.3千米/分，乙的速度是0.2千米分.
*12. 一个三位数，百位数字比十位数字的2倍多1，个位数字比十位数字的3倍少1. 如果把这个三位数的百位数字和个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数多99. 求原来的三位数.
解：设十位数字为x，百位数y，个位数为z.
根据题意，得
y＝2x＋1，
z＝ 3－1，
100z＋10x＋y－ (100y＋10x＋z) ＝99.
解得
x ＝3，
y ＝7，
z ＝8.
答：这个三位数为738.
本课结束！