初中数学青岛版 七年级下册12.2 完全平方公式课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
第12章
乘法公式与因式分解
青岛版 七年级下册
12 . 2
完全平方公式
观察与思考
一个正方形花坛的边长是a米，如果把它的每条边长都增加b米，所得到的新正方形花坛的面积便是 (a＋b)平方米.
(1) 你用多项式的乘法法则计算(a＋b)吗
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a2＋ab＋ab＋b2
＝a2 ＋2ab＋b2.
由此得到公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab ＋b2
你能利用右图中的面积关系说明这个公式吗 与同学交流.
(2) 用(－b)代替上式中的b，得
(a－b)2＝ [a＋(－b)]2
＝a2＋2a·(－b) ＋(－b)2
＝a2－ 2ab＋b2
由此得到公式：
(a－b)2＝a2－2ab ＋b2
这就是说，两数和(差)的平方等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍.
你能用一个几何图形的面积关系说明这个公式吗
这两个公式统称完全平方公式.
完全平方公式与平方差公式都叫做乘法公式.
例 1
利用完全平方公式计算：
例 2
利用完全平方公式计算：
练 习
1. 利用完全平方公式计算：
＝4a2＋20ab＋25b2
＝1.44m2＋7.2mn＋9n2
＝9x2－6xy＋y2
＝16p2－16pq＋4q2
2. 利用完全平方公式计算：
3. 利用完全平方公式计算：
(1) 542； (2) 9972.
例 3
可以把 (a＋2b)看做平方差公式中的a.
例 4
计算： (a＋b)3.
挑战自我
计算：152＝_______，252＝_______，
352＝_______，452＝________.
225
625
2025
2025
设这个两位数的十位数是a，则这个两位数为10＋5，则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25，由此可知后两位数是25；
你发现个位数字是5的两位数的平方的末尾两位数有什么规律
未尾两个数都为25.
个位数字是5的三位数的平方的末尾两位数呢 你能利用完全平方公式，解释这个规律吗
设这个三位数的十位数是a，百位数是b，则这个三位数为100b＋10a＋5，
则 (100b＋10a＋5)
＝[100b＋(10a＋5)]2
＝10000b2 ＋2×100b×(10a＋5)＋(10a＋5)2
＝10000b2＋2000ab＋1000b＋100a2＋100a＋25，
由此可知后两位数是25.
广角镜
奇妙的“贾宪三角形”
我国北宋数学家贾宪 (11世纪人，生卒年代不详 )在 1050 年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形.
这个“三角形”有什么奇妙之处呢
(1)“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数······第n行有n个数.
(2) 从第一行开始，每行中的
各个数字之和依次为：
20，21，22，23，24，···
第n行中的数字之和是 2n－1.
(3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然后由大变小，最后回到1.
(4)“三角形”两腰上的数字都是“1”.
除1之外，其余每个数字都是它“双肩”
上的两个数字之和，如2＝1＋1，
10＝4＋6，35＝15＋20.
不仅如此，这个“三角形”第n＋1行中的数竟与(a＋b)”(n是正整数)展开式各项的系数完全吻合. 例如，当n为2，3 时，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
展开式中各项的系数 1，2，1；1，3，3，1恰为“三角形”中第3行和第4行的数类似地，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4，
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b3＋5ab4＋b5.
由以上四式，还可以猜测，(a＋b)n的展开式有以下特点：展开式的项数为n＋1.每一项的次数都是n，各项中a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n.
(a＋b)n展开式中项数、系数和各项次数的规律，将在高中学习二项式定理时，予以证实.
按照上面所说的规律，你能写出 (a＋b)7 的展开式吗
练 习
1. 计算下列各题：
2. 先化简，再求值：(x＋y)2 －4xy，其中x＝12，y＝9.
习题 12.2
复习与巩固
1. 计算：
2. 利用乘法公式计算：
(1) 912；
(2) －1982
3.计算：
(1) 3(2－y)2－4(y＋5)；
(2) (m－n－1)·(m－n＋1).
4. 回答下列问题：
(1) a＋b 加上什么式子可以得到 (a＋b)2
(2) a2＋ab＋b2 加上什么式子可以得到 (a－b)2
2ab
－3ab
5. 已知 a＋b＝5，ab＝－6，求下列各式的值：
(1) a2＋b2 ； (2) (a－b)2
＝(a＋b)2 －4ab
＝52 －4 ×(－6)
＝25 ＋24
＝49
拓展与延伸
6. 如图，某公园要在一块直径为 (a＋b)米的圆形空地上，建两个直径分别为a米与b米的圆形花坛，其余部分设计为草坪求草坪的面积.
7. 已知(x＋y)2 ＝4，(x－y)2＝10，求x2＋y2和xy的值.
8. 用完全平方公式计算：
(1) (x＋y＋z)2；
(2) (a－b)3
9.计算：(1) 10012×9992 ；
(2) 20.22 ＋19.82.
探索与创新
10. 观察下面的4个等式：
32＝2＋22＋3，42＝3＋32＋4，
52＝4＋42＋5，62＝5＋52＋6.
(1) 请你写出第 5个等式：
72＝6＋62＋7
(2) 如果用n表示正整数，你能用含有字母n的等式表示出你发现的规律吗 你能说明所发现的规律是正确的吗
n2＝ (n－1)＋(n－1)2＋n，(n是正整数)
证明：右边＝n－1＋n2－2n＋1＋n＝n2，
左边＝n2
∴左边＝右边
∴结论成立.
11.计算：
本课结束！