讲授课题：向量平行的坐标表示（3）
教学目的：两向量平行的坐标表示：
能利用向量平行的充要条件判断三点共线和两直线平行等问题。
教学重点：向量平行的坐标表示
教学难点：向量平行的充要条件的理解：
教学方法; 启发式
教学过程：
一、复习引入
向量共线的充要条件是存在唯一的实数λ使得=λ（）
二、新课讲解
(一)问题情境： 向量=(1,-4)与=(-2,8)是否平行?
共线向量充要条件如何用坐标来表示呢？
(二)学生活动: 由于=(-2,8)=-2(1,-4)=-2, 因此 ∥
我们看到,此时向量与的坐标满足 1×8=(-4)×(-2)
一般地,设其中(≠0)
如果∥,那么
反过来, 如果 , 那么 ∥.
建构数学:由上面的讨论得到结论：设向量∥(≠0) 的充要条件是
参照课本第75页证明,
注意：
(1)充要条件不能写成 ∵有可能为0
从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()
练习：已知
(四)数学应用:例与练习（学生教师共同完成）
例1如果向量
向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线
解法一、利用可得于是得
解法二、易得
故当时，三点共线
例2若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2-x(-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例3 已知=(1,0), =(2,1),当实数k为何值时,向量k-与+3平行?
并确定此时它们是同向还是反向.
解: k-=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1)
+3=(1,0)+3(2,1)=(7,3).由向量平行的条件可得
3(k-2)-(-1)7=0 k=
k-=( ,-1)= (7,3)= (+3) 因此,它们是反向的.
例4:已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0),(3,4),(-1,2),(1,1).
是否存在常数t,使得成立?解释你所得结论的几何意义.
解 设存在常数t,使得 ,则(3,4)+t(-1,2)=(1,1),
所以 t(-1,2)=(1,1)-(3,4)=(-2,-3), 所以
此方程组无解,故不存在这样的常数t,上述结论表明向量与不平行
练习:1, 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2)
又：∵2×2-4-1=0 ∴∥
又：=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×6(0 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
2、已知
解
同理，解得
3,课本76页练习第1,2,3.
(五)回顾小结：向量平行的充要条件（坐标表示）及应用
(六))课外作业：课本77页3,5,6,8
(七)板书设计:
课件16张PPT。 用数学的眼光看世界,从数学的角度提出问题,用数学的方法解决问题!感谢诸位同仁光临指导!一.问题情境:情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？其中力 和位移 是向量，
是 与 的夹角，而功 W是数量.向量的数量积向量的夹角二.建构数学:练习D向量的数量积的定义建构数学: （2）两向量的数量积是一个数量,而不是向量,（1）一种新的运算。向量的数量积特点：符号由夹角决定。三.探究与发现:0运算律：(交换律)(分配律)探究与发现:已知 均为非零向量,试判断下列说法是否正确:( × )(×)( √ )( √ )( × )四.应用数学:练习练习例. |a|=2，|b|=5，a与b的夹角为600，求：应用数学:分析:（1）（2） 探究:下列等式成立吗?夹角的范围运算律性 质数量积五.知识回顾:(2)(交换律)(分配律)六.作业:P.80.2;P.82.2(习题).课后思考:向量的数量积运算是否满足消去律和结合律?即:是否成立?同学们再见!平面向量基本定理（1）
教学目的：1，要求学生了解平面向量的基本定理及意义；
2，能用两个不共线向量表示一个向量；
3，能把一个向量分解为两个向量。
教学重点：能用两个不共线向量表示一个向量；
教学难点：对向量共线的的进一步理解；
教学过程：
一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积
3．向量共线定理
二、探究：由物理学中的力的分解的平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？
2．对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
——提出课题：平面向量基本定理
三、新授：1．(P70-71)，是不共线向量，是平面内任一向量
= =λ1 ==+=λ1+λ2
= =λ2
得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
注意几个问题：1( 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2( 这个定理也叫共面向量定理
3(λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
2．例题：
例一:,已知向量， 求作向量(2.5+3。
作法：1( 取点O，作=(2.5 =3
2( 作 OACB，即为所求.
例二、P71 如图: ABCD的两条对角线AC，BD交于点M，且=，=，
用基底，表示 ，，和。
分析：利用关系式 =+ 和=来求解。
解：在 ABCD中
=+=+
=(=(
=(=((+)=((
==(()=( ==+
=(=(=(+
例三、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证：+++=4
证：∵E是对角线AC和BD的交点
∴==(
==(
在△OAE中 +=
同理：+= += +=
以上各式相加，得：+++=4
例四：设是平面内的一组基底，如果=3--2
=4+,=8-9,求证：A，B，D三点共线。
分析：欲证A，B，D三点共线，只需证明共起点的两个向量与
共线 ,即证明=
证 = + + = ( 3--2) +( 4+)+( 8-9)
=15-10 =5(3--2)=5
所以与共线.又与有公共的起点A,所以A,B,D三点共线 . .
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
五,练习:1.设,不共线,P点在AB上
求证: = 且=1. ,∈R.
证明:∵P点在AB上;∴与共线.
∴=t(t∈R)∴=+=+t=+t(-)
=(1-t)+t.令=1-t, =t ∴ =1
∴=.且=1, ,∈R.
2.课本P71-72页.练习 1,2,3,4,
六,作业:P76 1. 习题2.3 1.2.3
2.预习提纲:(1) 平面向量的坐标表示与平面向量基本定理的关系. (2)平面向量的坐标运算有何特点? (3) 平面平行的坐标表示是什么?
板书设计
课件18张PPT。平面向量基本定理1、向量加法的平行四边形法则2、共线向量的基本定理回顾F实际应用背景： 一小车受到与水平方向成 角的拉力F可分解为
水平方向的力 与竖直的力 研究平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？NM平面向量基本定理 a = + （1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EF已知向量 求做向量-2.5 +3 例1：OABC·OABC·例2 评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。思考例3此处可另解：练习：P71 1、2、3ABCDOE例4、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，
求证： 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结 总结：1、平面向量基本定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性（２）基底的不唯一性３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
谢谢同学们再见课件11张PPT。解:设P(x,y)则变式：有向线段 的定比分点坐标公式与定比分值公式。 注意：特殊情况分析 你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定λ的取值范围吗？ 总结：如何确定?值？思
考练习：P74 5、6、知 识 反 馈1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标. 3已知 ＝（x , y) , 点B的坐标为
（－2，1）求 的坐标.2、已知向量 ＝（6，1），
＝（1 ,－3）， ＝（－1,－2）， 求向量 . 5．已知两点 ， ，求点 分 所
成的比 及 y 的值． 解：由线段的定比分点坐标公式，得
解得由定比分点坐标公式可得G点坐标为：即点G的坐标为 (重心的坐标公式)重要结论，要求大家记忆！课时小结:2 加、减法坐标运算法则.a + b=( x2 , y2) + (x1 ,? y1)= (x2+x1 , y2+y1)3 实数与向量积的坐标运算法则：λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =4 向量坐标.若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)1 向量坐标定义.则 =(x2 - x1 , y2 – y1 ) a - b=( x2 , y2) - (x1 ,? y1)= (x2- x1 , y2-y1)探索与研究 若平面的基底e1 , e2不垂直，是否可以研究此坐标系下向量的坐标？有兴趣的同学课后研究.讲授课题：平面向量的坐标运算（2）
教学目的：
1.解平面向量的坐标的概念：
2.掌握平面向量的坐标运算：
3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线。
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：理解平面向量的坐标表示
教学方法;启发式
教学过程：
一复习引入: 平面向量的基本定理（基底）
二、新课讲解：
（一）、问题情境:(平面向量的坐标表示)
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取轴、轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量
记作：=(x, y) 称作向量的坐标
如：===(2, 2) ===(2, (1)
===(1, (5)=(1, 0) =(0, 1) =(0, 0)
例1:课本72页, 如图2-3-6,已知O是坐标原点,点A在第一象限,
=4,∠XOA=60O.求向量的坐标.
解 设点A(x,y),则 x=4cos600=2,y=4sin600=6
即 A(2,6) 所以 = A(2,6)
(二)学生活动:(平面向量的坐标运算)
由以上例子让学生讨论：
向量的坐标与什么点的坐标有关？
每一平面向量的坐标表示是否唯一的？
两个向量相等的充要条件是？（两个向量坐标相等）
（二）平面向量的坐标运算
直接由学生讨论回答：
问题：（1）已知a (x1, y1) (b (x2, y2) 求a+b，a-b的坐标
(2)已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标
解：a+b =(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+ x2)+ (y1+y2)
即：a+b =(x1+ x2,y1+y2)
同理：a-b=(x1(x2, y1(y2)
λa=λ(x+y)=λx+λy
∴λa=(λx, λy)
(三)建构数学: 结论：1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。2、实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
(3)已知你觉得的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
∵=(=( x2, y2) ( (x1,y1)
= (x2( x1, y2( y1)
结论：3、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
（四）数学运用:
例2（课本73页例2）
例3、已知平面上三点的坐标分别为A((2, 1), B((1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD时，由
得D1=(2, 2)当平行四边形为ACDB时，
得D2=(4, 6)当平行四边形为DACB时，
得D3=((6, 0)
例4 ,课本74页,例3,已知,
P是直线上一点,且,求点P的坐标.
解 设P(x,y), 则 =(x-,y-)
=()
由 =.得 (x-,y-)=()
得到 因为
所以 因此,P点坐标为 (,)
当=1时,就得到线段的中点M(x,y)的坐标公式
2.课堂练习：课本74页1、2、3,4,5,6 练习参考答案:
1,C 2, =(-,1) 3, 因为 =(-3,2)= ,所以四边行ABCD是平行四边形.
5, 合力F=(-2,1) 6,设C(x,y),则=(x+4,y-8).因为
五、回顾小结
1．通过本节学习,要求大家掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,掌握平面向量的坐标运算,并能进行简单的应用.
六、作业：课本页1-6
§2.4 平面向量的数量积（2）
教学目标：掌握平面向量数量积运算规律；
能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
掌握两向量共线、垂直的几何判断，会证明两量垂直，
以及能解决一些简单问题.
教学重点： 平面向量数量积及运算规律.
教学难点： 平面向量数量积的应用
内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质
教学过程：
一、问题情境
1．情境引入：平面向量数量积（内积）的定义,.
2．提出问题：平面向量数量积有怎样的一些运算性质呢?与实数积的性质是否相同?
二、学生活动
问题1：实数积的运算率有哪些？交换律，结合律，分配律.
问题２：向量数量积也有交换律、结合律、分配律吗？
三、建构数学
１.向量的交换律：
证：设，夹角为，则， ∴
２.数乘结合律：
若,,,；
若，
，
3．向量的分配律：
设向量和实数，则向量的数量积满足下列运算率：
（1）
（2）
（3）
4.回顾反思：
（１）向量的数量积运算满足结合率吗？
在实数中，有，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
（２）有如下常用性质：
五、数学运用
1.例题
例1．已知，，的夹角为，求的值.
例2．已知，且与垂直，求.
例3．已知，（1）若，求；（2）若，的夹角为，求；
（3）若与垂直，求，的夹角.
例4．设是两个单位向量，夹角为，求向量与的夹角.
２．练习：可以讨论课本P80练习第1、2、3题.
六、总结反思
§2.4 平面向量的数量积（1）
教学目标：掌握平面向量的数量积及其几何意义；
掌握平面向量数量积的重要性质；
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度及平行、垂直的问题；
掌握向量垂直的条件.
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、问题情境
1．情境引入：我们学习了向量的加法、减法乘法三种运算.
若，，则，，.
2．提出问题：那么向量与向量能否相乘呢？
二、学生活动
1.我们知道，如果力F在位移s方向上的夹角为，那么F 所做的功W应为
问题1：如果把W看成两个向量F与s的某种运算结果，那么这个结果是数量还是向量？
问题2：W这个数量与那些量有关呢？
三、建构数学
问题3：如何来定义两个向量的夹角？
1.已知非零向量与，作，，则叫与的夹角.
说明：（1）当时，与同向；
（2）当时，与反向；
（3）当时，与垂直，记；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围
2.平面向量数量积（内积）的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即
并规定与任何向量的数量积为0.
3.回顾反思：
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
① ②
③当与同向时，；当与反向时，
特别地，，或
④ ⑤
4．“投影”的概念：作图
定义：叫做向量在方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当时投影为；当时投影为
问题4：已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc( a=c.但是成立吗？
5．向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影的乘积
四、数学运用
例题
例1．已知向量与向量的夹角为，，分别在下列条件下求
（1） （2） （3）
例2．已知向量与向量满足，若，求向量与向量的夹角.
练习：
１.已知△ABC中，，求·
２.已知，，当①，②，③与的夹
角是时，分别求
六、总结反思
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质，并能运用它们解决相关的问题
