上海市奉贤区部分中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

奉贤区部分中学2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题（本题共12题，满分54分，1－6每题4分，7－12每题5分）
1．各项为正数的等比数列中，，，则公比是______．
2．已知抛物线的焦点坐标为，则p的值为______．
3．设表示事件M发生的概率，若，，则______．
4．已知等差数列的前n项和为，且满足：，则______．
5．已知一个随机变量X的分布列为，若b是a，c的等差中项，则b＝______．
6．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是______．
7．圆锥曲线的焦点在x轴上，离心率为，则实数m的值为______．
8．已知随机变量X服从二项分布，若，，则p的值为______．
9．已知变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则变量x，y之间的相关系数r＝______．
x 6 8 10 12
y 6 5 3 2
10．已知数列中，，且对于任意正整数n有，则______．
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有______项．
12．已知数列中，，记的前n项和为，且满足．若对任意n为正整数，都有，则首项的取值范围是______．
二、单选题（本题共4题，满分18分，13，14每题4分，15，16每题5分）
13．用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）
A． B． C．最小 D．最小
14．已知为等比数列，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．若，则 D．若，则
15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，，X和Y的分布密度曲线如图所示，则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．数列满足，，n为正整数，则的整数部分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本题共5题，满分78分，17－19每题14分，20，21题每题18分）
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝3，设E为侧棱PC的中点．
（1）求四棱锥E－ABCD的体积V；
（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房，现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．
（1）求A，B两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点，某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底扣除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平台．
（1）若a＝100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
（2）每年的运营成本最多控制在多少万元以内，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如果数列对任意的正整数n，，则称为“速增数列”．
（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为2k（，）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆：的左右焦点分别为，，P为上的动点．
（1）若，设点P的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；
（2）过点P的直线l：与的另一个交点为Q，为P关于y轴的对称点，直线与y轴交于点，求n关于b的表达式；
（3）试根据b的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点P的个数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.-0.99; 10.； 11. 12.
11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，所有能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有______项．
【答案】
【解析】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数,
故,;解得故答案为:135.
12．已知数列中，，记的前n项和为，且满足．若对任意n为正整数，都有，则首项的取值范围是______．
【答案】
【解析】①
②,
由②-①得,).
即
当时,当时,,
对任意,
都有,
解得故首项的取值范围为，故答案为:
二、选择题
13.D 14.B 15.C 16.A
15．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，，X和Y的分布密度曲线如图所示，则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由,得
由正态密度曲线图像可知错误;
由正太密度曲线图像可知,.
所以C正确;
由正态密度曲线图像可知
故选:
16．数列满足，，n为正整数，则的整数部分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题设知,
通过累加,得
的整数部分为1.故选:.
三．解答题
17.（1）体积2 （2）
18.（1） （2）
19.（1）936万元 (2)最多控制在46.8万元
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
如果数列对任意的正整数n，，则称为“速增数列”．
（1）判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
（2）若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数k的最大值；
（3）已知项数为2k（，）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：．
【答案】（1）是，理由见解析 （2）正整数k的最大值为63 （3）见解析
【解析】（1）因为则,
又,所以数列是“速增数列”
（2）
即
当，当 故正整数k的最大值为63.
（3）证明：
故即
故
同理可得：
故
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆：的左右焦点分别为，，P为上的动点．
（1）若，设点P的横坐标为，试用解析式将表示成的函数；
（2）过点P的直线l：与的另一个交点为Q，为P关于y轴的对称点，直线与y轴交于点，求n关于b的表达式；
（3）试根据b的不同取值，讨论满足为等腰锐角三角形的点P的个数．
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】(1)设,其中,中，
则
(2)设那么P，Q为方方组的实数解
消去y得，
由题意得
(3)图1至图5分别对应点为2个,2个,6个,4个,4个的情况,其中图2与图4为临界情况,如图2:为等腰直角三角形
如图4:为等腰直角三角形,
①点P的个数为2;②,点P的个数为6;
③,点的个数为4.