上海市浦东新区川沙镇川沙学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

川沙学校2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.3
一、填空题（）
1．函数从到的平均变化率是______．
2．已知函数的图像在点处的切线方程是，则______．
3．若，则______．
4．已知函数的导函数为，且满足关系式，则______．
5．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率99%,若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示）
6．已知函数，则该函数图像在点处的切线的倾斜角的大小是______．
7．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数是______．
8．函数在区间内最小值是______．
9．已知函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围是______．
10．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．
11．已知，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围是______．
12．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．
二、选择题（）
13．研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞；一般通过实验获取数据的是（ ）
A．①② B．③④ C．② D．④
14．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上是严格增函数
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
15．已知P是曲线上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
16．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛．已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（）
17．如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：
（4分）（1）该圆锥的表面积；
（4分）（2）直线CD与平面PAB所成角的大小．
18．某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名．
（4分）（1）求选出的4名同学中有男生的概率；
（4分）（2）记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设块球场时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用1280000元．
（5 分）（1）请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
（5分）（2）为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
20．已知A、B分别为椭圆的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，是椭圆上异于A、B的点．
（3分）（1）若，求椭圆的标准方程；
（4分）（2）设直线与y轴交于点P，与直线MA交于点Q，与直线MB交于点R，求证：的值仅与a有关；
（5分）（3）如图，在四边形MADB中，，，若四边形MADB面积S的最大值为，求a的值．
21．函数．
（4分）（1）求函数的单调区间；
（4分）（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（6分）（3）若，且，证明：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ; 7.;
8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
令,则,在上单调递减,
,,的解集为.
二、选择题
13.C 14.D 15.C 16.B
15．已知P是曲线上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是曲线上的动点,点在直线上运动,直线的斜率为,则当取最小值时,曲线的切线斜率
,即结合所给的选项,可得即点的横坐标为,故选:.
16．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛．已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】打完第5局比赛结束,包含以下两种情况,
(1)第5局甲赢,前三局甲赢两局,第四局甲输或前三局甲赢一局,第四局甲赢，
概率为
(2)第5局乙赢,前三局乙赢两局,第四局乙输或前三局乙赢一局,第四局乙赢,
概率为
打完第5局比赛结束的概率为故选:.
三．解答题
17.（1）表面积 （2）
18.（1） （2）
19.（1） (2)
20．已知A、B分别为椭圆的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，是椭圆上异于A、B的点．
（3分）（1）若，求椭圆的标准方程；
（4分）（2）设直线与y轴交于点P，与直线MA交于点Q，与直线MB交于点R，求证：的值仅与a有关；
（5分）（3）如图，在四边形MADB中，，，若四边形MADB面积S的最大值为，求a的值．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】(1)因为
所以,所以椭圆的标准方程为.
(2)证明：设,2),因为,
所以直线的方程分别为
所以的值仅与有关.
(3)设,
因为,所以,,
两式相减得,代回原式得,因为,所以,
所以四边形的面积为
因为的最大值为,所以,解得因为,所以.
21．函数．
（4分）（1）求函数的单调区间；
（4分）（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（6分）（3）若，且，证明：．
【答案】（1）当时,函数的单调递减区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
（2）实数的取值范围为
（3）见解析
【解析】(1)函数定义域为,
,,
①当时,在上恒成立,即函数的单调递减区间为;
②当时,,解得,
当时,函数的单调递增区间为,
当时,函数的单调递减区间为,
综上可知:当时,函数的单调递减区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2)由(1)知,当时,函数在上单调递减,
函数至多有一个零点,不符合题意,
当时,函数在上单调递增,
在上单调递减,,
又函数有两个零点,,,
又,使得,
又,
设
上单调递减,,,使得,
综上可知,为所求.实数的取值范围为.
(3)证明:依题意,是函数的两个零点,
设,因为,
不等式
在上是增函数,且,
即,从而.