上海市普陀区重点中学2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题（本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.抛物线的准线方程为_________
2.若排列数,则_________
3.若,且,则经过的直线的
一般方程为_________
4.函数,其中,函数在区间上的平均变化率为,
在上的平均变化率为,则与的大小关系是_________
5.2名老师和6名学生站成一排,则2名老师恰好不相邻的排法数为_________
6.已知函数,满足,则它的导函数_________
（请注明定义域）.
7.6本不同的书全部分给5个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为
8.设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若为的重心,则_________
9.设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且不是椭圆的顶点.若,且,则实数的值为_________
10.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是_________
11.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是_________
12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥,得到了三种圆锥曲线,其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高,底面圆的半径为为母线的中点,平面与底面的交线,则双曲线两渐近线夹角的余弦值为_________
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,13-14题每题4分,15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑.
13.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
14.已知方程所表示的曲线为圆,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
15.设,若函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数(为自然对数的底数),有下列两个命题:
命题和之间存在唯一的“隔离直线”;
命题和之间存在“隔离直线”,且的最小值为-1.
则下列说法正确的是（ ）
A.命题、命题都是真命题 B.命题为真命题,命题为假命题
C.命题为假命题,命题为真命题 D.命题、命题都是假命题
三、解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题6分,第2小题8分.
已知圆,直线.
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)设直线与圆交于两点,若,求直线的倾斜角.
18.(本题满分14分)本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知抛物线.
(1)若上一点到其焦点的距离为4,求的方程;
(2)若,斜率为2的直线交于A、B两点,交轴的正半轴于点为坐标原
点,,求点的坐标。
19.(本题满分14分）本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
某科学考察队在某地考察时,在距离点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点、.现以为坐标系原点、的东侧为轴正方向、的北侧为轴正方向建立平面直角坐标系.
(1)若考察发现一点满足(千米),据此写出所在的曲线方程;若进
一步观察到,在的北偏东方向处,求点的坐标;(千米),(千米),求的距离（精确到1米)和点
相对于的方向(精确到).
20.(本题满分18分)本大题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,若至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.
21.(本题满分18分)本大题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规,其中的一种如图1所示.四根等长的杆
用铰链首尾链接,构成菱形.带槽杆长为,点间的距离为2,转动
杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上,且.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系,求出点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率为,证明:为定值;
(3)过点作直线垂直于直线,在上任取一点,对于(2)中的两点,
试证明:直线的斜率成等差数列.上海市普陀区重点中学2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题（本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果
1.抛物线的准线方程为_________
【答案】.
2.若排列数,则_________
【答案】3.
3.若,且,则经过的直线的
一般方程为_________
【答案】.
4.函数,其中,函数在区间上的平均变化率为,
在上的平均变化率为,则与的大小关系是_________
【答案】
5.2名老师和6名学生站成一排,则2名老师恰好不相邻的排法数为_________
【答案】30240.
6.已知函数,满足,则它的导函数_________
（请注明定义域）.
【答案】.
7.6本不同的书全部分给5个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为
【答案】1800.
8.设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若为的重心,则_________
【答案】12.
9.设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且不是椭圆的顶点.若,且,则实数的值为_________
【答案】1.
10.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是_________
【答案】.
11.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马,设是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是_________
【答案】16.
12.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥,得到了三种圆锥曲线,其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分,已知高,底面圆的半径为为母线的中点,平面与底面的交线,则双曲线两渐近线夹角的余弦值为_________
【答案】.
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,13-14题每题4分,15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑.
13.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有（ ）
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】B.
14.已知方程所表示的曲线为圆,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
15.设,若函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
16.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”,已知函数(为自然对数的底数),有下列两个命题:
命题和之间存在唯一的“隔离直线”;
命题和之间存在“隔离直线”,且的最小值为-1.
则下列说法正确的是（ ）
A.命题、命题都是真命题 B.命题为真命题,命题为假命题
C.命题为假命题,命题为真命题 D.命题、命题都是假命题
【答案】B.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题6分,第2小题8分.
已知圆,直线.
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)设直线与圆交于两点,若,求直线的倾斜角.
解:(1)证明:直线恒过点分
因为点在圆内,所以直线圆总有两个不同的交点,…………………6分
(2)因为,所以分
点到直线的距离是,分
斜率,所以直线的倾斜角是或分
18.(本题满分14分)本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知抛物线.
(1)若上一点到其焦点的距离为4,求的方程;
(2)若,斜率为2的直线交于A、B两点,交轴的正半轴于点为坐标原
点,,求点的坐标。
解:(1),可得
因此的方程为……………………6分
(3)设设
联立,可得:;则9分
解得:……………………13分
即点坐标为……………………14分
19.(本题满分14分）本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
某科学考察队在某地考察时,在距离点20千米处的西侧、东侧分别设立了站点、.现以为坐标系原点、的东侧为轴正方向、的北侧为轴正方向建立平面直角坐标系.
(1)若考察发现一点满足(千米),据此写出所在的曲线方程;若进
一步观察到,在的北偏东方向处,求点的坐标;(千米),(千米),求的距离（精确到1米)和点
相对于的方向(精确到).
解:(1)由题意:且为双曲线右支上的一点,
故标准方程为,……………………3分
设方程为代入标准方程解得,
即点坐标为.……………………6分
(2)由得点在以为焦点的双曲线标准方程
为:……………………8分
在以为焦点的双曲线标准方程为:……………………10分
由:得则(米)分即,点在东偏北
20.(本题满分18分)本大题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上是单调函数,求实数的取值范围;
(3)设函数,若至少存在一个实数,使得成立,求实数的取值范围.
解：（1）当时,,则,且,所以在在点处的切线斜率为,2分
且切线过原点,则切线方程为.……………………4分
(2)(1)若递增对一切恒成立,即,
变量时等号成立)，得,即,
所以只要，即，……………………7分
(2)函数单调递增;同理,当时,显然,函数单调递减;
综上可得，……………………10分
(3)由题意可得,即,所以
即可得,令,所以,分
因为,令,可得,
且当时,,则函数单调递增;
当时,,则函数单调递减;
当时,有极大值,即最大值,……………………16分
所以.
21.(本题满分18分)本大题共有3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规,其中的一种如图1所示.四根等长的杆
用铰链首尾链接,构成菱形.带槽杆长为,点间的距离为2,转动
杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上,且.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系,求出点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率为,证明:为定值;
(3)过点作直线垂直于直线,在上任取一点,对于(2)中的两点,
试证明:直线的斜率成等差数列.
(1)由椭圆定义可知点的轨迹方程为:;
(2)(1)当直线斜率存在时,设，与椭圆方程联立可得: 设点坐标分别为,
则
即为定值.……………………8分
(2)当直线斜率不存在时,直线垂直于轴,,可得,
即
由(1)、(2)可得,为定值.……………………10分
(3)设点坐标为,则,
(1)当直线斜率存在时,
此时有……………………16分
(2)当直线斜率不存在时, 也有
因此,,即直线的斜率成等差数列.…………………18分
