上海市上海实验学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

上海实验中学2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题（本大题满分40分，共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1．过点P（2，3），且一个法向量为的直线的点法式方程是______．
2．若圆的方程为，则圆心坐标为______．
3．椭圆的焦距是______．
4．双曲线的两条渐近线夹角为______．
5．已知直线l：，当a变化时，直线l总是经过定点，则定点坐标为______．
6．若原点到直线l：距离为4，则a的值是______．
7．已知直线l过点且与直线垂直，则圆与直线l相交所得的弦长为______．
8．、分别为椭圆的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且，则的面积等于______．
9．已知，N是曲线C：上的动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为______．
10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为______．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）
11．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知两点，，直线l过点，若直线l与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，上顶点为A，延长交椭圆C于点B，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）
15．（本题10分）
设直线的方程为，．
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a的值．
16．（本题10分）
如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱OA高为8，灯杆PA是半径为r的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q为圆心C与P连线与路面的交点．
（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上？
（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．
17．（本题12分）
设椭圆E：，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线，分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．
（1）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积；
（2）若直线的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：；
（3）在（2）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．
18．（本题12分）
设，椭圆：与双曲线C：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线C的方程；
（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线l：，椭圆上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求实数b的取值范围．
四、附加题（本大题满分20分，共有2题，解答下列各题必须写出必要的步骤）
19．（本题10分）
如图，过点的直线与圆O：相交于A，B两点，过点且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
20．（本题10分）
如图，已知双曲线C的方程为，两条渐近线的夹角的余弦值为，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）试用表示△MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求S的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.
7.； 8.； 9.； 10.
10．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为______．
【答案】
【解析】设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,
由椭圆和双曲线的定义可知,设,
椭圆和双曲线的离心率分别为,
则:由余弦定理可得,(1)
在椭圆中,(1)化简为即(2),
在双曲线中,(1)化简为即(3),
由柯西不等式得
故答案为:
二、选择题
11.A; 12.A; 13.A; 14.B
13．已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】轴,且,不妨设,
可得,解得.,解得,.
故选:.
14．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，上顶点为A，延长交椭圆C于点B，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在直角三角形中，，且，
易知，故等腰中，.设，
则，
由椭圆的定义知，则，
解得，所以过点作轴的垂线，交轴于点，
易知，所以，
故点的坐标为，将点的坐标代入椭圆方程得，
解得，故．故选:B.
三、解答题
15.（1） （2）
16.（1） （2）
17.（1） （2）证明略 （3）不可能
18.设，椭圆：与双曲线C：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线C的方程；
（2）过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线C于点P，Q（P，Q不同于右顶点），若，求证：直线PQ的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线l：，椭圆上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求实数b的取值范围．
【解析】(1):椭圆与双曲线即的焦点相同,
,且,解得,
椭圆的方程为,双曲线的方程为,
证明:(2)由(1)可知,双曲线的右顶点为,,
设的方程分别为,
分别联立方程组，,解得，
即,
,
,
直线PQ的倾斜角为,故直线PQ的倾斜角为定值,为,
(3)设,直线AB方程为:,
由,消整理可得:，
消整理可得,
由,解得.
,
设直线AB之中点为,则
由点在直线AB上得:,
又点在直线上,,则.
又,
,,,
解得,且
.
19.如图，过点的直线与圆O：相交于A，B两点，过点且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D．
（1）当点B坐标为时，求直线CD的方程；
（2）记点A关于x轴的对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过定点；
（3）求四边形ACBD面积S的取值范围．
【解析】
(1)当时,直线AB的斜率为2,因为,所以CD的斜率为,故直线CD的方程为,即.
(2)证明:设,则1)
直线AB的方程为,代入,整理得,
所以.
直线BF的方程为,又
令,得
所以直线BF恒过定点.
(3)设直线AB的倾斜角为,则圆心到直线AB的距离为,
所以
因为,所以或,
则.
因为,所以
因为,所以当时,有最大值,为.故的取值范围是.
20.如图，已知双曲线C的方程为，两条渐近线的夹角的余弦值为，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）当时，求的取值范围；
（3）试用表示△MON的面积S，设双曲线C上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求S的取值范围．
【解析】
(1)双曲线的渐近线方程为0.
设渐近线的夹角为,由得,
因此.
又,所以双曲线的方程为.
(2)由题意,设,
当时,,则,所以,
整理得.
所以-1,
当且仅当时,等号成立,所以.
(3)同(2),设,
由得,即,
则所以.
把点的坐标代人双曲线的方程得
则.
所以.
把点的坐标代人双曲线的方程得,
即,所以.
当直线MN的斜率不存在时,其方程为.
当直线MN的斜率存在时,,
此时直线MN的方程为,即,
经检验,斜率不存在时,直线方程也满足上式,
所以直线MN的方程为,
所以点到直线的距离
,
又,
所以.
记双曲线的左、右焦点分别为,,
则,
所以,即双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围,
因为,所以,令,
任取,且,
则,
所以,所以在上单调递增，
因此,即.
所以.