上海市上交附高2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

上交附高2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.3
一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．已知集合，，则______．
2．已知，，则向量在向量方向上的数量投影为______．
3．已知直线，直线，若，则______．
4．已知复数满足（i是虚数单位），则______．
5．函数的最小值为______．
6．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为______．
7．直线l过点，当原点到直线l的距离最大时，直线l的方程为______．
8．设常数a使方程在闭区间上恰有三个不同的解，，，则实数a的取值为______．
9．设随机变量，若，则的最大值为______．
10．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A为“对药物甲产生抗药性”，事件B为“对药物乙产生抗药性”，事件C为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则______．
11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆C交于D、E两点，，则的周长是______．
12．如图，探测机器人从O点出发，准备探测道路OA和OB所围的三角危险区域．已知机器人在道路OA和OB上探测速度可达每分钟2米，，在∠AOB内为危险区域，探测速度为每分钟1米．假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为______．
二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）
13．已知圆，直线，若l与圆O相离，则（ ）
A．点在l上 B．点在圆O上
C．点在圆O内 D．点在圆O外
14．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户．如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中k为常数，是刚发布时的教师用户人数．从发布之日起，教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
15．给定下列四个命题：
①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列的前n项和为，若是增数列，则数列也是增数列：
以上命题是真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
16．等轴双曲线的焦点，圆，则（ ）
A．对于任意r，存在c，使圆C与双曲线右支恰有两个公共点
B．对于任意r，存在c，使圆C与双曲线右支恰有三个公共点
C．存在c，使对于任意r，圆C与双曲线右支至少有一个公共点
D．存在c，使对于任意r，圆C与双曲线右支至多有两个公共点
三、解答题（本大题共5道小题，共78分）
17．本题满分14分（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选（与A在同一水平面的）B、C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角为75°．
（1）求AC两点间的距离；
（2）求大楼的高度．（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m．）
18．本题满分14分（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线，及直线．
（1）若l与C有且只有一个公共点，求实数k的值；
（2）若l与C的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数k的值．
19．本题满分14分（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设a为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值．
20．本题满分17分（本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为，以线段AB的中点为圆心，为半径的圆与直线l交于P、Q两点．
（1）求证：直线l过定点；
（2）求AB中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
21．本题满分19分（本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知的三个顶点都在椭圆上．
（1）设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0．点O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1．求证：为定值；
（2）当O是的重心时，求证：的面积是定值；
（3）如图，设的边AB所在直线与x轴垂直，垂足为椭圆右焦点F，过点F分别作直线、与椭圆交于C、D、E、G（不同于A、B两点），连结CG、DE与AB分别交于M、N，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆C交于D、E两点，，则的周长是______．
【答案】
【解析】椭圆的离心率为,,
椭圆的方程为,
为正三角形,
过且垂直于的直线与交于两点,为线段的垂直平分线,
直线的斜率为,
设直线的方程:,与椭圆方程联立,整理化简得
到:直线的斜率为,
设直线的方程:,与椭圆方程联立,
整理化简得到:,
为线段的垂直平分线,根据对称性,的周长等于的周长,根据椭圆的定义可知周长为
二、选择题
13.C 14.D 15.D 16.A
15．给定下列四个命题：
①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；
③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列的前n项和为，若是增数列，则数列也是增数列：
以上命题是真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
【答案】D
【解析】①③正确
三．解答题
17.（1） （2）264m
18.（1） （2）
19.（1）定义域为关于原点对称，当时,函数为偶函数:
当时,函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2）当时,函数的最小值为;
当时,函数的最小值为；
当时,函数的最小值为.
20．本题满分17分（本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB的斜率之积为，以线段AB的中点为圆心，为半径的圆与直线l交于P、Q两点．
（1）求证：直线l过定点；
（2）求AB中点的轨迹方程；
（3）设，求的最小值．
【答案】（1）定点 （2）轨迹方程为: （3）的最小值为10.
【解析】(1)设直线的方程为,设点,由得,,
因为直线的斜率之积为-1,所以,所以,
所以,所以直线的方程为,过定点
(2),设线段的中点为,可得,消去得,由直线恒过顶点,总与抛物线有两交点,因此,线段的中点的轨迹方程为:
(3)圆心为线段的中点,于是,
所以,当时,的最小值为10.
21．本题满分19分（本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知的三个顶点都在椭圆上．
（1）设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在线的斜率分别为，，，且，，均不为0．点O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1．求证：为定值；
（2）当O是的重心时，求证：的面积是定值；
（3）如图，设的边AB所在直线与x轴垂直，垂足为椭圆右焦点F，过点F分别作直线、与椭圆交于C、D、E、G（不同于A、B两点），连结CG、DE与AB分别交于M、N，求证：．
【解析】(1)设,
因为在椭圆上,所以,
两式相减得:,即,
同理可得,则
因为直线的斜率之和为1,所以,
(2)设
因为的重心为,故
又都在椭圆上,故
化简得.,
设,
则
即的面积为定值.
(3)[方法一]设直线方程为:,直线的方程为:,
直线与直线上所有点对应的曲线方程为:
又都在椭圆上,则同时过的二次曲线系可设为:
取,得,易知该方程的两根分别为,
由韦达定理可知,
[方法二],直线,设
设直线,与椭圆方程
联立化简得
同理设直线,则有
直线,得,
同理
即,命题得证.