上海市市北中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

上海市市北中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学
2023.4
一填空题（1-5题每题3分，6-10题每题4分，总计35分）
1．点到直线的距离为______．
2．抛物线的准线方程为______．
3．双曲线的离心率______．
4．直线的倾斜角的大小为______．
5．已知P为椭圆上一动点，记原点为O，若，则点Q的轨迹方程为______．
6．已知直线，，若，则实数______．
7．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为______．
8．已知函数的导数为，若，则______．
9．曲线C为到两定点、距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为______．
（1）曲线C一定经过原点；
（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
（3）的面积不大于8；
（4）曲线C在一个面积为的矩形范围内．
10．已知实数x、y满足，则的取值范围是______．
二选择题（每题4分，总计16分）
11．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
12．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
13．若圆和圆没有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．将曲线与曲线合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A、B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）
A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①②均正确 D．①②均错误
三解答题（共4题，总计49分）
15．已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点．
（1）当直线l的斜率为1时，求弦AB的长．
（2）当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程．
16．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围．
17．已知斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点、，记点M的坐标为．
（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为2和3，求；
（2）若斜率，求的面积．
（3）若是等腰三角形且，求实数k．
18．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长．
（2）当时，求直线l的方程．
（3）是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.（3）（4）; 10.；
9．曲线C为到两定点、距离乘积为常数16的动点P的轨迹．以下结论正确的编号为______．
（1）曲线C一定经过原点；
（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；
（3）的面积不大于8；
（4）曲线C在一个面积为的矩形范围内．
【答案】（3）（4）
【解析】设,则，
对于(1),原点代入方程,得,即方程不成立,曲线一定不经过原点,命题错误:
对于(2)以-代替代替方程成立
方程成立,即曲线关于轴对称,命题错误；
对于(3)的最大面积为,命题正确；
对于(4),令,可得,根据距离乘积为16可以得出的取值只可能在到之间;同理的取值只可能在到之间；
所以曲线在一个面积为的矩形范围内,且,
所以曲线在一个面积为64的矩形范围内.命题正确.综上,正确的命题有(3)(4)
10．已知实数x、y满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由图可知当直线与第一象限的椭圆相切时,直线在由上的截距最大,
联立得即
∵相切，
∵椭圆的图象只在第一象限,,
根据双曲线的方程知两条双曲线的渐近线方程都是,
当直线无限靠近时趋于0
即趋于-4,的取值范围是,
故答答为:.
二、选择题
11.D 12.A 13.D 14.B
13．若圆和圆没有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆可变为,
则,圆心坐标为,半径为
圆的圆心坐标为,半径为1.
要使圆和圆没有公共点,
则或,即或,
解得或实数的取值范围是
14．将曲线与曲线合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于A、B两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）
A．①错误，②正确 B．①正确，②错误 C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】B
【解析】设则,
对于①当时,,易得,
故两式相减得,易得,故,
可得,所以
故存在,使得点的轨迹总落在某个椭圆上;故①正确;
对于②,则,
由题意,若存在,使得点的轨迹总落在某条直线上，
则
故即,
又,存在,使得点的轨迹总落在某条直线上.
则为常数即为定值,
因为分子分母次数不同,故若为定值则分子恒为0,
即,此方程无解,
即不存在,使得点的轨迹总落在某条直线上,故②不正确.
三．解答题
15.（1）AB= （2）y= -kx
16.（1）y=2x-2 （2）a=8
17．（1） （2） （3）
18．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．
（1）当直线l垂直于x轴时，求弦长．
（2）当时，求直线l的方程．
（3）是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)由题知,将代入椭圆方程得,所以;
(2)由(1)知当直线的斜率不存在时,,
此时,不符合题意,舍去,所以直线的斜率存在,设直线的方程为:,
联立,消去,整理,得,
设,则
解得,所以,直线方程为;