上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

徐汇区名校2022学年第二学期高二年级数学期中
2023.4
一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．设，若直线l经过点、，则直线l的斜率是______．
2．方程表示椭圆，则实数k的取值范围是______．
3．若直线l经过点，且与圆相切，则直线l的方程是______．
4．关于x，y的方程表示圆，则实数m的取值范围是______．
5．平行直线与之间的距离为______．
6．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l为______．
7．双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为______．
8．已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为______．
9．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则A点坐标为______．
10．已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是______．
11．已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______．
12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______（填上你认为所有正确的序号）．
双纽线C关于原点O中心对称；
；
双纽线C上满足的点P有两个；
的最大值为．
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
13．方程表示焦距为的双曲线，则实数的值为（ ）．
A．1 B．或1 C．或或1 D．或1
14．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
15．当点A在椭圆上运动时，连接点A与定点，则的中点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
16．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：
①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；
②曲线的周长大于曲线C的周长；
③曲线C与圆有且仅有4个公共点．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分48分）
17．（本题8分）
已知直线，直线．
（1）当时，求a的值；
（2）当时，求a的值．
18．（本题8分）
在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，Q是线段l上的任意一点，线段长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为．
（1）设点，线段，求；
（2）设l是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积．
19．（本题10分）
已知双曲线C的方程为．
（1）直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
（2）过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
20．（本题10分）
已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
（1）若P点坐标为，求
（2）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
21．（本题12分）
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E相切于点T．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）求椭圆E的标准方程及点T的坐标；
（3）设O为坐标原点，直线平行于直线，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，那么是否存在常数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
填空题
1. 1； 2.； 3.； 4.； 5. ；
6.； 7. 2； 8. 9； 9.； 10.；
11.； 12.；
11．已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______．
【答案】
【解析】由圆的方程,
可得,可得圆心坐标
半径,点与圆心的距离
点在圆内,当过点且过圆心的直线与圆相交时,可得最长弦,当时,最短,
过的最短的弦
所以
12．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______（填上你认为所有正确的序号）．
双纽线C关于原点O中心对称；
；
双纽线C上满足的点P有两个；
的最大值为．
【答案】
【解析】对于,因为定义在平面直角坐标系中,把到定点,
距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,所以,用替换方程中的,
原方程不变,所以双纽线关于原点中心对称，所以正确;
对于,根据三角形的等面积法可知
即,所以,所以正确;
对于, 若双纽线 上的点 满足 , 则点 在 轴上, 即 , 所以 , 得 , 所 以这样的点 只有一个, 所以错误;
对于, 因为,
由余弦定理得
所以
所以 的最大值为 , 所以正确.
故答案为:
选择题
13.A; 14.B; 15.D; 16.C;
15．当点A在椭圆上运动时，连接点A与定点，则的中点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设,则,
因为在椭圆上,的坐标代入椭圆方程可得:
故选:.
16．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：
①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；
②曲线的周长大于曲线C的周长；
③曲线C与圆有且仅有4个公共点．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】(1)因为点坐标为,所以,又因为,所以
根据题意,曲线的形状如图:其中,,
由此分析3个结论:对于(1),曲线上,或之间的距离最大,且,即任曲线上任意两点间距离的最大值为8,正确;
对于(2)曲线,图形为图中的正方形，必有的周长小于曲线的周长;
对于(3),曲线与圆有且仅有4个公共点,即四点,正确;
正确的是(1)(3),
故答案为:C
解答题
17.（1）（2）
18.（1）（2）
19.（1）（2）
20．已知圆M方程为，直线的方程为，点在直线上，过P作圆M的切线、，切点为A、B．
（1）若P点坐标为，求
（2）经过A、P、M三点的圆是否经过异于点的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】（1）(2)
【解析】(1)因为点坐标为,所以,又因为,所以
(2)设的中点,因为为圆的切线,
所以经过三点的圆是以为圆心,为半径的圆,
故其方程为
化简得,由,解得或
所以经过三点的圆经过异于点的定点
21．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E相切于点T．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）求椭圆E的标准方程及点T的坐标；
（3）设O为坐标原点，直线平行于直线，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P，那么是否存在常数，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；(3)
【解析】（1）依题意,,则,所以.
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,,则椭圆的方程为.
由方程组,得
方程(1)的判别式为,由,得，此时方程(1)的解为,
所以椭圆的方程为,点坐标为
(3)由已知可设直线的方程为
联立,可得,所以点坐标为,
设点的坐标分别为.
由方程组,可得.
则,解得.
由根与系数的关系可知,
所以
故存在常数 , 使得 .