黑龙江省哈尔滨市第九高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市第九高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 505.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-11 21:37:21 | ||
图片预览
文档简介
哈九中2021级高二学年下学期期中考试数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
I卷
一 单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则的等差中项为（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ）
A.增加了
B.增加了
C.增加了，但减少了
D.增加了，但减少了
4.如图为函数（其定义域为且）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.在等差数列中，为的前项和，，则无法判断正负的是（ ）
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（ ）
A.8 B.2 C.-4 D.-6
8.已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A. B.4 C.3 D.2
二 多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列中，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.是等比数列 D.
11.下列说法正确的有（ ）
A.若等差数列的前项和为，则也成等差数列
B.若为等比数列，且，则
C.若等差数列的前项和为，已知，且，则的最大值为.
D.若，则数列的前2020项和为4040
12.“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的是（ ）
A.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）
B.若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C.若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
D.若最初有个桃子，则必有的倍数
II卷
三 填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.
13.设函数在处的导数为2，则__________.
14.曲线，在点处的切线的倾斜角为__________.
15.函数的单调递减区间为__________.
16.为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则__________.
四 解答题：本题共有6个小题，共70分.
17.求下列已知函数的导函数
（1）
（2）
（3）
（4）
18.在正项等比数列中，，且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
19.已知数列的前项和为，数列是以-9为首项，1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.在数列中，，且对任意的，都有.
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项积为，求和.
21.小明同学高一的时候跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数（函数恒有意义）：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下三个问题，请你解答：
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；
（3）当时，若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.
22.已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
参考答案
1-8.ABCABBDD
9.ACD 10.BC 11.BCD 12.BCD
13. 14. 15. 16.
17.（1）
（2）
（3）
（4）
18.（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得.
数列的通项公式为；
（2）.
19.（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，数列的前项和；
当时，，
数列的前项和
，
.
综上所述：
20.（1），
是以4为首项，2为公比的等比数列
（2）是以1为首项，1为公差的等差数列
21.（1），
当时，，单增区间为
（2）当时，，
设，切线方程为，
代入，得，又因为，
于是可得，
即点在“双升双降函数”的图像上.
（3）当时，，
，
设曲线在点处的切线斜率为1，
则，所以，则，
设曲线在点处的切线斜率为1，
则，
所以，点，
所以直线的斜率，
所以，
由于，
所以（当且仅当时取等号）
所以当时，的最小值为.
22.（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）解：由（1）知，
所以.
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以.
当为奇数时，
，
又是单调递增的，
因为，所以.
要使存在，使，只需，即，
故的取值范围是
（考试时间：120分钟满分：150分）
I卷
一 单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则的等差中项为（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（ ）
A.增加了
B.增加了
C.增加了，但减少了
D.增加了，但减少了
4.如图为函数（其定义域为且）的图象，若的导函数为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.在等差数列中，为的前项和，，则无法判断正负的是（ ）
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，且，则的值是（ ）
A.8 B.2 C.-4 D.-6
8.已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A. B.4 C.3 D.2
二 多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列中，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.是等比数列 D.
11.下列说法正确的有（ ）
A.若等差数列的前项和为，则也成等差数列
B.若为等比数列，且，则
C.若等差数列的前项和为，已知，且，则的最大值为.
D.若，则数列的前2020项和为4040
12.“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的是（ ）
A.若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）
B.若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C.若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
D.若最初有个桃子，则必有的倍数
II卷
三 填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分.
13.设函数在处的导数为2，则__________.
14.曲线，在点处的切线的倾斜角为__________.
15.函数的单调递减区间为__________.
16.为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则__________.
四 解答题：本题共有6个小题，共70分.
17.求下列已知函数的导函数
（1）
（2）
（3）
（4）
18.在正项等比数列中，，且的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
19.已知数列的前项和为，数列是以-9为首项，1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.在数列中，，且对任意的，都有.
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项积为，求和.
21.小明同学高一的时候跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数（函数恒有意义）：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下三个问题，请你解答：
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；
（3）当时，若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的最小值.
22.已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.
参考答案
1-8.ABCABBDD
9.ACD 10.BC 11.BCD 12.BCD
13. 14. 15. 16.
17.（1）
（2）
（3）
（4）
18.（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得.
数列的通项公式为；
（2）.
19.（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，数列的前项和；
当时，，
数列的前项和
，
.
综上所述：
20.（1），
是以4为首项，2为公比的等比数列
（2）是以1为首项，1为公差的等差数列
21.（1），
当时，，单增区间为
（2）当时，，
设，切线方程为，
代入，得，又因为，
于是可得，
即点在“双升双降函数”的图像上.
（3）当时，，
，
设曲线在点处的切线斜率为1，
则，所以，则，
设曲线在点处的切线斜率为1，
则，
所以，点，
所以直线的斜率，
所以，
由于，
所以（当且仅当时取等号）
所以当时，的最小值为.
22.（1）证明：因为，
所以，即，
因为，所以，
故数列是以12为首项，3为公比的等比数列，
所以，则.
（2）解：由（1）知，
所以.
当为偶数时，
，
因为是单调递减的，所以.
当为奇数时，
，
又是单调递增的，
因为，所以.
要使存在，使，只需，即，
故的取值范围是
同课章节目录