黑龙江省友谊县红兴隆管理局第一高级中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题

红兴隆管理局第一高级中学2013-2014学年
高二下学期期中考试数学文试题
一、选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1. 集合，，，则集合的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（是虚数单位，是实数），则（ ）
A． B． C． D．2
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.命题“存在实数，使”的否定是（ ）
A．对任意实数, 都有 B．不存在实数，使
C．对任意实数, 都有 D．存在实数，使
5. 函数在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
6. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是（0，3），则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
8. 若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知x与y之间的关系如下表
X
1
3
5
y
4
8
15
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点 （ ）
A．（3，9） B．（3，7） C．（3.5，8） D．（4，9）
10. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ 　）
A． B．或 C． D． 或
11．如图，已知直线l：y =k(x+1)(k>0)与抛物线C：y2=4x
相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影
分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是（　　）
A. B. C. D. 2
12. 已知函数，当时，只有一个实数根；当3个相异实根，现给出下列4个命题：
①函数有2个极值点； ②函数有3个极值点；
③=4,=0有一个相同的实根； ④=0和=0有一个相同的实根.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题 （本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．）
16. 有下列四个命题：
命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为： “两直线不平行,同位角不相等”；
“”是“”的必要不充分条件；
若为假命题，则、均为假命题；
对于命题：, 则： .
其中正确是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）
17.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（I）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
18. （本小题满分12分）
已知函数在与时都取得极值．
（I）求a，b的值及函数的单调区间；
（II）若对，不等式恒成立，求c的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知双曲线的两个焦点为、，点在双曲线C上.
（I）求双曲线C的方程；
（II）过双曲线C的右焦点的直线交双曲线于A,B两点，且|AB|=，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．
（I）求圆的方程；
（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
2013-2014学年度第二学期期中考试
高二数学学科试卷答案（文科）
注：卷面满分150分；时间120分钟。
一、选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
C
D
A
B
D
A
B
C
C
二、填空题 本大题共4小题， 每小题5分，满分20分．
13. —1和3 14. 11
15. 16. ①②④
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．）
18、（本小题满分12分）
解：（I）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f(（x）＝3x2＋2ax＋b-------------------------1分
由f(（）＝，f(（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
---------------------4分
f(（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x
（－(，）
（，1）
1
（1，＋(）
f(（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
(
极大值
(
极小值
(
所以函数f（x）的递增区间是（－(，）与（1，＋(）.递减区间是（，1）
-------------------8分
（II）f（x）＝x3x2－2x＋c，x([－1，2]，当x＝时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值. -----------------------10分
要使f（x）(c2（x([－1，2]）恒成立，只需c2(f（2）＝2＋c 解得c(－1或c(2
----------------------12分
20. （本小题满分12分）
解： （I）解：2×2列联表如下：-------------------------------------------------4分
晕机
不晕机
合计
男乘客
28
28
56
女乘客
28
56
84
合计
56
84
140
（II）假设是否晕机与性别无关，则 的观测值
---------------------------10分
由于，所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为晕机与性别有关系.
--------------------------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（I）依题意，设圆的方程为． ---------------------------1分
∵圆与轴相切，∴
∴圆的方程为 -----------------------------------4分
（II）∵椭圆的离心率为, ∴,, 解得 -------6分
∴, ∴， ∴恰为圆心 --------8分
（i）过作轴的垂线，交圆，则，符合题意； --------10分
（ii）过可作圆的两条切线，分别与圆相切于点，
连接，则，符合题意．
综上，圆上存在4个点，使得为直角三角形． -------------------------12分
22. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，函数，则.
得：
当变化时，，的变化情况如下表：
+
0
－
0
+
极大
极小
因此，当时，有极大值，并且；
当时，有极小值，并且.--------------------------------4分
（Ⅱ）由，则，
解得；解得
所有在是减函数，在是增函数，
即
对于任意的，不等式恒成立，则有即可.
即不等式对于任意的恒成立.--------------------------------6分
（1）当时，，解得；解得,
所以在是增函数，在是减函数，，
所以符合题意.