2023届江苏省重点中学高考数学押题卷一（含答案）

2023届江苏省重点中学高考押题卷一
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合和，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
2. 若复数，则使得成立的一个充分条件的值是( )
A. B. C. D.
3. 若，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 在各项均不为零的等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型如图，该模型为圆锥挖去一个有相同旋转轴的圆柱后所得的几何体，已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形．若要使得该模型的表面积最大，则圆柱的底面半径的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数向左平移个单位长度后为奇函数，，则和的取值不可能是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8. 已知定义在上的函数 、分别为函数、的导函数，若为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 甲、乙两名同学测量某种元件尺寸单位：的数据如下：
甲：、、、、、、、、、、、、、、、；
乙：、、、、、、、、、、、、、、、
以下判断中正确的是( )
A. 乙同学测量元件尺寸的极差不小于甲的极差
B. 甲同学测量元件尺寸的分位数是
C. 甲同学测量元件的尺寸大于的概率的估计值为
D. 与甲同学相比，乙同学测量元件的尺寸波动性比较大
10. 已知函数，是定义在的偶函数，且在上单调递减，则( )
A. 为偶函数
B. 在区间上单调递增
C. 若，则
D. 函数有个零点
11. 在四棱锥中，侧棱长均相等，则下列说法中正确的是( )
A. 四条侧棱与底面所成的角均相等
B. 四棱锥体积最大时，其高与侧棱长之比为
C. 若各条棱长均为，其内切球半径为
D. 若各条棱长均为，不相邻的两个侧面的夹角余弦值为
12. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，点、 是椭圆上两点，点的坐标为 ，则下列说法正确的是( )
A. 若构成等差数列，则公差的最大值为
B. 若平行于轴，则的最大值为
C. 若，则三角形周长的最大值为
D. 若以为圆心的圆内切椭圆于点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则 ．
14. 已知圆被直线截得的两条弦长分别为，则的最大值为 ．
15. 已知直线：与抛物线交于，两点，且线段的中点在直线上，写出一个满足上述条件的直线的方程： ．
16. 如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，．
判断的形状；
求的最大值．
18. 本小题分
已知数列的前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和为．
19. 本小题分
已知边长为的正方形内接于圆柱底面，是圆柱的母线，是与的交点．
设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为，求的值；
圆柱上底面圆周上动点到平面的最大距离为，求圆柱的母线长．
20. 本小题分
马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离为公里．某举办城市统计了前天的报名人数，统计数据如下表：注：第天记为，第天报名的人数记为，
单位：天
单位：人数
根据统计数据，通过建模分析得到适合的回归模型为均为大于零的常数请根据上表统计数据，求关于的回归方程，并预测第天报名的人数；
马拉松长跑分三种：全程马拉松，半程马拉松和四分马拉松．该报名点的统计结果如下表：
类别 全程马拉松 半程马拉松 四分马拉松
频率
从报名的运动员中再随机抽取人聘为该城市马拉松运动的代言人，视频率为概率，记随机变量为被抽取的人中参加全程马拉松和四分马拉松的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：其中，，，；
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
21. 本小题分
已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
求双曲线的方程；
设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．
22. 本小题分
已知函数．
判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了集合的运算、集合的基本关系，涉及绝对值不等式，属基础题．
化简集合，再求出集合的补集，即可对各选项进行判断．
【解答】
解：由题意得 ，所以 ，则 ，，
于是选项A错，选项C错；
又，则，则选项C错误，选项D正确，
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算、充分条件的判断，属基础题．
对复数进行化简，再根据得，进一步根据充分条件的定义判断即可．
【解答】
解：由于 ，又，
所以 ，
则 是使得成立的一个充分条件，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，向量的数量积运算，向量模的坐标表示，属基础题．
先求出，再由向量的夹角公式求解即可．
【解答】
解：由 ，得 ，
即得 ，而
所以 ，又，
所以，，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等差数列的相关知识，属基础题．
根据递推关系求出通项公式，进一步求出
【解答】
解：由于 ，因为 ，所以 ，
则，于是由得，
所以，
于是，，
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了已知分段函数求参数、基本不等式、二次函数等知识，属基础题．
结合基本不等式及二次函数的性质得到关于的不等式，进一步求出的取值范围．
【解答】
解：当 时， ，
当且仅当 时，取得等号；
由于 最小，所以 ，
解得 ，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了简单组合体的表面积，属基础题．
分别求出圆锥和圆柱的高，结合表面积公式，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：由题意可知圆锥的高为，则圆柱的高为，
于是可得 ，
且，
所以，当 时， 最大值为 ，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由余弦型函数的对称性求参数，余弦型函数的图象变换及奇偶性，属中档题．
根据题意可得 的对称性，进一步求得的对称性，从而得解．
【解答】
解：由题意知，函数 关于点 对称，
故函数 关于点 对称，
又，所以 ，
又，则为偶数，而选项两个数之和为奇数，
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的应用、抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，属较难题．
根据题意得 和的周期， 关于直线对称，结合导数知识进而得解．
【解答】
解：由 可得 ，
又 可得 ，
所以 的周期为，故 的周期也为；
由 为偶函数可知 ，
则 关于直线 对称，
所以 关于 对称且 ；
由 得 ，
由 得 ，
由 得 ，
所以， ，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了极差、古典概型、百分位数等，属基础题．
直接计算极差即可判断，根据百分位数计算方法可判断，直接根据古典概型的概念计算可判断，分析极差及数据的分布即可判断．
【解答】
解：对于选项，乙同学测量元件尺寸的极差为大于甲的极差，选项A正确；
对于选项，因为 ，因此，甲同学测量元件尺寸的分位数是，选项B正确；
对于选项，甲同学测量元件的尺寸大于的有个，所求概率为 ，选项C错误；
对于选项，甲同学测量元件的尺寸分布在区间 内共有 个，乙同学有 个，
甲同学测量元件的尺寸分布在区间 内的共 个，乙同学为 个，
甲同学测量元件的尺寸的极差为 ，乙同学为 ，
综上可知，与男生相比，乙同学测量元件的尺寸长波动性比较大，选项D正确；
故选ABD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了判断函数的奇偶性、函数的单调性、奇偶函数图象特征的应用、利用导数研究函数的零点，属较难题．
直接根据奇偶性的概念判断，根据复合函数的单调性判断，利用函数的奇偶性结合导数知识判断，利用函数零点的知识及数形结合判断．
【解答】
解：对于选项，由于函数为奇函数， 为偶函数，
，故 为偶函数，选项A正确；
对于选项，因为，所以由，得，
则 在 上单调递减，由，得，
则 在 和 上单调递增，
由题意可知函数 在 单调递增，但是的函数值取值情况无法确定，
由复合函数单调性可知，无法判断 在 上的单调性，选项B错误；
对于选项，由 可知 ，由于 为奇函数，
故 ，由于 为偶函数，所以 ，选项C错误；
对于选项，由于函数 在 单调递增， 单调递减，
设，则 有三个不同的解，
又设三个不同的解为，不妨取，
则根据函数的图象
可得 ，
于是可知、、均有三个不同的实数根，
故 有个不同的零点，选项D正确；
故选AD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与平面所成的角、棱锥的体积、内切球问题、二面角等知识，属中档题．
根据直线与平面所成角的概念，结合侧棱长都相等可判断，将体积用关于棱锥的高的函数表示出来，再利用导数知识可判断，用等体积法即可判断，作出所成二面角的平面角，再利用余弦定理可判断．
【解答】
解：对于，如图，作底面，因为，所以，
所以，即四条侧棱与底面所成的角相等，故A正确；
对于，设，得，即四棱锥的底面四边形存在外接圆，且设该四边形的外接圆半径为，四边形对角线夹角为 ，
则 当且仅当为正方形时等号成立，
即当四棱锥的顶点到底面所在的外接圆距离一定时，底面面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ， ，
即记作，
则 ，当 时， ；
当 时， ；
所以，当 时， 最大即四棱锥的体积最大，故B正确；
对于，若各条棱长均为，则四棱锥是正四棱锥，
设内切球的半径为 ，球心为，
则 ，
即 ，
解得 ，故C错误；
对于，若各条棱长均为，则四棱锥是正四棱锥，
根据题意不妨求平面 与平面 所成的角的余弦值，过点 作 ，
且 为 的中点，则，
连接、、、，
再分别取、的中点、，
连接 ，、 ，又，得 ， ，
则 ， ，
又平面 平面 ，
所以 是侧面 与侧面 所成二面角的平面角，
又 ， ，所以根据余弦定理得 ，
所以不相邻的两个侧面夹角的余弦值为 ，故D正确，
故选ABD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆中的最值问题、椭圆中三角形的面积，涉及到等差数列、圆等相关知识，属困难题．
根据椭圆简单几何性质可得、范围，再根据等差数列知识即可判断；设 ，得 表达式结合二次函数知识即可判断；利用椭圆定义进行转化，再进一步判断；设 为椭圆上任意一点，则 恒成立，再转化为一元二次不等式恒成立问题进一步判断．
【解答】
解：对于，由椭圆的方程，得，
则 ，且 ，
所以，易得公差的最大值为，故选项A错误；
对于，由于 平行于 轴，假设 ，
则 ，
所以当 时， 取最大值，且最大值为 ，故选项B正确；
对于，设右焦点为，
当且仅当直线经过时取等号，故选项C正确；
对于，设 为椭圆上任意一点，则由题意可知 恒成立，
即 且 ，即 ，
故 恒成立，
当时，符合题意，
当时，要使恒成立，
即恒成立，即得，
综上可知， ，故选项D正确；
故选BCD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用三角恒等变换求三角函数值，涉及任意角的三角函数的定义，属中档题．
根据任意角的三角函数的定义求出角的三角函数值，再结合和差角公式及二倍角公式即可得解．
【解答】
解：记点为，
由题意知，，，
则 ，
得 ，
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系中的最值问题，涉及基本不等式等知识，属中档题．
根据直线与圆的位置关系可得，再利用重要不等式即可得解．
【解答】
解：圆可化为，
可知该圆的半径为，
由于直线 均过定点 ，
因为，
所以定点 在圆上，
又根据直线方程可判断 ，所以 ，
故 ，当且仅当 时， 取最大值，
故答案为：．

15.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线位置关系，属中档题．
联立直线与抛物线方程求得线段中点坐标，进而得解．
【解答】
解：由题可知，，设，，
由，得，
所以，，所以
即，取，则，此时，也满足，即直线的方程可以为．
故答案为：答案不唯一．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查向量的运算，考查平面向量的基本定理的应用，数列的递推关系以及等比数列通项公式，考查逻辑推理能力、数学运算能力，属于较难题．
由向量的运算得到，从而得到，再构造等比数列，由等比数列的通项公式求解即可．
【解答】
解：由于是边上一点，且，
则
，
由于为直线上一点列，
则，
因为，
则故，
整理，
即，
若，则，解得：，
此时，解得：，
故为常数为的数列，但，不符合题意．
故．
故，令得：，
因为，所以，解得：．
令则，
即，
因此，
所以为等比数列，公比为，
首项为，
则，
故．

17.【答案】解：因为 ，由于 ，
所以 ，
故 ，
因为 ，即，
所以 ，即，则为等腰三角形；
因为
设 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以，当 时， 最大，最大值为 ．

【解析】本题考查了三角恒等变换的综合应用，涉及利用导数求函数的最值，属中档题．
通过二倍角公式、和差角公式转化得到，进而得解；
根据三角形内角和定理，结合三角恒等变换公式得到，再利用导数求函数的最值即可．
18.【答案】解：由题知 ，得，
，
当且时，
即，
当且时，
又， ，也满足上式，
；
，

．

【解析】本题考查了求数列的通项公式、裂项相消法求和，属中档题．
根据题意得，再利用累乘法即可求得
根据裂项相消法即可得解．
19.【答案】解：因为 平面 ，、平面，
所以 ，
因为 ，
所以 与 全等，所以 ，
连接 ，又是正方形对角线的交点，
则 ，且 ，所以 ，
则 ，所以 ；
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为 轴建立空间直角坐标系 ，
设圆柱的高为 ，
则 ， ， ， ，因为 在圆柱上底面圆上，所以 ，即 ；
且 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，取，
所以 ，因为 ，
所以点到平面的距离 ，
由于 ，所以 当且仅当时取等号，
所以 ，解得 ，所以，此时圆柱的母线长为．

【解析】本题考查了点面离的向量求法、二面角、直线与平面所成的角等知识，属中档题．
根据题意可得，进一步借助直角三角形求得；
建立空间直角坐标系，利用向量法即可得解．
20.【答案】解：由 可得 ，
由 ， ， ，
则 ， ，
所以 ，
，所以 ，
则所求回归方程为 ，
当 时， ，
所以第天的报名人数大约为
由题意得，参加全程马拉松或四分马拉松的运动员被抽到的概率为 ，
的可能取值为 ，且 ，所以
； ；
； ；
所以 的分布列为
所以， ．

【解析】本题考查了非线性回归分析、利用二项分布求分布列、二项分布的均值，属中档题．
将模型转化为线性回归模型，利用最小二乘法求解即可；
根据题意可知随机变量服从二项分布，进而利用二项分布的知识求解．
21.【答案】解：在 中， ，所以 ，因为双曲线的焦点在 轴， ，
所以 ，则双曲线的方程为
证明：由题意可设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 ，
并整理得 ，
设 ， ，则 ，
又设 ， ，
则得直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
两个方程相减得 ，
因为 ，
把它代入得 ，
所以 ，因此直线 与 的交点在直线 上．

【解析】本题考查了直线与双曲线的位置关系，属较难题．
利用已知条件结合余弦定理及二倍角公式求解；
设出直线的方程联立双曲线方程消去，再写出直线、的方程，利用根与系数的关系进一步得解．
22.【答案】解： ，
当 时，易证： ，所以 ，故 在 上单调递增；
当 时，设 ，则 ，
又设，
则 ，由于 和 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， ，单调递增，即 单调递增；
当 时， ，单调递减，即 单调递减；
因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ，所以 时， ，所以 单调递增；
综上所述，函数 在 上单调递增
由知：当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ，所以，当 时， 恒成立，即 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，则 ，
即 ， ，所以 ，
所以 ，
综上可知，当时， 成立．

【解析】本题考查了利用导数判断已知函数的单调性、利用导数证明不等式，涉及数列的裂项相消法求和、三角函数等知识，属困难题．
分两段进行讨论，构造函数求导进一步得原函数的单调性；
构造函数并求导，转化为含数列的不等式，利用数列的裂项相消求和法进一步得证．
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