2022-2023学年湖北省十堰市重点中学3月联考高一数学试卷（含解析）

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2022-2023学年湖北省十堰市重点中学3月联考
高一数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 在中，“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 设，，，则( )
A. B. C. D.
4. 化简：的值为( )
A. B. C. D.
5. 如图是函数的部分图象，则( )
A. B. C. D.
6. 定义在上的奇函数满足，且时，，则( )
A. B. C. D.
7. 数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图象．现有函数，则它的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是
B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称
D. 不等式的解集是
10. 下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的初相为
B. 若函数在上单调递增，则
C. 若函数关于点对称，则可以为
D. 将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则可以为
12. 已知函数，且都有
，满足的实数有且只有个，则下列说法正确的是( )
A. 满足题目条件的实数有且只有个； B. 满足题目条件的实数有且只有个；
C. 在上单调递增； D. 的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ．
14. 已知，则 ．
15. 已知，，，则的最小值为 ．
16. 函数，在区间上函数的最大值为，最小值为当取任意实数时，的最小值为，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知全集，集合，．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知函数．
若，且函数，求的值；
若将函数图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的最小值．
19. 本小题分
已知，，且，，求：
，的值；
的值．
20. 本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数在上的单调递增区间；
若是函数的一个零点，求实数的值及函数在上的值域．
21. 本小题分
已知函数，其中且．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性；
若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数在时有最大值和最小值，设．
求实数，的值；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集运算，一元二次不等式的解，函数的定义域问题，属于基础题．
【解答】
解：由得，，
故．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
【解答】
解：若，则，故A”是“”的充分条件；
若，则或，故A”是“”的不必要条件，
综上：“”是“”的充分不必要条件．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数、对数比较大小，属于基础题．
【解答】
解：，故，又，故．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查倍角公式化简，属于基础题．
【解答】
解：

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查由部分图象求三角函数解析式，考查两角和与差的正弦公式，属于基础题．
【解答】
解：由图可知，函数图象过点，，且是“第三点”，
于是，，结合，解得，，
设函数的周期为，则，，于是，故所以，
从而故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查奇函数和周期函数的性质，属于基础题。
【解答】
解：定义在上的奇函数满足，
，，
是以为周期的周期函数，
．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的分析，涉及函数单调性、特殊值的分析，属于中档题．
根据题意，先分析的符号，排除，再求出函数的两个特殊值，分析的单调性，排除，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，，在区间上，，，则有，函数图像在轴上方，排除；
同理：在区间上，有，函数图像在轴下方，在区间上，有，函数图像在轴上方，排除；
因为，即，所以在时不是单调递减的，排除．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的最值问题，涉及函数单调性，属于中档题．
依题意，问题转化为，然后，利用函数的单调性求出和即可求解．
【解答】
解：依题意只需，
当，单增，则，
当，，即取最小时，有，
，
，
，
．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由于函数，
令，得或，
则函数定义域为，
又在上单调递增，在上单调递减，
在定义域内单调递增，
故函数的单调递增区间是，故A错误；
由于真数能取遍所有的正数，故它的值域为，故B正确；
由于真数为二次函数，且图象关于对称，
故函数的图象关于对称，故C正确；
不等式，即 ，
，
解得或，故D正确，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
【解答】
解：对于，令，，为奇函数，
又因为是增函数，是减函数，
所以在上为增函数，符合题意；
对于，令，
则，即为偶函数，不符合题意；
对于，令，则，即为奇函数，
根据幂函数的性质知且在上为增函数，符合题意；
对于，令，则，即为偶函数，
不符合题意．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的性质，属于中档题．
由定义判断，求出函数增区间判断，根据三角函数的对称性求得的取值即可判断，求得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性判断．
【解答】
解：对于，由函数的初相定义可知，故对；
对于，，
，，
则，且，，
可得，，
又，则，可得，故B对
对于，函数关于点对称，
则，，
所以不可能为，故错；
对于，，
因为函数为偶函数，
则，，
所以不可能为，故错；
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查余弦函数的图象和性质，属于中档题。
【解答】
解：设，当时，，
作的图象如图所示：
由图可知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，故A正确，B错误；
函数在上有且仅有个零点，
当时，，
由可知，
所以在上单调递增，则函数在上单调递增，故C正确；
由图可知，解得：，故D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查指数幂运算和诱导公式，考查运算求解能力，是基础题．
利用指数运算法则及诱导公式进行化简求解．
【解答】
解：
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的化简和求值，考查诱导公式及同角三角函数的基本关系的运用，考查学生的运算能力，属于基础题．
设，则，，先将所求式子转化为关于的三角函数式，再运用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简式子，最后计算可得答案．
【解答】
解：可令，则，，
所以
．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，属于基础题．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号．

16.【答案】
【解析】
【分析】
该题考查二次函数的对称性及有关最值的求解，属于基础题型．
要使最小，与必关于对称轴对称，即可得与的关系．最大值在端点处取到，最小值在对称轴处取到，可得，联立两式即可求解．
【解答】
解：由题知二次函数的对称轴为，
要使最小，与必关于对称轴对称，
所以，．
最大值在端点处取到，最小值在对称轴处取到，
，
得，．
联立得
故答案为：．

17.【答案】解：当时，，即，
，即．
故，．
，
即，
又，故，
则，解得，
故的取值范围为．

【解析】本题考察补集运算，并集运算，含参数的集合关系的问题。
代入，再分别求解集合，进而求得和即可；
因式分解可得，再根据区间端点列不等式求解即可．
18.【答案】解：，，
得，
由，得，且，，
．
将函数图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图像向左平移个单
位长度，得到，，
当时，，
当，即时，．
【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数函数的图形变换，正弦型三角函数的最值问题，属于中档题．
19.【答案】解：由题得，
又，则有．
而，，
则有．
故
．
由，知，
从而．
【解析】本题考查三角函数化简求值，属于中档题．
由倍角公式、同角三角函数基本关系式即可求，利用即可求的值；
利用半角公式即可求解．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，
法一：令，则
，的单调增区间为，
，解得，
函数在上的单调递增区间，
法二：
，
画数轴与所有区间取交集可知：，
函数在上的单调递增区间；
是函数的一个零点，
解得：，，
，
当单调递减区间为，
，解得在区间上为减函数，
函数在上的单调递增区间，单调递减区间
，，
函数在上的值域为．
【解析】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式在求解三角函数值中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
先利用和差角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求
法一：令，可求的范围，然后结合的单调性可求，
法二：利用整体思想，令，解不等式可求的范围，进而可求
由是函数的零点代入可求，代入后结合正弦函数的性质可求函数值域．
21.【答案】解：由，得，
所以函数的定义域为：；
由知，函数定义域关于原点对称，
且
，
所以为偶函数；
由知函数为偶函数，问题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
亦即，所以即在上恒成立，
所以，故实数的取值范围是．

【解析】本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用，考查恒成立问题，考查转化思想，属中档题．
要使函数有意义，只需；
利用函数奇偶性的定义即可判断；
问题等价于在上恒成立，对不等式化简可求；
22.【答案】解： ，
所以在上的最大值为：，
最小值为：，
由联立解得．
由知，，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，所以，，在上恒成立，
所以，在上恒成立，因为，所以，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以，在上恒成立，则，
所以的取值范围是
解：方程等价于
，
即，，
令，则方程化为，，
因为方程有三个不同的实数解，
所以，画出的图像如下图所示，
所以，，有两个根、，且或，．
记，
所以，即，此时，
或得，此时无解
综上，，即实数的取值范围
【解析】本题主要考查二次函数的最值，二次不等式恒成立问题，利用方程根的个数求参问题，属于难题。
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