2023届合肥市重点中学高三数学押题卷2（含解析）

2023届合肥市重点中学高三数学押题卷4
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为和，则此时鱼塘的水深( )
A. B. C. D.
4. 非零实数，，满足，，成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6. 设数列的前项和为，点均在函数的图象上，
，则数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
7. 已知的内角、、所对的边分别为，，，若，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
8. 正方体中，，为平面内的动点，且满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某校组织了名学生参与测试，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 图中的值为
B. 估计这名学生考试成绩的众数为
C. 估计这名学生考试成绩的中位数为
D. 估计这名学生考试成绩的上四分位数约为
10. 据新华社电，记者月日从中国卫星导航系统管理办公室了解到，北斗三号全球卫星导航系统自年建成开通以来，运行连续稳定可靠，持续提供功能强大的卫星导航服务，高精度、短报文等特色服务能力已得到充分验证北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数，近似模拟其信号，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称
C. 的最小正周期是 D. 的最大值为
11. 已知函数定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数的周期为
B. 函数的周期为
C. 函数的图像关于点中心对称
D. 若，则( )
12. 已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点，且在轴右侧交于两点，轴设双曲线的左、右顶点分别为，双曲线与椭圆的离心率分别为，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 当时，
D. 若为直线上除去的点，当的外接圆面积最小时，点恰好落在或处，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知幂函数，指数函数，且，若在上的最大值为，则 ．
14. 根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为
15. 已知点的坐标为，点是抛物线的点，则使得是等腰三角形的点的个数是 ．
16. 某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的生态穹顶建筑不计厚度，长度单位：，其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求生态穹顶建筑的容积为 ，且其中为圆柱的高，为半球的半径，假设该生态穹顶建筑的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当__ 时该生态穹顶建筑的总建造费用最少公式：，
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和为，且___请在；是公差为的等差数列；是公比为的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
求的通项公式
在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列的前项和证明：
18. 本小题分
已知平面向量，，记，
对于，不等式其中恒成立，求的最大值．
若的内角，，所对的边分别为，，，且，，，成等比数列，求的值．
19. 本小题分
在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测，为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上的产品进行检测，每次检测要从该产品的生产线上随机抽取件测量其关键指标数据．根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．
下面是检验员在一次抽取的件产品的关键指标数据：
经计算得，，其中为抽取的第件产品的关键指标数据，，，，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查．
如果某一天内进行了四次检测，若出现两次以上含两次生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修．试求该天需对生产设备进行检修的概率精确到．
附：若随机变量服从正态分布，则，，，，
20. 本小题分
如图，棱长为的正方体中， 为线段 上动点．
证明：平面；
当直线与平面所成的角正弦值为时，求点到平面的距离．
21. 本小题分
已知点为线段上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为．
求证：直线过定点；
若存在点，使得，求的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的极值点；
若是方程的两个不同的正实根，证明：
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合运算，属于基础题．
【解答】
解：集合，，则

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的运算，以及复数虚部的概念，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对化简，再结合复数虚部的概念，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
的虚部为

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了台体的体积公式，属于基础题．
根据棱台的体积公式可由体积直接计算出水深．
【解答】
解：由于台体的体积，
则 ．
故此时水深为．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的求解，注意等差数列性质的使用，属于中档题．
【解答】
解：，，成等差数列，则有，则有，
则，
，当且仅当时取等号．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题．
根据题意，令，，对求导分析可得在递增，原问题转化为，根据函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】
解：根据题意，令，，故，
而，故时，，单调递增，
，即，
则有，则有，
解得，
故不等式的解集为．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式，裂项法求和，属于中档题．
【解答】
解：由已知得，故
当时，，解得，
故是以为首项，为公比的等比数列，，
，


7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
【解答】
解：
将代入得
又由余弦定理知
由得，
其中为锐角且
当且仅当时等号成立
即，得
得
，，即外接圆的半径为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体中的动点轨迹问题，考查向量与椭圆的综合应用，属于较难题．
【解答】
解：取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，则，
在平面内，，
所以点的轨迹是在坐标平面内，以点为焦点，且长轴长为的椭圆，
则，，，所以点的轨迹方程为，，
，
当时， ．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了频率分布直方图、众数、中位数、百分位数，属于基础题．
对于，根据频率之和为计算即可；对于，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于，根据百位分数的估算方法求解即可．
【解答】
解：根据频率和等于得：，
，故 A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为，则估计众数也为，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：，，，，，
上四分位数在内，设第百分位数约为，则：，
得，故D正确．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的周期性、对称性、奇偶性以及最值的问题，复合函数的导数，属于中档题．
【解答】
解：对于选项，函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，故正确；
对于选项，，
即，
又为偶函数，故，
故函数的图象关于点对称，即正确；
对于选项，，
所以对于函数定义域中任意一个自变量，不恒成立，
因此其最小正周期不是，故错误；
对于选项，
，
当，，，，同时取最小值时，取最大值，
当时，，则，
即，不能同时取最小值，故取不到最大值，即D错误．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的分析，属于中档题．
根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，得出函数的周期性和对称性，综合即可得答案．
【解答】
解：因为为偶函数，
所以，
则，
因为为奇函数，
所以，
则，，
所以，
则，，
函数的周期为，故错误，正确；
因为，
所以函数的图象关于点中心对称，
函数的周期为，所以函数的图象关于点中心对称，故正确；
若，，令，则，
因为，令，，
因为，令，则，
所以所以
，故D正确．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的离心率问题，属于较难题．
【解答】
解：对于选项：由为双曲线与椭圆的公共点可知
，
轴
，即，
，故正确；
对于选项：，当时，，故错误；
对于选项：，，
故，故正确；
对于选项：由题知直线的方程为，设点，点的坐标为，
当的外接圆面积取最小值时，取到最大值，
由，可得
，
当且仅当即时，取最大值，即取最大值，
，，故，
，故，
，故正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数和指数函数求值，属于基础题．
【解答】
解：由题知，，且，则在上单调递增，故，
则，，
．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率和全概率公式的应用，属中档题．
确定失踪的飞机后来被找到和未被找到的概率，以及被找到的飞机中装有紧急定位传送器的概率和未被找到装有紧急定位传送器的概率，由全概率公式变形后计算装有紧急定位传送器的失踪飞机被找到的概率．
【解答】
解：设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，
事件“安装有紧急定位传送器”，
则，，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：
，
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．
【解答】
解：若，则为直线与抛物线的交点，此时满足条件的点有个；
若，则为以为圆心，为半径的圆与抛物线的交点，即圆与抛物线的交点，此时满足条件的点有个；
若，则为以为圆心，为半径的圆与抛物线的交点，即圆与抛物线的交点，联立方程组可得，故两条曲线除原点外无其它交点，此时满足条件的点有个．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了组合体的表面积和体积，以及导数在实际问题中的应用，属于难题．
根据题意确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时的值．
【解答】
解：设该建筑的容积为，由题意，知，
又，故
由于，因此，
设建筑的总建造费用为万元，则，
于是，
由于，所以，
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，建筑的总建造费用取最小值．

17.【答案】解：若选：当时，，所以，
故因为
所以，则，
累加得故，
当时，满足，故．
若选，数列是公差为的等差数列，首项为，
故，则，
两式相减得，则，累加得，
当时，满足，故．
若选，数列是公比为的等比数列，首项为，
故，则，
累加得故，
当时，满足，故．
由于，所以
所以，
故，
，得
，
即．
【解析】本题考查求数列的通项公式，错位相减法求和，考查数列与不等式问题，属于中档题．
18.【答案】解：由，，
得
又，则，故，
，故，，
则的最大值为
又，得，
因为，，成等比数列，所以
由正弦定理，得
又
故
【解析】本题考查平面向量的数量积，三角函数的恒成立问题，三角恒等变换的综合应用，及利用正弦定理解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：由，得的估计值为的估计值为，
则为 ，
由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据在之外，
因此需对本次的生产过程进行检查．
设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，关键指标数据在之外的个数，
则；
由题意，需要对生产设备进行检修的概率为
，
故一天中需对生产设备进行检修的概率为．
【解析】本题考查了正态分布性质与次独立重复实验的概率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由可得：，，由数据看出在之外，即可判断出结论．
求出在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查的概率；即可求解
20.【答案】解：由正方体中可知，，，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
又平面，平面，且，
平面平面，
又平面，
平面
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系
如图所示：
则，，，，，，
可得，，，
设，，
可得，则，
又设平面的一个法向量为，
则，即，取，可得，
又设直线与平面所成的角为，
则，，即，
解，即点为的中点，
设当点为的中点时，点到平面的距离为，
由，得
，即点到平面的距离为．
【解析】本题考查点到面的距离、直线与平面所成角、线面平行的判定，属于中档题．
21.【答案】解：设，直线的方程为：，过点的切线，即直线的方程为：，则；
过点的切线，即直线的方程为：，则；
则直线与直线的交点坐标为：，故，
联立得，
，故，
故直线过定点；
由知，点，则，
故，
，
所以点，则点在曲线上，
故曲线与线段有公共点，
则，即．
综上所述：．

【解析】本题考查抛物线中的定点问题，面积问题，属于较难题．
22.【答案】解：由题可知即可知定义域为．．
令即则．
当即时，恒成立，
则可得函数在上单调递增，无极值点；
当即时，
方程的根为：．
则可知时，，即函数单调递增；
时，，即函数单调递减；
时，，即函数单调递增；
所以函数的极大值点为，极小值点为．
方程即．
令．．
在上单调递减，在上单调递增．
又因为函数有两个零点，所以，即，解得．
且，两式相减可得：．
由题可知两根都为正实数且设．
所以．
要证
只需证明：，
只需证明．
只需证明．
只需证明．
记，
则．
在上单调递减，．
，即证
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值点，利用分析法证明不等式成立等，属于较难题．
利用导数研究函数的单调性，注意对判别式以及的取值分类讨论求得极值点；
利用函数与方程的关系即零点与方程的根的关系，构造函数、利用分析法等证明不等式成立．
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