2023届合肥市重点中学高三数学押题卷4（含解析）

2023届合肥市重点中学高三数学押题卷4
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合， 则集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知数列是等差数列，且则( )
A. B. C. D.
4. 已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 一圆台的下底面周长是上底面周长的倍，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7. 已知点为抛物线上一动点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为周髀算经作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的不等腰三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，已知与的面积比为：，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 中国空空导弹研究院，是国家专业从事空空导弹、发射装置、地面检测设备和机载光电设备及其派生型产品研制开发及批量生产的研究发展基地，面对着各国军事战略调整和新一轮军备竞赛，研究院研发了一款新零件，若这批零件的质量指标单位：毫米服从正态分，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，若，则该批零件不合格，则( )
A. B.
C. D. 该批零件合格
10. 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数的导函数，若，对，，且，总有，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声如图所示已知某噪声的声波曲线，已知其振幅为，且经过点，则下列说法正确的是( )
A. 噪声声波曲线的解析式
B. 降噪声波曲线的解析式
C. 函数在上单调递增
D. 为定值
12. 已知双曲线的左、右顶点为，左、右焦点为，过右焦点作一条直线交的右支于两点，为左支上异于顶点的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 直线被曲线的两条渐近线截得的线段长度为焦点到渐近线的距离
B. 当关于的对称点在上时，双曲线的离心率为
C. 若以为直径的圆过点，则双曲线的渐近线方程为
D. 当时，双曲线的方程为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 用，，，，组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的展开式中，的系数是 用数字作答
14. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 ．
15. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为
16. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图所示，蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体下底面开口，如图所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示则蜂房曲顶空间的弯曲度为 ，若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，其顶点的曲率的余弦值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列满足：，数列为正项数列，，且对，都有
求数列的通项公式；
令，求数列前项和．
18. 本小题分
已知向量，，，若函数为奇函数，
求的值．
若关于的不等式在内恒成立，求实数的取值范围．
19. 本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动不与端点重合，
证明：平面平面；
是否存在正实数，使得平面 与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取年之前实现碳中和简称“双碳目标”，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为．
求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
该机构还调查了该地区位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性
女性
总计
能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式；
线性回归方程：，其中，；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强；
，其中．
附表：
21. 本小题分
已知椭圆的右焦点为，过作不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点，垂直于轴于点，垂直于轴于点，直线与相交于点．
当直线的斜率为时，求；
求动点的轨迹方程．
22. 本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最小值
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的子集个数，属于基础题求出集合的元素的个数，进而得出答案．
【解答】
解：解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查共轭复数，复数的四则运算，属于基础题设，代入方程计算可以求出的虚部．
【解答】
解：设，则，
由题意，
可得，
则
故的虚部为

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．
【解答】
解：设，等差数列的公差为，
其中
，
，故

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
由题意，则，即可得出答案．
【解答】
解：由图，
因为，故，
可得，
则

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆台的结构特征，侧面积、表面积和体积等知识，考查运算求解能力，属于基础题．
根据圆台侧面积计算公式求出底面半径，再结合圆台的结构特征求出圆台的高即可求出圆台的体积．
【解答】
解：设上底面半径为，则下底面半径为，
因为母线长为，圆台的侧面积为，
所以，
解得，
即圆台的高为，
则圆台的体积为： ．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查图象的识别，属于中档题．
利用导数可求得在和上的单调性，由此可排除错误选项．
【解答】
解：当时，，则，
在上单调递增，故错误；
当时，，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，错误，正确．
故选．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，属于中档题．
【解答】
解：根据抛物线的对称性，不妨设，
则，
故，
设，则，
令，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
故的最大值为．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理解三角形，属于中档题．
【解答】
解：设的面积为，则的面积为，故，
设，，则，
为等边三角形，，，
在中，，
在中，，
由得，，化简得，
，，即，
在中，设，则
由正弦定理得，
即，即，即，
所以，解得，即．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布、二项分布的均值与方差、次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
【解答】
解：由正态分布的性质得，故正确；
则件产品的质量指标值不位于区间的概率为，
所以，故，故错误；
，故正确；
，所以该批零件不合格，故错误．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，及利用对数函数的性质比较大小，属于中档题．
【解答】
解：，，恒有，
不妨令，则在上单调递增，则，故正确；
又，所以，故正确；
又，
又，即，故，
又，即，故
故，故正确，错误．或者利用的图象判断选项．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的图象和性质应用问题，根据图象求出函数的解析式是解题的关键，是中档题．
【解答】
解：由振幅为，可得，且经过点，所以，
因为，所以，所以解析式为，故A正确；
由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，
可得，故B错误；
令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当，得函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，故C错误；
而
．所以，为定值，故D正确．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线标准方程、离心率、渐近线方程，直线与双曲线位置关系的综合应用，属于较难题．
【解答】
解：对于：直线被曲线的两条渐近线截得的线段长度为，
焦点到渐近线的距离，故错误；
对于：设关于的对称点为，交于点，
则，则，故，即，
故，故正确；
对于：设直线的方程为，，
联立，得
故
则
，
故，所以，
故，所以双曲线的渐近线方程为，故正确；
对于：不妨令点在轴上方，设，
当时，，则，
故，所以，
当时，则，
故，则，
故，所以，
综上：双曲线的方程为，故正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了排列组合的综合应用、二项展开式的指定项系数以及组合数公式的应用，属于中档题．
【解答】
解：用，，，，组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有：个，
则，
其展开式中，的系数为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求点的轨迹方程，圆和圆的位置关系，属于中档题．
【解答】
解：设，则，
，
故，即，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
则该圆与圆有公共点，
所以，则或．
故答案为： ．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数公切线问题，属于中档题．
设切点坐标，利用导数在切点处的导数为切线的斜率，切点既在切线上，又在曲线上，列方程组即可得解．
【解答】
解：设直线与曲线，分别切于点，，
又因为，，
所以，，
即，，
所以
由，所以，
所以，即，所以，
当时，，此时，不满足题意；
当时，，此时，所以．

16.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了空间几何体的表面积问题，中间涉及了新定义问题，考查了学生空间想象能力、分析问题解决问题的能力，对学生要求较高，属于难题．
根据蜂房曲顶空间的弯曲度的定义求解即可；
根据图形结构，设，将蜂房面积表示成关于的函数，由导数判断函数取得极小值时的值，进而求得的大小，最后求解顶点的曲率的余弦值即可．
【解答】
解：蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的个顶点的曲率之和，根据定义，其度量值等于减去三个菱形的内角和，再减去个直角梯形中的两个非直角内角和，
故蜂房曲顶空间的弯曲度为．
设底面正六边形的边长为，
如图所示，连接，，则，设点在平面的射影为，则，
令，则，
菱形的面积，的面积为，令正六棱柱的侧面积为定值时，蜂房的表面积为，
则，
令，解得，可知函数在处取得极小值，
此时，
在中，令，由余弦定理可得，
顶点的曲率为，
其余弦值为．

17.【答案】解：，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，，
由得
数列是首项为，公比为的等比数列，
故
由得
．

【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，裂项相消法求和以及递推求通项，属于中档题．
18.【答案】解：
函数为奇函数，则，得
又
在内恒成立，
即在内恒成立，
令
，则，得，即，
且有
得，
函数在上单调递增，故当时取得最小值，
即，得，
实数的取值范围是

【解析】本题考查平面向量的数量积，三角恒等变换的综合应用，同角三角函数基本关系式，三角函数的图象与性质，属于中档题．
19.【答案】 解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
，
，
则，，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
可知平面的一个法向量为，
设又，则，得，
则，
设平面 的一个法向量为，
则，即，取，，，
即，
于是，解得或，
即存在正实数，使得平面 与平面夹角的余弦值为
【解析】本题考查了面面垂直的判定，求两个平面所成角，属于中档题．
建立空间直角坐标系，先证明平面，从而证明平面平面；
利用空间向量得平面的一个法向量，平面 的一个法向量，利用公式建立方程即可得解．
20.【答案】解：相关系数为
，
所以，故与线性相关较强．
零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关．
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为，，，，，故
，，，
，，
故的分布列为：

．

【解析】本题考查相关系数，独立性检验，超几何分布，属于中档题．
21.【答案】解：由题知直线的方程为：，设，
则
联立，得，
故，
所以，
又原点到直线的距离为，
故；
设直线的方程为：，
联立，得，
故，
又直线的方程为，直线的方程为
联立，得，
所以点的轨迹方程为．

【解析】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，求动点的轨迹问题，属于较难题．
22.【答案】解： ， ， 令 ，则 ，
当，，当 ， ．
在上单调递减，在上单调递增；
所以


设
即 恒成立，
当时，当 时，设，，
所以 在 单调递增，且 ，
故存在，当时，，
所以在上单调递减，
又，故当时，，即
所以舍去；
当 时，
(ⅰ)若 ，则 ，
设，则，
故在上单调递增，所以当时，，即．
所以 恒成立，即成立，符合题意．
(ⅱ)当 时，，
设 ，则单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一 使得，
当 时， ，当 ，，
故在上单调递减，在上单调递增，
，，
又 ，
故存在唯一 ，使
故 ， ， ， ，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又 ， ，
所以 时， ，故在上单调递增，
当 时， ，即 恒成立．
综上，．

【解析】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立的条件，属于难题．
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