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专题08 三角函数
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，即可求得的值.
【详解】因为，
由题意可得，解得，
因此，.
故选：B.
2．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.
【详解】因为，
，
，
因为，
所以．
故选：B.
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆的半径为，由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，
由内接正边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：.
故选：A.
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简，根据三角函数图象的平移变换可得的表达式，结合其性质，求得的表达式，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，由于的图象关于y轴对称，
则为偶函数，故,即，
故的最小值为，
故选：B
5．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
所得函数图象的解析式为，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是.
令，则，当时，.
故选：C
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【分析】先把三角函数化简为（）形式，最小正周期，再根据三角函数有界性求最小值即可.
【详解】，则的最小正周期，
当，即时，取到最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.
7．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，得到，数形结合得到，求出答案.
【详解】因为，，
所以，
画出的图象，
要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，
解得.
故选：A
8．（2023·四川自贡·统考三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中十个顶点的横、纵坐标均为整数．函数的图象最多能经过（ ）个顶点．
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据图像，列出各点坐标，根据函数定义判断最多过五个点，然后，根据函数图象求函数的解析式，进行验证求解.
【详解】
如图，各点的横 纵坐标均为整数，因此，
,,，
函数的最大值为，最小值为，
所以，根据函数的定义，可知函数经过的顶点数最多时，为五个点，
且当时，只有点，所以经过的顶点数最多时一定过这个点.
下面验证是否能过五个点，
由于函数的图象是一个轴对称图形，且是中心对称图形，
根据题干中对应的整数点坐标的对称情况可知，不妨设，经过五个点时，有如下情况：
函数的图象经过五个点，如图，
可知，所以，周期为4，所以，
当时，，得，
函数解析式为；
故选：B
9．（2023·浙江·二模）函数在区间的最小值（ ）
A．与有关，与有关 B．与有关，与无关
C．与无关，与有关 D．与无关，与无关
【答案】B
【分析】根据函数周期判断区间超过一个周期可得与最值的关系.
【详解】函数得到,区间长度超过一个周期,
函数在区间的最小值,与有关，与无关.
故选:B.
10．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】在圆锥中，，，易知，
由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则，
所以，，则，
圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
因为是母线上一点，，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，且，
所以，，
所以，，
故该圆锥曲线的离心率为.
故选：D.
11．（2023·江西赣州·统考二模）若函数在上单调，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合三角函数的性质分析可得，对称轴为，对称中心为，运算求解即可.
【详解】函数在上单调，则，可得，
因为，且，
所以的对称轴为，
又因为，且在上单调，
所以的对称中心为，即，
注意到对称轴为与对称中心相邻，可得，
则，且，解得，
因为的对称轴为，则，
解得，
且，取，则.
故选：D.
12．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．
【详解】由图像知有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，
A中函数满足为偶函数，
D中函数满足为奇函数，
而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．
故选：D．
13．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得，化简计算可得的值，从而得到结果.
【详解】设扇形的圆心角，所在圆的半径为，所以，
又，所以，即，
因为，所以，
所以，故扇形的面积为.
故选:A.
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，二面角的大小为，已知A、B是l上的两个定点，且，，，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意：点H的轨迹是以点B为球心，以为半径的球与以AB为轴，母线AH与轴AB成60°的圆锥侧面交线的一部分，该部分是圆心角为的弧长，只要求出半径即可.
【详解】如图所示：
因为AB与平面BCD所成的角为，且点A在平面BCD上的射影H，，
所以，
所以点H在以点B为球心，以为半径的球面上，
又点H在以AB为轴，以AH为母线的圆锥的侧面上，
所以点H的轨迹为以点B为球心，以为半径的球与以AB为轴，
母线AH与轴AB成的圆锥侧面交线的一部分，
即图中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，
因为二面角α﹣1﹣β的平面角的大小为，
所以，
又，
所以点H的轨迹的长度等于，
故选：D.
15．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件先求出的值，得到函数的解析式，根据函数的性质求出极值点即可.
【详解】因为的一条对称轴为，
所以，①，
又的一个对称中心为，
所以②，
①-②得，
所以，
因为，所以取最小整数值为3.
当时，由②得，
因为，所以，
所以.
由得的极值点为,
当时，极值点在内.
故选：B.
16．（2023·广东广州·统考二模）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.
【详解】因为恒成立，
所以，即，
所以或，
所以或，
当时，
，
则，与题意矛盾，
当时，
，
符合题意，
所以，
所以，
令，得，
所以的单调递增区间为（）.
故选：D.
17．（2023·广东佛山·统考二模）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由范围可求出整体的范围，结合的图象，根据对称性即可求出的值.
【详解】
解：令，因为，， ，
所以，， ，，
因为，
结合的图象（如图所示），
得到，或，,
因为，
所以，，
则解得，此时，，，满足题意，
或解得，不符合题意舍去.
故选：.
18．（2023·浙江金华·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量数量积的坐标公式结合同角三角函数的基本关系化简即可.
【详解】，从而，
于是，
从而
．
故选：A
19．（2023·河北邯郸·统考二模）已知函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数的极值点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出变换后的函数解析式，再利用余弦函数的性质求出，进而求出极值点作答.
【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位长度得的图象，
依题意，，而，则，因此，
由得：，
所以函数的极值点为.
故选：B
20．（2023·湖北·统考二模）已知，则（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可.
【详解】由，
所以，则，
所以，则，故，
由.
故选：C
21．（2023·湖南常德·二模）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式结合三角函数的平移即可.
【详解】，
将函数的图象向右平移个单位：；
故选：C
22．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，根据，求得，然后根据在时取得最大值，求得的值．
【详解】由题意可知，
当取最小值时，最小正周期最大，，
所以，
而在时取得最大值，故，
则，又，所以．
故选：D.
23．（2023·湖北·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将题中式子平方即可求出，先计算出的值，再根据同角三角函数关系计算出的值，最后根据公式求出，得出结果.
【详解】因为，
所以．
又，
所以，故
．
所以．
故选：D.
24．（2023·安徽合肥·校联考三模）将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写出的表达式，再由对称性求得，从而可得最小值．
【详解】，将函数图像向左平行移动个单位后的函数记为，则，而函数的图像关于轴对称有，，，()，，实数的最小值为．
故选：C．
25．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得函数在时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算的值.
【详解】因为满足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因为，，
所以，所以，，
，
因为，所以.
故选：D.
二、多选题
26．（2023·辽宁·校联考二模）函数的部分图像如图所示，，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．将的图像右移个单位所得函数为奇函数
D．的单调递增区间
【答案】BC
【分析】根据图象得到最小正周期，得到，由结合的范围求出，由求出，判断AB选项，由左加右减得到平移后的解析式，结合函数奇偶性得到C正确；由整体法得到函数的单调递增区间.
【详解】根据图象可得，解得，
因为，所以，解得，
，
因为，所以，
因为，所以，
故，解得，
故，
所以，解得，
A错误，B正确；
C选项，，将的图像右移个单位得到，定义域为R，
因为，
所以将的图像右移个单位所得函数为奇函数，C正确；
D选项，，解得，
故的单调递增区间，D错误.
故选：BC
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意得，
.
A：当时，，又，
所以是函数的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；
C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；
D：，所以，故D正确.
故选：ACD．
28．（2023·浙江·统考二模）已知函数是的导函数，则（ ）
A．与的周期相同
B．与的值域相同
C．可能是奇函数
D．的最大值是
【答案】AC
【分析】求导得出，利用三角函数性质直接判断AB，再利用辅助角公式及正弦函数性质判断C，结合二倍角公式判断D．
【详解】由题意，
因此和的最小正周期都是，A正确；
值域是，而的值域是，时，两者不相同，B错；
，（其中，，为锐角），
，当，即时，是奇函数，C正确；
，最大值是，D错．
故选：AC．
29．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足，函数在上单调，对于，（等号可以取到），则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．不等式的解集为
D．将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将其向左平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】BCD
【分析】根据题意确定函数图象的对称轴、对称中心及函数的周期，结合恒成立的不等式求出的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】对A，函数满足，由得图象的一条对称轴为，
由得图象的一个对称中心，
依题意，直线与点是函数图象的相邻对称轴与对称中心，由得：
，即函数的周期为，且，
因此是函数的最小正周期，则，，而，
于是，又，，
依题意，，解得，从而，A错误；
对B，由，解得，
即函数的递增区间是，B正确；
对C，由，得，则，
解得，因此的解集是，C正确；
对D，将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得的图象，
然后将所得图象向左平移个单位长度得，D正确.
故选：BCD
30．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据的最小正周期可判断A；根据，确定，结合正弦函数单调性可判断B；根据时，，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.
【详解】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：
对于选项B，函数 的最小正周期为，
当，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；
对于C，函数最小正周期为，
当时，，因为在上单调道减，
所以在上单调递减，故选项C错误
对于选项D，作出函数的大致图像如图：
函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确
故选：BD
31．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．在区间上单调递增
【答案】BD
【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出，判断A项；根据“五点法”，结合函数过点，即可得出的值；写出，代入即可检验C项；求出整体的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出D项.
【详解】对于A项，由已知图象可得，所以，，故A项错误；
对于B项，由已知图象过点，由“五点法”可得，，
所以，.
因为，所以，故B项正确；
对于C项，由A、B可知，，
因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误；
对于D项，因为，所以.
又函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D项正确.
故选：BD．
32．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
【答案】ABD
【分析】由题意，的最大值为，最小值为，即可求出，再根据函数的周期即可求出，根据时，，利用待定系数法即可求出，解正弦不等式即可判断D.
【详解】由题意，的最大值为，最小值为，
则，
所以，故A正确；
由旋转一周需要60s，得函数的周期，所以，故B正确；
故，
当时，，
则，所以，故C错误；
由，得，
因为，所以，
由，得，
令，得，
所以，故，
所以离水面的距离不小于3.7m的时长为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
33．（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则________．
【答案】2
【分析】根据齐次式法运算求解即可.
【详解】因为，
整理得，解得或，
又因为为锐角，则，所以.
故答案为：2.
34．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.
【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则，，，，，，
则，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故，即.
故答案为:
35．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________．
【答案】
【分析】球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论，画出图形，由球与侧面的交线长为，结合弧长公式去掉不合要求的情况，求出交线长.
【详解】因为底面ABC是等腰直角三角形，且，所以，
故点C到AB的距离为．
球的半径大小影响球与三棱柱的上底面是否存在交线，故需根据三棱柱的高为分界点对球的半径进行分类讨论．
①若，如图①所示，
设球C与，AC分别交于点D，E，
则球C与侧面的交线长为，则，
即，此时所对的弦长为，不满足题意；
②若，如图②所示，
设球C与，AC分别交于点M，N，则，所以，
所以球C与侧面的交线长为，解得，满足题意．
则球C与侧面的交线长为，与底面ABC的交线长为，
在中，，
所以球C与平面的交线长为，
所以球C与三棱柱的交线长为．
故答案为：.
36．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．
【答案】
【分析】由已知可判断点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.先求解当点在平面内时，可推得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.然后根据扇形的弧长公式，即可得出当点在平面内时，点P的轨迹长度是，进而得出答案.
【详解】因为，所以点可能在平面内，可能在平面内，可能在平面内.
当点在平面内时，
由平面，平面，可知，
所以，所以，
所以点到的距离为，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆与正方形边界及其内部的交线.
如上图，，，
则的长，
所以，当点在平面内时，点P的轨迹长度是.
同理可得，当点在平面内时，点P的轨迹长度也是.
当点在平面时，点P的轨迹长度也是.
综上所述，点P的轨迹长度为.
故答案为：.
37．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】以点为起点作向量，，，则，，，由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，然后结合正弦定理与三角函数求解即可.
【详解】如图：
以点为起点作向量，，，
则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，
设，则，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
则的取值范围是
故答案为：
38．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________.
【答案】18
【分析】根据正弦型函数 的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与的关系，对称轴对称点的特点求解.
【详解】由于 ，则的图像关于直线 对称，
则 …①，
）…②，
①-②得， ，令，
则 ，
的最小正周期，
在区间上单调，
， ，解得，
当时，，则②式为，
又，此时 ，
当 时， ， 此时不单调，不符合题意，舍去；
当时，，则②式为 ，又 ，当
时，，当时， ，
此时 ，当 时， ，
此时单调，符合题意，
故答案为：18.
四、解答题
39．（2023·上海金山·统考二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
(1)求直线与所成的角的大小；
(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可知所求角为，由长度关系可得结果；
（2）作，由面面垂直性质可知所求距离为，利用面积桥可求得结果.
【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；
直线与所成角即为，
平面，，
在中，，，
即直线与所成角的大小为.
（2）作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，点到平面的距离即为的长，
由（1）知：，，
，即，
点到平面的距离为.
40．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为；单调递减区间为.
(2)
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，用周期公式求周期，整体代入法求函数单调区间；
（2）由区间内函数的单调性和函数值的变化范围求解实数的取值范围．
【详解】（1），
则函数的最小正周期；
令，解得 ，
可得函数的单调递增区间为·
令 ，解得 ，
可得因数的单调递减区间为 ；
（2）由（1）可知，时，在上单调递增，在上单调递减，
当，，由增大到1，
当，，由1减小到，
若关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
41．（2023·广东佛山·统考二模）已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换可得，再利用三角函数的性质结合条件即得；
（2）利用正弦定理结合条件可得，然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，，
所以，
所以，即，又，，
所以，即；
（2）因为，所以，又，
可得，
在中，，
所以，
在中，，
因为为锐角三角形，
所以，得，
所以，
所以，即的取值范围为.
42．（2023·辽宁大连·统考一模）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为的面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，_______________．
(1)求角；
(2)若为边的中点，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；
选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；
选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解.
（2）在中，设，由正弦定理可得，，进而得到，进而求解.
【详解】（1）选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以．
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
选③，因为，由正弦定理得：，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）在中，设，
由正弦定理得，
所以，，
∴，其中，
当时取等号，所以的最大值是．
43．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知函数（其中，，均为常数，，，）．在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
0
0
(1)求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；
(2)已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值．
【答案】(1)，单调递增区间为，.
(2)，
【分析】（1）依题意可得，即可求出，，再读出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质求出单调递增区间；
（2）首先得到的解析式并利用诱导公式化简，再令、分别求出相应的取值，依题意不妨令，求出的最值，即可得解.
【详解】（1）依题意，解得，又，
所以，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
令，则，，解得，，
令，则或，，
解得或，，
因为当函数的定义域为（）时，其值域为，
不妨令，则，此时，，此时.
44．（2023·上海松江·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点．
(1)证明：平面ACM
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过中位线性质得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面；
（2）取中点,连接,，利用线面垂直的性质得平面，从而将题目转化为求的大小，再利用勾股定理求出，则得到，最后利用反三角即可表示出角的大小.
【详解】（1）连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，
所以为的中点，
又为的中点,所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）取中点,连接,，
因为为的中点,所以,且,
由平面，得平面，
所以是直线与平面所成的角.
因为底面为平行四边形，且，，
所以，则，
在Rt中,,所以,从而，
因为平面,平面,，
所以在Rt中，，，
所以直线与平面所成角大小为.
45．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量，，．
(1)求函数的最大值及相应的值；
(2)在中，角A为锐角，且，，，求边的长．
【答案】(1)最大值，此时，；
(2)
【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数的解析式，再由正弦函数的性质求解；
（2）由（1）求出角的值，再利用正弦定理求出边的长作答.
【详解】（1）依题意，
当，即时，取最大值.
（2）由（1）及得：，即，
因，则，因此，，则，
而，有，
在中，由正弦定理得，，
所以边的长为.
46．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.
(1)求的值：
(2)在边AB上取一点D，使得，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出；
（2）根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值.
【详解】（1）由已知在中，，，.
由余弦定理，
可得，
所以.
在中,由正弦定理
得：，
解得：；
（2）由于，，
所以，
在中由（1）知，所以，
所以，又，
所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
47．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.
【详解】（1）由题意知.
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
由角，所以.
（2）由（1）知，所以，，
因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
所以，
因为为锐角三角形，且，则有，得，所以，
由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，
所以的最大值为.
48．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；
（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）振幅为，周期，初相位；
（2）；
（3）；
【分析】（1）利用辅助角公式化简，即可得到振幅、周期和初相位；
（2）求导，令，求出导函数的零点，利用三角函数的单调性判断导函数的正负，进而分析出的单调，列表分析出有唯一的极大值点的情况，即可得到实数m的取值范围；
（3）求导，并对a分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间的正负，即可判断是否为严格增函数，进而得到实数a的取值范围.
【详解】解：（1），
所以振幅为，周期，初相位；
（2），
令，得, ，列表，
x
0 0 0
y 极大值 极小值 极大值
函数在区间上有唯一的极大值点时，，
即实数m的取值范围为.
（3），
当时，
因为，所以，
进而，
此时，在区间上是严格增函数；
当时，，不是严格增函数；
当时，设，则，
进而，，
此时，在区间上是严格减函数；
综上，若函数在区间上是严格增函数，则，
即实数a的取值范围.
【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
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专题08 三角函数
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川自贡·统考三模）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，边长为4的七巧板左下角为坐标原点，其中十个顶点的横、纵坐标均为整数．函数的图象最多能经过（ ）个顶点．
A．3 B．5 C．7 D．9
9．（2023·浙江·二模）函数在区间的最小值（ ）
A．与有关，与有关 B．与有关，与无关
C．与无关，与有关 D．与无关，与无关
10．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西赣州·统考二模）若函数在上单调，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广东·统考模拟预测）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》是数学的瑰宝，世人惊叹祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面积）的计算方法：“以径乘周，四而一”（意思是说直径与弧长乘积的四分之一），已知扇形的圆心角为，弧长为，且，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，二面角的大小为，已知A、B是l上的两个定点，且，，，AB与平面BCD所成的角为，若点A在平面BCD内的射影H在的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．（2023·广东广州·统考二模）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
17．（2023·广东佛山·统考二模）已知函数，若存在，，，且，使，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·浙江金华·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河北邯郸·统考二模）已知函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数的极值点为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·湖北·统考二模）已知，则（ ）
A． B．－1 C． D．
21．（2023·湖南常德·二模）已知函数，，将函数的图象经过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
22．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·湖北·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·安徽合肥·校联考三模）将函数的图像向左平移个单位后的函数图像关于轴对称，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数满足，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
26．（2023·辽宁·校联考二模）函数的部分图像如图所示，，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．将的图像右移个单位所得函数为奇函数
D．的单调递增区间
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
28．（2023·浙江·统考二模）已知函数是的导函数，则（ ）
A．与的周期相同
B．与的值域相同
C．可能是奇函数
D．的最大值是
29．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数满足，函数在上单调，对于，（等号可以取到），则下列结论中正确的有（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．不等式的解集为
D．将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将其向左平移个单位长度，得到函数的图象
30．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象关于点对称
D．在区间上单调递增
32．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d（单位：m）（在水面下则d为负数）与时间t（单位：s）之间的关系为，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．离水面的距离不小于3.7m的时长为20s
三、填空题
33．（2023·江西赣州·统考二模）已知为锐角，满足，则________．
34．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是______.
35．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）直三棱柱的底面ABC是等腰直角三角形，．若以点C为球心，r（）为半径的球与侧面的交线长为，且所对的弦长为r，则球C与三棱柱的交线长为_________．
36．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知正方体的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且，则点P的轨迹长度是________．
37．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
38．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为_________.
四、解答题
39．（2023·上海金山·统考二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
(1)求直线与所成的角的大小；
(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.
40．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
41．（2023·广东佛山·统考二模）已知为锐角三角形，且．
(1)若，求；
(2)已知点在边上，且，求的取值范围．
42．（2023·辽宁大连·统考一模）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中为的面积，②，③．
在中，角，，对应边分别为，，，_______________．
(1)求角；
(2)若为边的中点，，求的最大值．
43．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知函数（其中，，均为常数，，，）．在用五点法作出函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表所示：
0
0
(1)求函数的解析式，并直接写出函数的单调递增区间；
(2)已知函数满足，若当函数的定义域为（）时，其值域为，求的最大值与最小值．
44．（2023·上海松江·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点．
(1)证明：平面ACM
(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
45．（2023·上海嘉定·统考二模）已知向量，，．
(1)求函数的最大值及相应的值；
(2)在中，角A为锐角，且，，，求边的长．
46．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，.
(1)求的值：
(2)在边AB上取一点D，使得，求的值.
47．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值
48．（2023·上海长宁·统考二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；
（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围．
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