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专题13 等比数列
一、单选题
1．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和 面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在正数，使得恒成立 D．
2．（2023·河南·校联考三模）已知等比数列满足，，则的公比（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2023·四川泸州·统考三模）已知数列满足，，则此数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．1458 B．1460 C．2184 D．2186
6．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）如图是一算法的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西玉林·统考二模）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
10．（2023·江苏·统考二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．（2023·海南海口·校联考模拟预测）在正项等比数列中，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
12．（2023·北京东城·统考二模）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
14．（2023·河南·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河南·校联考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，存在两项，使得，且则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
16．（2023·江西·校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·四川遂宁·统考三模）已知数列为等比数列，，是方程的两个根，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．或 B． C．18 D．2
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和，满足，则（ ）
A．16 B．32 C．81 D．243
19．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·模拟预测）设为正项等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
22．（2023·河北张家口·统考一模）宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）
A．0 B．2 C．-3 D．3
24．（2023·山西运城·统考二模）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2023
25．（2023·湖北·校联考模拟预测）为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ）
A．325万元 B．581万元 C．721万元 D．980万元
26．（2023·全国·校联考模拟预测）定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·北京昌平·统考二模）已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
29．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（ ）
A．352 B．401 C．625 D．913
二、多选题
30．（2023·安徽淮北·统考二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为，（ ）
A． B．
C． D．
31．（2023·辽宁·校联考二模）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法正确的是（ ）．
A．数列是以4为首项，为公比的等比数列
B．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
C．使得不等式成立的的最大值为4
D．数列的前n项和
32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
33．（2023·江苏·校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．白银比为
34．（2023·全国·模拟预测）已知数列为公差为的等差数列，为公比为的正项等比数列.记，，，，则（ ）
参考公式：
A．当时， B．当时，
C． D．
35．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．数列的前n项和
36．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
三、填空题
37．（2023·四川乐山·统考三模）已知数列满足，，则______．
38．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比______.
39．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
40．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为__________.
41．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式________
四、解答题
42．（2023·山东聊城·统考二模）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
43．（2023·湖南常德·二模）已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
44．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知数列的前项和，等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
45．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
46．（2023·广东潮州·统考二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
47．（2023·安徽合肥·校联考三模）设数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，证明：．
48．（2023·辽宁大连·统考一模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
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专题13 等比数列
一、单选题
1．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和 面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在正数，使得恒成立 D．
【答案】D
【分析】A选项，分析出为公比为7的等比数列，求出；B选项，从图中求出；C选项，分析出为等比数列，公比为，求出通项公式，由数列的单调性分析出答案；D选项，分析出图n中的小正六边形的个数，每个小正六边形的边长，从而求出面积.
【详解】A选项，图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7，
由题意得为公比为7的等比数列，所以，故，A错误；
B选项，由题意知，，，B错误；
C选项，为等比数列，公比为，首项为6，故，
因为，所以单调递增，不存在正数，使得恒成立，C错误；
D选项，分析可得，图n中的小正六边形的个数为个，每个小正六边形的边长为，故每个小正六边形的面积为，
则，D正确.
故选：D
2．（2023·河南·校联考三模）已知等比数列满足，，则的公比（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】依题意可得，两式相除即可得到关于的方程，解出q即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，，可得，
则，即，解得或.
故选：C.
3．（2023·四川泸州·统考三模）已知数列满足，，则此数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数列递推式，可推得，即说明为等比数列，由此可求得的通项公式，即得答案.
【详解】由，有，所以，
又，所以是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，，故C正确，
则，验证以及和，
均不成立，A，B，D错误，
故选：C
4．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据前n项和与通项之间的关系分析可得数列是以首项，公比的等比数列，结合等比数列运算求解.
【详解】因为，则，整理得，
且，所以数列是以首项，公比的等比数列，
则，
所以.
故选：C.
5．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．1458 B．1460 C．2184 D．2186
【答案】A
【分析】根据的关系确定数列为等比数列，利用等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】由，可得，
两式相减可得，即，
当，
所以数列从第二项开始，是以4为首项，3为公比的等比数列，
所以，
故选:A.
6．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，求出和，再求出和，可得公比，从而可得.
【详解】设等比数列的公比为，
由得，所以，
由得，又，所以，所以，
所以，所以.
故选：C
7．（2023·全国·模拟预测）如图是一算法的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据程序框图，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
第1次执行：，
第2次执行：，
第3次执行：，
第30次执行：，
不成立，所以输出.
故选：B.
8．（2023·广西玉林·统考二模）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的定义与性质计算即可.
【详解】因为，，所以公比，所以．
故选：B
9．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
【答案】A
【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算．
【详解】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
10．（2023·江苏·统考二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果.
【详解】已知，
当时，，则；
当时，，则；
因为数列是等比数列，所以，即，
整理得，解得，，公比，
所以.
由不等式得
，
即，整理得，又，
所以，即，.
所以正整数的最大值为11.
故选：C.
11．（2023·海南海口·校联考模拟预测）在正项等比数列中，，则公比（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】由正项等比数列的性质结合已知条件求出、，由，可求公比.
【详解】为等比数列，则有，且，所以．
因为，所以，所以，故.
故选：B
12．（2023·北京东城·统考二模）已知数列中，，，为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得到，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算.
【详解】由得，又∵，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，
∴，
故选：B.
13．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解.
【详解】设，则，
因为为等比数列，根据等比数列的性质，
可得仍成等比数列.
因为，所以，
所以，故.
故选：D.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前项和分别为，，可知，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】依题意，，.
因为，，所以.
故数列是以14为首项，7为公比的等比数列.
故，，
而，故.
故，，
选项A：.判断错误；
选项B：.判断错误；
选项C：.判断正确；
选项D：.判断错误.
故选：C.
15．（2023·河南·校联考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，存在两项，使得，且则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件计算，再由得，利用基本不等式计算最小值即可.
【详解】设的公比为，
由，得，所以，
所以，即，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．
故选：D．
16．（2023·江西·校联考二模）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因为数列的各项都是正项，即，
所以，即，
所以当时，，
所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.
所以.
故选：C
17．（2023·四川遂宁·统考三模）已知数列为等比数列，，是方程的两个根，设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．或 B． C．18 D．2
【答案】C
【分析】由等比以及等差数列的性质，结合求和公式即可求解.
【详解】因为，是的两个实数根，
所以，，，，又，
所以，，，
因此，
故选：C.
18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和，满足，则（ ）
A．16 B．32 C．81 D．243
【答案】A
【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得.
【详解】等比数列的前项和为，且，
∴，
∴，∴，故等比数列的公比为．
在中，
令，可得，∴，则．
故选：A．
19．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得到，则数列的奇数项和偶数项是等比数列，然后利用等比数列前n项和公式求解.
【详解】因为数列满足，
当时，，
当,，又，两式相除可得，
所以数列的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，
数列的偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
，
故选：D
20．（2023·全国·模拟预测）设为正项等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正项等比数列的公比为q，根据，，成等差数列，求得公比即可.
【详解】解：设正项等比数列的公比为q，
当时，，不满足，
当时，，
即，解得或（舍去），
所以，
故选：A
21．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【详解】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.
故选：B.
22．（2023·河北张家口·统考一模）宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得，则，在根据题意可得是等比数列，再根据等比数列前项和公式即可的解.
【详解】由，得，得，
因为，则，同理每一个小正方形的边长均为前一个正方形边长的倍，
设曲线与第一个正方形的边围成的阴影部分的面积为，，
从第二个正方形开始曲线与正方形的边围成的阴影部分的面积依次为，，．．．，，
设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长，
所以曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，
曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为
，
故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
设阴影部分的面积为，则，
又当无限增大时，，
所以时，，
又，所以阴影部分的面积为．
故选：A．
23．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）
A．0 B．2 C．-3 D．3
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的求和公式，列出方程求得解得，再利用等比数列的通项公式列出方程，求得，进而求得公比的值.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，与题中条件矛盾，故，
因为，解得，
又因为，解得，即，所以.
故选：B.
24．（2023·山西运城·统考二模）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为，即.
当时，，即；
当时，，
所以，
所以.
又，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
25．（2023·湖北·校联考模拟预测）为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ）
A．325万元 B．581万元 C．721万元 D．980万元
【答案】B
【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解.
【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）；
由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，
所以这五年的旅游总收入是（万元），
所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（万元），
故选：B.
26．（2023·全国·校联考模拟预测）定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，可得，再根据等比数列的前项和公式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
令，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
则，
，
所以．
故选：A.
27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以，
则，所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.
一、倒数变换法，适用于（为常数）；二、取对数运算；三、待定系数法：1、构造等差数列法；2、构造等比数列法：
①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法.
②（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列.
③（为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列.
28．（2023·北京昌平·统考二模）已知等比数列的前项和为，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】由通项公式可由推出首项与公比同号，取可判断AB，由可得，取可判断C，由分类讨论可知同号，可判断D.
【详解】由数列是等比数列，
若，同号，
由知，当时，，故A，B错误；
若，则可知
当时，该等比数列为常数列，则，故C错误；
当时，，
时，，当时，
所以由且同号，可知，故D正确.
故选：D
29．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为（ ）
A．352 B．401 C．625 D．913
【答案】D
【分析】根据条件构造数列，再根据条件列出等比数列的基本量的方程组，再根据通项公式求和.
【详解】令，设数列的公比为，因为，所以，即，
所以.由，得，所以，联立，解得，
所以，所以，所以的前10项和为.
故选：D.
二、多选题
30．（2023·安徽淮北·统考二模）已知棋盘上标有第0，1，2，...，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（欢乐大本营）时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意直接判断选项A和B；然后根据题意求出递推公式即可判断选项C，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，等比数列求和进而判断选项D.
【详解】根据题意，棋子跳到第1站则掷出正面，所以，故选项A正确；
棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在；
第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为；
第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为，因此，故选项B错误；
由题意易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有，
则，故选项C正确；
因为，则有，
即.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
因此有.
由此得到，故选项D正确，
故选：ACD.
31．（2023·辽宁·校联考二模）“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法正确的是（ ）．
A．数列是以4为首项，为公比的等比数列
B．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
C．使得不等式成立的的最大值为4
D．数列的前n项和
【答案】ABD
【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．
【详解】对于A选项，由题意知，且，
所以，又因为，
所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知，，，，，
所以，故B正确；
对于C选项，，
易知是单调递减数列，且，，
故使得不等式成立的的最大值为3，故C错误；
对于D选项，因为，且，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD．
32．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
【答案】ACD
【分析】通过对赋值可以确定A、B选项的正误，C选项利用单调性的定义来判断，D选项中令，则，把递推式代入函数式得是等比数列.
【详解】因为定义在上，且满足恒成立，
令，即，解得，故A正确；
再令，则，故，故是奇函数，又，
所以函数一定不是偶函数，故B错误；
任取，且，则．
因为，所以，
所以，由于，所以，，
所以．
因为，，所以，，
即在区间上单调递增．故C正确；
对于D，因为，，
因为，当且仅当时，即时等号成立；
所以，所以，又，所以．
令，则．
令，则，所以．
因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
33．（2023·江苏·校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．白银比为
【答案】ACD
【分析】由递推公式得出，即可判断A；计算，，，由等比数列的定义即可判断B；设数列是公比为是等比数列，求出和的值，得出，即可判断C；由通项公式得出，化简后根据白银比的定义，求出白银比即可判断D．
【详解】对于A：因为，，，，，，，，故A正确；
对于B：因为，，，故B错误；
对于C：设数列是公比为是等比数列，则，
所以，所以，
所以或；
当时，，
当时，，
解得，故C正确；
对于D：因为
，
因为，
所以当时，，，故D正确，
故选：ACD．
34．（2023·全国·模拟预测）已知数列为公差为的等差数列，为公比为的正项等比数列.记，，，，则（ ）
参考公式：
A．当时， B．当时，
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据等差数列、等比数列的性质及求和公式一一计算即可.
【详解】对于A项，由题意易得：当时，，，
显然时，，故A错误；
对于B项，由题意易得：，
即，故B正确；
对于C项，由已知可得：，
所以
若为偶数，则，
当且仅当时取得等号；
若为奇数，则，
当且仅当时取得等号；
故C正确；
对于D项，由已知得：，
故，
故裂项可得：，
所以，故D正确；
故选：BCD
【点睛】本题考察数列的综合，需要较高的计算能力与逻辑思维能力，属于压轴题.
C项的关键在于化简得，再将用基本不等式分类讨论求最值；
D项的关键在于利用条件化简得，再用裂项相消求和判定不等式.
35．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．数列的前n项和
【答案】BD
【分析】设，化简得，根据求出，可知D正确；根据求出，和可知A和C不正确；利用分组求和求出，可知D正确.
【详解】设，
所以
，故B正确；
由，得，，，，所以数列不为等比数列，故A和C不正确；
，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是设，利用求出.
36．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】举例说明判断A；分析函数与的性质，作出部分函数图象，结合图象与性质推理、计算判断BCD作答.
【详解】函数，显然，而，即，因此不是偶函数，A错误；
函数定义域为，满足，当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数在上递减，
在上递增，当时，取得最大值，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
因此当时，函数，
在同一坐标平面内作出函数的部分图象，如图，
当时，函数的图象有唯一公共点，
因为，因此，，而满足的整数有个，即，B正确；
显然，
所以，C正确；
，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，D错误.
【点睛】关键点睛：求两个分段函数的公共点的坐标，确定要求值的自变量属于哪一段区间，再代入该段的解析式求值是关键.
三、填空题
37．（2023·四川乐山·统考三模）已知数列满足，，则______．
【答案】
【分析】凑配法得出数列是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论．
【详解】由得，又，
所以，即是等比数列，
所以，即．
故答案为：．
38．（2023·浙江·二模）已知等比数列满足，则公比______.
【答案】2
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】由，
等式两边同时除以，得，
解得.
故答案为：2.
39．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
【答案】
【分析】分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出的值.
【详解】因为数列是以为公差的等差数列，则，
所以，，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，.
故答案为：.
40．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数列的所有“和谐项”的和为__________.
【答案】2047
【分析】利用求出，由得出再求和即可.
【详解】由题意得，当时，，
所以，
由，得，所以是公比为2且首项为1的等比数列，
所以，
由得，即，所以和为.
故答案为：2047.
41．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）如图，有一列曲线，，，…已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（，1，2，…）。记为曲线所围成图形的面积。则数列的通项公式________
【答案】
【分析】可设图形的边长为，边数为3，的边长为边长的，边数是每一条边都扩大4倍，并且每一条都增加了一个小的等边三角形，由此规律可知的边长为，边数为，而曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，再利用累加法即可求出的通项公式.
【详解】设图形的边长为，由题意可知，，边数是3；
根据图形规律，图形边长为，边数为每一条边都扩大4倍，即；
图形边长为，边数为；
以此类推，图形边长为，边数为；
图形边长为，边数为；
而根据图形规律可知曲线所围成图形的面积等于曲线所围成的面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，
每一个边增加的小等边三角形面积为，
则，整理后得，
又图形的面积，
由累加法可知，，，……，，
得，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到数列的递推公式，进而求出数列通项，常见的方法有：（1）由和的关系求通项公式；（2）累乘法，累加法，构造等差数列和等比数列法.
四、解答题
42．（2023·山东聊城·统考二模）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，运用等比数列公式法推出 的通项公式；
（2）运用裂项相消法求解.
【详解】（1） ， ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
即，从而，两式作差得： ，
化简得： ，即，
所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
故数列的通项公式为；
（2），
．
，
因为，所以.
43．（2023·湖南常德·二模）已知数列的前项和为，且满足
(1)的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；
（2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为①，
当时，则，
当时②，
①②得，即，
则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.
（2）因为，所以，
所以③，
④，
③④得
，
所以.
44．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知数列的前项和，等比数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据求得通项公式，进而得，，再计算的公比与首项，求解通项公式即可；
（2）结合（1）得，进而得，再结合等比数列求和公式求解即可.
【详解】（1）解：当时，，
又时，也成立，
所以，，
所以，，，
所以，等比数列的公比为，，
所以，
（2）解：因为，即，
所以
所以，数列的前项和
45．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）先求出再对分奇偶两种情况讨论得解；
（2）先求出时，的前项和；再讨论当时，且为奇数时，当时，且为偶数时，的前项和，即得解.
【详解】（1）根据题意可知，
所以
当为奇数时，，即，
所以当为偶数时，；
当为偶数时，，即，
所以当为奇数时，.
综上，,.
（2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得，
当为偶数时，若，即，解得，
所以，当时，，
所以.
当时，且为奇数时，
当时，且为偶数时，
.
综上，
46．（2023·广东潮州·统考二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推公式证明为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；
（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以；
（2）由，得，
则，
所以，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以.
47．（2023·安徽合肥·校联考三模）设数列的前项和为，且，．
(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，证明：．
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据，作差得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，方法一：令，则，即可得证；
方法二：利用放缩法得到，再累乘即可得证.
【详解】（1）因为，
当时，解得，
当时，
相减得，所以，
所以是以首项为6，公比为3的等比数列，
即，所以.
（2）由（1）可得，
即证：
方法一：令．
则，
因为，所以，
所以单调递增，即，
即．
方法二：放缩法：，
所以，，，，
相乘得
即
48．（2023·辽宁大连·统考一模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；
（2）①应用二项分布概率公式求取值1，2，…，对应概率，即可得分布列；
②由①分布列得（，），定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论.
【详解】（1）由题设，可取值为1，2，3，
，，，
因此的分布列为
1 2 3
（2）①可取值为1，2，…，，
每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，
所以时，；当时，
故的分布列为：
1 2 3 …
…
②由①知：（，）．
，故单调递增；
由上得，故，
∴，
故．
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