2022~2023学年安徽省中考数学优质仿真模拟卷（二）
一、单选题
1．（新人教版数学七年级上册1.2.3相反数课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个数的和为零，则它们互为相反数
B．负数的倒数一定比原数大
C．π的相反数是－3.14
D．原数一定比它的相反数小
2．（2023·富阳模拟） 2022年杭州市的GDP达到18800亿元，用科学记数法表示“18800亿”正确的是（ ）
A．0.188×1013 B．1.88×1012 C．1.88×1013 D．1.818×1014
3．（2022八上·定南期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·永州）我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小.如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023·石家庄模拟）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列语句中，正确的有（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧相等
7．（2021八下·香坊期末）一个容器内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第12min后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水量每分钟的出水量始终不变，容器内水量 （单位：L）与时间 （单位：min）之间的关系如图所示．
根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；② 时， ；③当 时， ；④当 时， ，或 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·宁波模拟）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆，等腰三角形，直角三角形，菱形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．（2022九下·义乌开学考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
10．（2021九上·信都月考）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·福田模拟）因式分解：x3–x＝ ．
12．（2023·宾阳模拟）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是 .
13．（2020·锦江模拟）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OB，tan∠OAB＝ ．点C是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一动点，连接AC，OC，若△AOC的面积为 ，则点C的坐标为 ．
14．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
三、计算题
15．（2023八下·宿州月考）解不等式．
16．（2020九上·靖远期末）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）△A2B2C2的面积是 ▲ 平方单位.
四、解答题
17．（2020·兰州模拟）《孙子算经》中有一道题目：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题大意为：“现在有一根长木，不知道它的长度.用绳子去量这根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再量这根长木，长木还剩下1尺，问长木长多少尺？”请你用所学知识，求出长木长多少尺？
五、综合题
18．（2023·太和模拟）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
（1）第5个图案有 个正三角形
（2）第n个图案中有 个正三角形，（用含n的代数式表示）
（3）【问题解决】
现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
20．（2016九上·靖江期末）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度．
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
参考数据： ．
21．（2019九上·重庆开学考）某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计图(表)：
甲队员的成绩统计表
成绩(单位：环) 7 8 9 10
次数(单位：次) 5 1 2 2
（1）在图1中，求“8环”所在扇形的圆心角的度数；
（2）经过整理，得到的分析数据如表，求表中的a、b、c的值.
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8 7.5 7 c
乙 a b 7 1
（3）根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队准备选派乙参加比赛，请你写出一条射击队选派乙的理由.
22．（2023·潮阳模拟）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点A，抛物线恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）求直线的解析式；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
23．（2023九下·历下月考）
（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
（2）【类比探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】
如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；实数的相反数
【解析】【解答】-的倒数为－2，比原数小，所以B中的说法错误；π的相反数是－π，所以C中说法错误；0的相反数是它本身，所以D中说法错误，所以选择A．
【分析】两个数的和为零，则它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数和为0．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 18800亿 =1880000000000=1.88×1012.
故答案为：B.
【分析】先将计数单位表示的数还原，进而根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方、分式的加法、同底数幂的乘法、单项式的乘除法的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小，如图为类似“长鼓”的几何体，
∴它的俯视图是圆.
故答案为：B.
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，利用已知条件，观察几何体，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，点在射线上，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质求出，再结合题意，计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故A错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故D错误；所以正确的结论只有C．故选C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．
7．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法符合题意；
出水的速度为：5 （27.5 20）÷（10 4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12 4）×（5 3.75）＝30（L），
故③说法符合题意；
15÷3＝3（min），12＋（30 15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④不符合题意；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得 ，
解得 ，所以4≤x≤12时，
y＝ x＋15，故说法②符合题意．
所以符合题意说法的个数是3个．
故答案为：C．
【分析】根据图象可知进水的速度，再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速度，从而求出第12分钟时容器内的水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式，再对各个选项逐一判断即可。
8．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵圆，菱形是中心对称图形，
∴随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率=.
故答案为：B.
【分析】四个图形中，圆和菱形是中心对称图形，再根据概率公式，代入数据计算，即可求得随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝p2
∴x2+2x-x-2=p2
∴x2+x-2-p2=0
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×（-2-p2）=9+4p2＞0
∴方程有两个实数根
设方程的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-1，x1 ·x2=-2-p2＜0
∴方程的两根一个是正根，一个是负根.
故答案为：C.
【分析】先将方程化简成一般式，再运用根的判别式Δ=b2-4ac判断根的个数，最后运用韦达定理x1+x2= ， 判断根的正负性情况.
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
故答案为：B．
【分析】先求出BF=AH=2，FC=HD=1，再求出△AND∽△FNB，最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
11．【答案】x（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】因式分解：x3-x=x（x+1）（x-1）故答案为：x（x+1）（x-1）
【分析】提取公因式，进行彻底分解即可。
12．【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵是的直径，与相切于点A，
，
，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ABC=50°，根据切线的性质可得∠OAP=90°，然后根据∠P=90°-∠AOP进行计算.
13．【答案】（4， ）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于D，
∵点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，设A（x， ），
∴OB＝x，AB＝ ，
∵tan∠OAB＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2，
∴A（2，5）
设点C的坐标为（m， ）
∵S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC，△AOC的面积为 ，
∴ （AB+CD） BD＝ ，
∴ （5+ ） （m﹣2）＝ ，
整理得，m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴点C的坐标为（4， ），
故答案为（4， ）．
【分析】作CD⊥x轴于D，解直角三角形求得A（2，5），设点C的坐标为（m， ），根据S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC，得出 （5+ ） （m﹣2）＝ ，解得m＝4，即可求得C点的坐标．
14．【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
15．【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以－4，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用解不等式的方法求解即可。
16．【答案】解：（1）（2）如图所示，△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，△A2B2C2即为所求，
（ 3 ）10
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）则由网格特点可知：AC＝BC＝ ，AC⊥BC，
∴△ABC的面积＝ .
又∵△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
∴△A2B2C2的面积＝ .
故答案为：10.
【分析】（1）根据方格纸的特点及平移的性质，分别作出A、B、C向下平移4个单位长度得到的对应点A1、B1、C1 ，再顺次连接即可；
（2）延长BA至点A2，使A2A=AB，同理作出点C2，再连接A2C2即可得出所求的三角形；
（3）由网格特点可知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，根据坐标可求△ABC的边长和面积，再根据相似比即可求出△A2B2C2的面积.
17．【答案】解：设长木长 尺，绳子长 尺.
根据题意，得 ，
解得： .
答：长木长6.5尺.
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设长木长x尺，绳子长y尺，根据题意得出方程组 ，解方程组即可.
18．【答案】（1）16
（2）（3n+1）
（3）解：令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第n个图案中有个正三角形．
【分析】（1）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得规律；
（3）根据题意列出方程，再求出n的值即可。
19．【答案】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，
∴△ABC≌△ABF.
（2）解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．
证明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
20．【答案】（1）解：如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）解：结论：货物MNQP不用挪走． （5分）解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 ．∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，根据正弦的定义求出AD，再利用解直角三角形及相关知识求出新传送带AC的长度。
（2）利用解直角三角形的知识，在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，分别求出BD、CD的长，然后再求出CB、CP的长，判断PC的值是否大于2即可。
21．【答案】（1）解： 在图1中，“8环”所在扇形的圆心角的度数为360°× ＝108°；
（2）解： a＝ ＝8，
b＝ ＝8，
c＝ ×[(7﹣8)2×5+(8﹣8)2+(9﹣8)2×2+(10﹣8)2×2]＝1.5；
（3）解： 乙的方差小说明乙的成绩稳定(答案不唯一).
【知识点】扇形统计图；折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)用360°乘以对应次数所占比例；
(2)根据平均数和中位数及方差的定义计算可得；
(3)可以从中位数和方差的角度解答，答案不唯一.
22．【答案】（1）解：直线经过点，
，解得，
∴直线为；
（2）解：直线与抛物线都经过点都在直线上，
所以直线与抛物线不可能有三个交点．且B、C两点的横坐标相同，
抛物线只能经过A、C两点，
把代入得，
解得；
（3）解：由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与y轴的交点的纵坐标为q，
∴当时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 将点代入中，即可求出m值；
（2） 由直线与抛物线都经过点都在直线上，所以直线与抛物线不可能有三个交点．且B、C两点的横坐标相同，即得抛物线只能经过A、C两点，将A、C坐标代入中求出a、b值即可；
（3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，将其代入中，可得， 求出q的最大值即得结论.
23．【答案】（1）DG=BE
（2）解：，DG⊥BE．
理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，
∴CD：CB=CG：CE，
∵∠DCG=∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC=∠DGC，
∴
∵矩形ECGF
∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°
∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，
∴∠H=∠F=90°
∴DG⊥BE
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）DG=BE
理由：
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠BCD=90°
∵正方形ECGF，
∴CG=CE，∠ECG=90°
∴∠ECG=∠BCD=90°
∴∠DCG=∠BCE
在△DCG和△BCE中
∴△DCG≌△BCE（SAS）
∴DG=BE
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．
易证△ECN∽△CGM，
∴，
∵EN=AB=2，
∴CM=1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG′
由（2）知，
∴BE=2DG
∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′=，
∴2BG+BE的最小值为4
故答案为：4．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△DCG≌△BCE（SAS）可得答案；
（2）延长BE、GD相交于点H． 根据矩形的性质可证△DCG∽△BCE， 由相似三角形的性质可得 ，根据矩形的性质可得∠H=∠F=90°，即DG⊥BE；
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．可证△ECN∽△CGM，可得CM=1，则点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG′，由（2）知，，BE=2DG，2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
由勾股定理可得BG′=，则2BG+BE的最小值为4 。
1 / 12022~2023学年安徽省中考数学优质仿真模拟卷（二）
一、单选题
1．（新人教版数学七年级上册1.2.3相反数课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两个数的和为零，则它们互为相反数
B．负数的倒数一定比原数大
C．π的相反数是－3.14
D．原数一定比它的相反数小
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；实数的相反数
【解析】【解答】-的倒数为－2，比原数小，所以B中的说法错误；π的相反数是－π，所以C中说法错误；0的相反数是它本身，所以D中说法错误，所以选择A．
【分析】两个数的和为零，则它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数和为0．
2．（2023·富阳模拟） 2022年杭州市的GDP达到18800亿元，用科学记数法表示“18800亿”正确的是（ ）
A．0.188×1013 B．1.88×1012 C．1.88×1013 D．1.818×1014
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 18800亿 =1880000000000=1.88×1012.
故答案为：B.
【分析】先将计数单位表示的数还原，进而根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，可得答案.
3．（2022八上·定南期末）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方、分式的加法、同底数幂的乘法、单项式的乘除法的计算方法逐项判断即可。
4．（2022·永州）我市江华县有“神州摇都”的美涨，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小.如图为类似“长鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小，如图为类似“长鼓”的几何体，
∴它的俯视图是圆.
故答案为：B.
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形，利用已知条件，观察几何体，可得答案.
5．（2023·石家庄模拟）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，点在射线上，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质求出，再结合题意，计算求解即可。
6．下列语句中，正确的有（ ）
A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
B．平分弦的直径垂直于弦
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D．长度相等的两条弧相等
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故A错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故D错误；所以正确的结论只有C．故选C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．
7．（2021八下·香坊期末）一个容器内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第12min后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水量每分钟的出水量始终不变，容器内水量 （单位：L）与时间 （单位：min）之间的关系如图所示．
根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；② 时， ；③当 时， ；④当 时， ，或 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法符合题意；
出水的速度为：5 （27.5 20）÷（10 4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12 4）×（5 3.75）＝30（L），
故③说法符合题意；
15÷3＝3（min），12＋（30 15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④不符合题意；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得 ，
解得 ，所以4≤x≤12时，
y＝ x＋15，故说法②符合题意．
所以符合题意说法的个数是3个．
故答案为：C．
【分析】根据图象可知进水的速度，再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速度，从而求出第12分钟时容器内的水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式，再对各个选项逐一判断即可。
8．（2022·宁波模拟）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆，等腰三角形，直角三角形，菱形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵圆，菱形是中心对称图形，
∴随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率=.
故答案为：B.
【分析】四个图形中，圆和菱形是中心对称图形，再根据概率公式，代入数据计算，即可求得随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率.
9．（2022九下·义乌开学考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）＝p2
∴x2+2x-x-2=p2
∴x2+x-2-p2=0
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×（-2-p2）=9+4p2＞0
∴方程有两个实数根
设方程的两个实数根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-1，x1 ·x2=-2-p2＜0
∴方程的两根一个是正根，一个是负根.
故答案为：C.
【分析】先将方程化简成一般式，再运用根的判别式Δ=b2-4ac判断根的个数，最后运用韦达定理x1+x2= ， 判断根的正负性情况.
10．（2021九上·信都月考）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
故答案为：B．
【分析】先求出BF=AH=2，FC=HD=1，再求出△AND∽△FNB，最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
二、填空题
11．（2023·福田模拟）因式分解：x3–x＝ ．
【答案】x（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】因式分解：x3-x=x（x+1）（x-1）故答案为：x（x+1）（x-1）
【分析】提取公因式，进行彻底分解即可。
12．（2023·宾阳模拟）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是 .
【答案】40°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵是的直径，与相切于点A，
，
，
故答案为：.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ABC=50°，根据切线的性质可得∠OAP=90°，然后根据∠P=90°-∠AOP进行计算.
13．（2020·锦江模拟）如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OB，tan∠OAB＝ ．点C是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一动点，连接AC，OC，若△AOC的面积为 ，则点C的坐标为 ．
【答案】（4， ）
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作CD⊥x轴于D，
∵点A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，设A（x， ），
∴OB＝x，AB＝ ，
∵tan∠OAB＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2，
∴A（2，5）
设点C的坐标为（m， ）
∵S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC，△AOC的面积为 ，
∴ （AB+CD） BD＝ ，
∴ （5+ ） （m﹣2）＝ ，
整理得，m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝4或m＝﹣1（舍去），
∴点C的坐标为（4， ），
故答案为（4， ）．
【分析】作CD⊥x轴于D，解直角三角形求得A（2，5），设点C的坐标为（m， ），根据S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC，得出 （5+ ） （m﹣2）＝ ，解得m＝4，即可求得C点的坐标．
14．（2023九上·温岭期末） 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
【分析】分两种情况：当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=-1时，ymax=a+a2=6；②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，因此x=0时，ymax=a2=6，分别解之即可.
三、计算题
15．（2023八下·宿州月考）解不等式．
【答案】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都除以－4，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用解不等式的方法求解即可。
16．（2020九上·靖远期末）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）△A2B2C2的面积是 ▲ 平方单位.
【答案】解：（1）（2）如图所示，△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，△A2B2C2即为所求，
（ 3 ）10
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）则由网格特点可知：AC＝BC＝ ，AC⊥BC，
∴△ABC的面积＝ .
又∵△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
∴△A2B2C2的面积＝ .
故答案为：10.
【分析】（1）根据方格纸的特点及平移的性质，分别作出A、B、C向下平移4个单位长度得到的对应点A1、B1、C1 ，再顺次连接即可；
（2）延长BA至点A2，使A2A=AB，同理作出点C2，再连接A2C2即可得出所求的三角形；
（3）由网格特点可知，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，根据坐标可求△ABC的边长和面积，再根据相似比即可求出△A2B2C2的面积.
四、解答题
17．（2020·兰州模拟）《孙子算经》中有一道题目：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”题大意为：“现在有一根长木，不知道它的长度.用绳子去量这根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再量这根长木，长木还剩下1尺，问长木长多少尺？”请你用所学知识，求出长木长多少尺？
【答案】解：设长木长 尺，绳子长 尺.
根据题意，得 ，
解得： .
答：长木长6.5尺.
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设长木长x尺，绳子长y尺，根据题意得出方程组 ，解方程组即可.
五、综合题
18．（2023·太和模拟）为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图案，如图所示．
【观察思考】
第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推
【规律总结】
（1）第5个图案有 个正三角形
（2）第n个图案中有 个正三角形，（用含n的代数式表示）
（3）【问题解决】
现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则该图案需要正方形多少个？
【答案】（1）16
（2）（3n+1）
（3）解：令，
解得，
由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，
∴该图案需要正方形674个．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个正三角形，…依此类推，发现正三角形的数量依次增加3，
∴第5个图案有16个正三角形．
（2）依据第1个图案有4个正三角形，正三角形的数量依次增加3，
可得第n个图案中有个正三角形．
【分析】（1）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中图象的数量与序号的关系可得规律；
（3）根据题意列出方程，再求出n的值即可。
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．
（1）求证：△ABC≌△ABF；
（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．
【答案】（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，
∴△ABC≌△ABF.
（2）解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．
证明：∵∠CAB=60°，
∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，
∴EF=AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．
20．（2016九上·靖江期末）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4 米．
（1）求新传送带AC的长度．
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．
参考数据： ．
【答案】（1）解：如图，在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4 × =4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．
即新传送带AC的长度约为8米；
（2）解：结论：货物MNQP不用挪走． （5分）解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4 × =4．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 ．∴CB=CD﹣BD=2 ﹣4≈0.9．
∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，
∴货物MNQP不应挪走．
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，根据正弦的定义求出AD，再利用解直角三角形及相关知识求出新传送带AC的长度。
（2）利用解直角三角形的知识，在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，分别求出BD、CD的长，然后再求出CB、CP的长，判断PC的值是否大于2即可。
21．（2019九上·重庆开学考）某射击队准备从甲、乙两名队员中选取一名队员代表该队参加比赛，特为甲、乙两名队员举行了一次选拔赛，要求这两名队员各射击10次.比赛结束后，根据比赛成绩情况，将甲、乙两名队员的比赛成绩制成了如下的统计图(表)：
甲队员的成绩统计表
成绩(单位：环) 7 8 9 10
次数(单位：次) 5 1 2 2
（1）在图1中，求“8环”所在扇形的圆心角的度数；
（2）经过整理，得到的分析数据如表，求表中的a、b、c的值.
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8 7.5 7 c
乙 a b 7 1
（3）根据甲、乙两名队员的成绩情况，该射击队准备选派乙参加比赛，请你写出一条射击队选派乙的理由.
【答案】（1）解： 在图1中，“8环”所在扇形的圆心角的度数为360°× ＝108°；
（2）解： a＝ ＝8，
b＝ ＝8，
c＝ ×[(7﹣8)2×5+(8﹣8)2+(9﹣8)2×2+(10﹣8)2×2]＝1.5；
（3）解： 乙的方差小说明乙的成绩稳定(答案不唯一).
【知识点】扇形统计图；折线统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)用360°乘以对应次数所占比例；
(2)根据平均数和中位数及方差的定义计算可得；
(3)可以从中位数和方差的角度解答，答案不唯一.
22．（2023·潮阳模拟）在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点A，抛物线恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）求直线的解析式；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）解：直线经过点，
，解得，
∴直线为；
（2）解：直线与抛物线都经过点都在直线上，
所以直线与抛物线不可能有三个交点．且B、C两点的横坐标相同，
抛物线只能经过A、C两点，
把代入得，
解得；
（3）解：由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与y轴的交点的纵坐标为q，
∴当时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 将点代入中，即可求出m值；
（2） 由直线与抛物线都经过点都在直线上，所以直线与抛物线不可能有三个交点．且B、C两点的横坐标相同，即得抛物线只能经过A、C两点，将A、C坐标代入中求出a、b值即可；
（3）设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，将其代入中，可得， 求出q的最大值即得结论.
23．（2023九下·历下月考）
（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
（2）【类比探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】
如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．
【答案】（1）DG=BE
（2）解：，DG⊥BE．
理由如下：延长BE、GD相交于点H．
∵矩形ECGF、矩形ABCD，
∴∠ECG=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCE，
∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，
∴CD：CB=CG：CE，
∵∠DCG=∠BCE，
∴△DCG∽△BCE，
∴，∠BEC=∠DGC，
∴
∵矩形ECGF
∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°
∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，
∴∠H=∠F=90°
∴DG⊥BE
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）DG=BE
理由：
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠BCD=90°
∵正方形ECGF，
∴CG=CE，∠ECG=90°
∴∠ECG=∠BCD=90°
∴∠DCG=∠BCE
在△DCG和△BCE中
∴△DCG≌△BCE（SAS）
∴DG=BE
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．
易证△ECN∽△CGM，
∴，
∵EN=AB=2，
∴CM=1，
∴点G的运动轨迹是直线MG，
作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG′
由（2）知，
∴BE=2DG
∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）
∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
∵BG′=，
∴2BG+BE的最小值为4
故答案为：4．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△DCG≌△BCE（SAS）可得答案；
（2）延长BE、GD相交于点H． 根据矩形的性质可证△DCG∽△BCE， 由相似三角形的性质可得 ，根据矩形的性质可得∠H=∠F=90°，即DG⊥BE；
（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．可证△ECN∽△CGM，可得CM=1，则点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG′，由（2）知，，BE=2DG，2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．
由勾股定理可得BG′=，则2BG+BE的最小值为4 。
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