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沪科版数学七年级下册分式章节之等式规律探索专题
一、综合题
1．（2022七上·蚌山期中）找规律：观察算式：
；
；
；
；
……
（1）按规律填空：
① ．
② ．
（2）由上面的规律计算：．
【答案】（1）（或3025）；（或）．
（2）解：根据（1）的规律得
=41075．（或）
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】（1）∵；
；
；
；
∴①
②
故答案为：①（或3025）；②（或）．
【分析】（1）根据题干中算式总结出公式，根据规律计算即可；
（2）根据规律，用前20项减前10项即可。
2．（2022七上·新丰期中）观察下列各式：
……
（1）计算：的值．
（2）试猜想的值．
【答案】（1）解： ；
；
；
∴
（2）解：．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】（1）根据前几项的数据与序号的关系可得规律；
（2）方法同（1）可得。
3．（2022七上·长清期中）阅读材料，并根据材料解答下列问题：
材料一：；
材料二：；
（1） ； (请结合材料回答)；
（2）结合材料一，化简：＋＋＋…＋；
（3）结合材料二，化简：1＋＋＋…＋．
【答案】（1）；
（2）解：＋＋＋…＋
；
（3）解：1＋＋＋…＋
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：（1）解：结合材料一可知，
结合材料二可知；
【分析】（1）参照题干中的计算方法可得答案；
（2）先利用（1）的计算方法将原式变形为，再计算即可；
（3）将原式变形为，再利用（1）中的计算方法求解即可。
4．（2022七上·金东期中）观察下列算式：
；①
；②
；③
………按照上面的规律完成下列各题：
（1）第④个算式： ；
（2）第⑤个算式为 ；
（3）第 n 个算式为 ；
（4）计算：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：原式= .
【知识点】探索数与式的规律；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解：（1） ， 故答案为：；
（2）第⑤个算式为 ： 故答案为：；
（3） 第 n 个算式为 ：； 故答案为：；
【分析】（1）观察已知等式，即可得出第四个等式；
（2）由（1）观察得到的规律即可得出第五个等式；
（3）根据题干给出的阅读材料发现等式的左边是1与一个分数的和，其中分数的分子是1，分母等于等式的序号与1的和的平方减1，等式的右边是一个分数，分子等于等式序号与1的和的平方，分母是两个因数的乘积，一个因数等于等式的序号，另一个因数比第一个因数大2，据此即可得出一般规律；
（4）原式利用得出的规律变形后，约分即可得到结果.
5．（2023·宿州模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
第4个等式：，
……
请根据以上规律，解决下列问题
（1）试写出第5个等式；
（2）请证明第4个等式．
【答案】（1）解：由题意可知：
（2）证明：方法一：设，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
方法二：，
．
∴原等式成立；
方法三 ：右边，
左边，
∵左边=右边，
∴原等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题意求出即可作答；
（2）根据题意找出规律，计算求解即可。
6．（2023·蜀山模拟）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①
②
③
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）20
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：20
（2）解：
；
故答案为：
（3）解：
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的计算方法将代数式变形，再计算即可；
（2）方法同（1），先变形，再计算即可；
（3）先利用规律将代数式变形，再计算即可。
7．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：由（1）猜想第个等式为；证明如下：
∵左边右边，
∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号加1，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边为1，
∴第5个等式：；
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中数据与序号的关系直接写出规律即可。
8．（2023九下·淮北月考）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
（1）请你写出第4个等式： ；
（2）请你根据以上等式寻找规律，猜想第n个等式，并给出证明．
【答案】（1）
（2）解：根据题中式子的规律可猜想出第n个式子为，
证明如下：
，
∴等式左右两边相等．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据题中式子的规律可得第4个式子为；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先找出规律，再证明即可。
9．（2023·安徽模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律解答以下问题：
（1）写出第5个等式： ；写出第n个等式： ﹔
（2）由分式性质可知：，试求的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
10．（2023·随州模拟）观察一下等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题
（1） ；
（2）写出第五个式子： ；
（3）用含的式子表示一般规律： ；
（4）计算（要求写出过程）：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：
.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，
故答案为：；
（2）第五个式子为：，
故答案为：；
（3）由题意可得：，
故答案为：；
【分析】（1）观察第一个、第二个、第三个等式可得右边的式子=1-左边最后一个数字，据此解答；
（2）根据（1）的过程可得第五个式子；
（3）根据（1）的过程可得一般规律；
（4）根据发现的规律可得原式=，计算即可.
11．（2023·长丰模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：．
第2个等式：
第3个等式：．
第4个等式：．
……
（1）请你写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2）解：猜想的第个等式：．
证明：左边，
右边，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：．
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先求出规律，再证明即可。
12．（2022八上·西城期末）阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
②
③
④
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第n个等式是 ；
（3）请你证明第n个等式成立．
【答案】（1）
（2）
（3）证明：
．
所以．
即第n个等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据已知等式可知第⑤个等式是，
故答案为：；
（2）对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是，
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中的数据与序号的关系可得规律；
（3）利用分式的减法计算方法证明即可。
13．（2022八上·石景山期末）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
（1）；= -
（2）计算：．
【答案】（1）x；x+1
（2）解：
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：x，x+1；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
14．（2022八上·莱州期中）观察下列各式：
；；；……
请利用你所得的结论，解答下列问题：
（1） ．
（2）计算： ．
（3）若，求n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
，
经检验，是原方程的解，
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
【分析】（1）根据题干中的计算方法可得，再计算即可；
（2）方法同（1），将代数式变形为，再计算即可；
（3）将代数式变形为，可得，最后求出并检验即可。
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沪科版数学七年级下册分式章节之等式规律探索专题
一、综合题
1．（2022七上·蚌山期中）找规律：观察算式：
；
；
；
；
……
（1）按规律填空：
① ．
② ．
（2）由上面的规律计算：．
2．（2022七上·新丰期中）观察下列各式：
……
（1）计算：的值．
（2）试猜想的值．
3．（2022七上·长清期中）阅读材料，并根据材料解答下列问题：
材料一：；
材料二：；
（1） ； (请结合材料回答)；
（2）结合材料一，化简：＋＋＋…＋；
（3）结合材料二，化简：1＋＋＋…＋．
4．（2022七上·金东期中）观察下列算式：
；①
；②
；③
………按照上面的规律完成下列各题：
（1）第④个算式： ；
（2）第⑤个算式为 ；
（3）第 n 个算式为 ；
（4）计算：.
5．（2023·宿州模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：
第4个等式：，
……
请根据以上规律，解决下列问题
（1）试写出第5个等式；
（2）请证明第4个等式．
6．（2023·蜀山模拟）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①
②
③
（1） ；
（2） ；
（3） ．
7．（2023·安徽模拟）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
8．（2023九下·淮北月考）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
（1）请你写出第4个等式： ；
（2）请你根据以上等式寻找规律，猜想第n个等式，并给出证明．
9．（2023·安徽模拟）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
根据以上规律解答以下问题：
（1）写出第5个等式： ；写出第n个等式： ﹔
（2）由分式性质可知：，试求的值．
10．（2023·随州模拟）观察一下等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，……
按照以上规律，解决下列问题
（1） ；
（2）写出第五个式子： ；
（3）用含的式子表示一般规律： ；
（4）计算（要求写出过程）：.
11．（2023·长丰模拟）观察下列等式的规律，解答下列问题：
第1个等式：．
第2个等式：
第3个等式：．
第4个等式：．
……
（1）请你写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．
12．（2022八上·西城期末）阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
②
③
④
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第n个等式是 ；
（3）请你证明第n个等式成立．
13．（2022八上·石景山期末）将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差．观察下列各式，解答下面问题：
（1）；= -
（2）计算：．
14．（2022八上·莱州期中）观察下列各式：
；；；……
请利用你所得的结论，解答下列问题：
（1） ．
（2）计算： ．
（3）若，求n的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）（或3025）；（或）．
（2）解：根据（1）的规律得
=41075．（或）
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】（1）∵；
；
；
；
∴①
②
故答案为：①（或3025）；②（或）．
【分析】（1）根据题干中算式总结出公式，根据规律计算即可；
（2）根据规律，用前20项减前10项即可。
2．【答案】（1）解： ；
；
；
∴
（2）解：．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【分析】（1）根据前几项的数据与序号的关系可得规律；
（2）方法同（1）可得。
3．【答案】（1）；
（2）解：＋＋＋…＋
；
（3）解：1＋＋＋…＋
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算（奥数类）
【解析】【解答】解：（1）解：结合材料一可知，
结合材料二可知；
【分析】（1）参照题干中的计算方法可得答案；
（2）先利用（1）的计算方法将原式变形为，再计算即可；
（3）将原式变形为，再利用（1）中的计算方法求解即可。
4．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：原式= .
【知识点】探索数与式的规律；含乘方的有理数混合运算
【解析】【解答】解：（1） ， 故答案为：；
（2）第⑤个算式为 ： 故答案为：；
（3） 第 n 个算式为 ：； 故答案为：；
【分析】（1）观察已知等式，即可得出第四个等式；
（2）由（1）观察得到的规律即可得出第五个等式；
（3）根据题干给出的阅读材料发现等式的左边是1与一个分数的和，其中分数的分子是1，分母等于等式的序号与1的和的平方减1，等式的右边是一个分数，分子等于等式序号与1的和的平方，分母是两个因数的乘积，一个因数等于等式的序号，另一个因数比第一个因数大2，据此即可得出一般规律；
（4）原式利用得出的规律变形后，约分即可得到结果.
5．【答案】（1）解：由题意可知：
（2）证明：方法一：设，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
方法二：，
．
∴原等式成立；
方法三 ：右边，
左边，
∵左边=右边，
∴原等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题意求出即可作答；
（2）根据题意找出规律，计算求解即可。
6．【答案】（1）20
（2）
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
故答案为：20
（2）解：
；
故答案为：
（3）解：
故答案为：
【分析】（1）根据题干中的计算方法将代数式变形，再计算即可；
（2）方法同（1），先变形，再计算即可；
（3）先利用规律将代数式变形，再计算即可。
7．【答案】（1）
（2）解：由（1）猜想第个等式为；证明如下：
∵左边右边，
∴等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：由已知等式可知：等式左边括号外分数的分子为等式的序号加1，分母为序号加2，括号内分数的分母为序号加1；等式右边为1，
∴第5个等式：；
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中数据与序号的关系直接写出规律即可。
8．【答案】（1）
（2）解：根据题中式子的规律可猜想出第n个式子为，
证明如下：
，
∴等式左右两边相等．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据题中式子的规律可得第4个式子为；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先找出规律，再证明即可。
9．【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
10．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：
.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
，
故答案为：；
（2）第五个式子为：，
故答案为：；
（3）由题意可得：，
故答案为：；
【分析】（1）观察第一个、第二个、第三个等式可得右边的式子=1-左边最后一个数字，据此解答；
（2）根据（1）的过程可得第五个式子；
（3）根据（1）的过程可得一般规律；
（4）根据发现的规律可得原式=，计算即可.
11．【答案】（1）
（2）解：猜想的第个等式：．
证明：左边，
右边，
∴左边＝右边，
∴猜想成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：．
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先求出规律，再证明即可。
12．【答案】（1）
（2）
（3）证明：
．
所以．
即第n个等式成立．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据已知等式可知第⑤个等式是，
故答案为：；
（2）对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是，
故答案为：；
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）根据前几项中的数据与序号的关系可得规律；
（3）利用分式的减法计算方法证明即可。
13．【答案】（1）x；x+1
（2）解：
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：x，x+1；
【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）将代数式变形为，再计算即可。
14．【答案】（1）
（2）
（3）解：
，
经检验，是原方程的解，
∴
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：
；
【分析】（1）根据题干中的计算方法可得，再计算即可；
（2）方法同（1），将代数式变形为，再计算即可；
（3）将代数式变形为，可得，最后求出并检验即可。
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