【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第9-10题
一、原题9
1．（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、变式题1基础
2．（2022·牡丹模拟）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若，，则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
3．（2022·巴中）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
4．（2022·黄石）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2022·安顺）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
三、变式题2巩固
6．（2022·毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线交于点D，交于点E，连接.则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2022·西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
9．（2022·济南）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
四、变式题3提升
10．（2021九上·鄞州期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM∶EN的值的变化情况是（ ）
A．变大 B．变小
C．先变大再变小 D．保持不变
五、原题10
11．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
六、变式题4基础
12．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·阜新）如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
14．（2020九上·安庆月考）对于抛物线 的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，-3）
C．抛物线的对称轴是直线
D．当 时， 随 的增大而增大
15．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
七、变式题5巩固
16．（2020·杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，（ ）
A．若h=4，则a<0 B．若h=5，则a>0
C．若h=6，则a<0 D．若h=7，则a>0
17．（2018·潍坊）已知二次函数 ( 为常数)，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值 的最大值为-1，则 的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
18．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
八、变式题6提升
19．（2021·宿迁）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ＞0；③ ；④不等式 ＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．（2019·鄂州）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③(a+c)2-b2＜0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AG=CG，AF=CF，故A不符合题意；
∴GF是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠AHC=90°-36°=54°，
∵∠HAB=∠AHC-∠B
∴∠HAB=54°-36°=18°，
∴∠B=2∠HAB，故B不符合题意；
∵AG=CG，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠AGB=∠C+∠GAC=72°，
∵∠BAG=180°-2×36°-36°=72°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=BG，
∴△ABG是等腰三角形，△ACH是直角三角形，
∴△ABG和△ACH不可能全等，故C不符合题意；
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴，
∴CA2=CG·CB，
∵AB=BG=AC，
∴BG2=CG·CB，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，利用垂直平分线的性质可证得AG=CG，AF=CF，可对A作出判断；易证GF是△ACH的中位线，可得到FG∥AH，由此可求出∠CAH的度数，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AHC的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠HAB的度数，可对B作出判断；再求出∠AGB和∠BAG的度数，可证得△ABG是等腰三角形，而△ACH是直角三角形，可对C作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAG∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例及AB=BG=AC，可对D作出判断.
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=50°=∠B+∠DCB，∠ACD=180°-50°-50°=80°，
∴∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=80°+25°=105°，
故答案为：A．
【分析】由垂直平分线的性质得出DB=DC，∠B=∠DCB，再得出∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，代入求解即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、DM、CM，由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由作法得MN垂直平分CD，则AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，根据菱形的性质可得AB=BC=AD，推出△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，则∠BCD=120°，据此判断A；当AB=3时，CE=DE=，根据勾股定理可得AE、BE，据此判断B；根据菱形的性质可得BC=CD=2CE，据此判断C；根据等高的三角形面积之比等于底之比可判断D.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）.
故答案为：C.
【分析】由作法得MN垂直平分AC，则DA=DC，AE=CE=2cm，结合△ABD的周长可得AB+BC=11，进而不难求出△ABC的周长.
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、由作法可知，OD是BC的垂直平分线，∴OB=OD，正确，不符合题意；
B、∵OD是BC的垂直平分线，∴△OBC是等腰三角形，∴∠BOD=∠COD（三线合一），正确，不符合题意；
C、∵E为AC的中点，D为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，正确，不符合题意；
D、∵OB=OC，OD故答案为：D.
【分析】根据作法得出OD是BC的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质得出OB=OD，则可判断A；根据等腰三角形三线合一的性质判断出OD平分∠BOC，则可对B作出判断；根据三角形中位线定理对C作出判断；无法找到对应边相等，则可判断和不全等.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，MN垂直平分线段AC，
∴，，
所以B、C、D正确，
因为点B的位置不确定，
所以不能确定AB=AE.
故答案为： A.
【分析】由题意得：MN垂直平分线段AC，然后根据线段垂直平分线的性质判断即可.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF（HL） ，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给的图形，结合题意对每个选项一一判断即可。
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OC和OE，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∵OA=OC，
∴OD是AC的垂直平分线，
∴点M在线段OD上，
∴∠ODC=45°，
同理，∠OED=45°，
∴∠DOE=90°，
∵∠ODE=∠OED，
∴OD=OE，
∵OM=ON，
∴DM=EN，
∴DM：EN=1，值不变.
故答案为：D.
【分析】连接OD， OE， OC， MN，根据垂直平分线的性质证明点M在线段OD上，点N在OE上，然后推出△ODE是等腰直角三角形，最后根据线段间的和差关系求出DM=EN，即可作答.
11．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
13．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由图可得开口向上，故a＞0，A不符合题意；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D符合题意
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B不符合题意；
由图可知当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
14．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 中 ，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而减小．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图形和性质与其系数的关系逐项判定即可。
15．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
16．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a*0)，对称轴是直线x=h，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时：
若a<0，
若a>0， >h时，满足x=8取到最大值y=8，即h<
故答案为：C
【分析】由函数解析式可得到抛物线的对称轴，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时，分情况讨论：a＞0和a＜0，即可求出符合题意的h的值。
17．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】根据当h＜2时，有-（2-h）2=-1，可求出h的值，再根据h的取值范围即y的最值，可得出符合题意的h的值；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解方程求出h的值，综上所述，可求得h的值。
18．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
19．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴ ＜0，故②错误
∵抛物线的对称轴为x=1
∴ ，即b=-2a
∴4a+b=2a≠0，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1，1），且过点（3，3）
则 ，解得
∴ ＜0可化为 ＜0，解得：1＜x＜3
故④错误.
故答案为：A.
【分析】①根据开口向上可得a＞0；②根据与x轴无交点可得 ＜0；③由对称轴可得4a+b=2a；④由抛物线顶点坐标和过点（3，3）可得抛物线解析式，即可得 ＜0，可得结果.
20．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】二次函数图象张口向上，故a>0，
对称轴 ，故b<0，
图像与y轴的交点在x轴下方，则c<0.
∴abc>0，①错误，不符合题意；
由对称轴，
∵ a-b+c>0，消b得3a+c>0；②正确，符合题意；
由图像可知x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，
则(a+c) 2 -b 2=(a-b+c)(a+b+c)<0，③正确，符合题意；
当x=1时，ymin=a+b+c，又当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，即a+b≤m(am+b)，④正确，符合题意；
故正确的个数有3个。
故答案选：C
【分析】根据二次函数图象性质、开口方向、对称轴、取特殊值等分别讨论。
1 / 1【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第9-10题
一、原题9
1．（2022·衢州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，
∴AG=CG，AF=CF，故A不符合题意；
∴GF是△ACH的中位线，
∴FG∥AH，
∴AH⊥AC，
∴∠CAH=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=36°，
∴∠AHC=90°-36°=54°，
∵∠HAB=∠AHC-∠B
∴∠HAB=54°-36°=18°，
∴∠B=2∠HAB，故B不符合题意；
∵AG=CG，
∴∠C=∠GAC=36°，
∴∠AGB=∠C+∠GAC=72°，
∵∠BAG=180°-2×36°-36°=72°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=BG，
∴△ABG是等腰三角形，△ACH是直角三角形，
∴△ABG和△ACH不可能全等，故C不符合题意；
∵∠GCA=∠ACB，∠CAG=∠B，
∴△CAG∽△CBA，
∴，
∴CA2=CG·CB，
∵AB=BG=AC，
∴BG2=CG·CB，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由作图可知DE垂直平分AC，GH=GC，利用垂直平分线的性质可证得AG=CG，AF=CF，可对A作出判断；易证GF是△ACH的中位线，可得到FG∥AH，由此可求出∠CAH的度数，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AHC的度数，利用三角形的外角的性质可求出∠HAB的度数，可对B作出判断；再求出∠AGB和∠BAG的度数，可证得△ABG是等腰三角形，而△ACH是直角三角形，可对C作出判断；利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CAG∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例及AB=BG=AC，可对D作出判断.
二、变式题1基础
2．（2022·牡丹模拟）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若，，则∠ACB的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=50°=∠B+∠DCB，∠ACD=180°-50°-50°=80°，
∴∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=80°+25°=105°，
故答案为：A．
【分析】由垂直平分线的性质得出DB=DC，∠B=∠DCB，再得出∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，代入求解即可。
3．（2022·巴中）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、DM、CM，由作法得MN垂直平分CD，
∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD，
∴AB=BC=AC，
∴ΔABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；
当AB=3，则CE=DE=，
∵∠D=60°，
∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°
在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；
∵菱形ABCD
∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；
∵AB∥CD，AB=2DE，
∴，所以D选项的结论正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由作法得MN垂直平分CD，则AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，根据菱形的性质可得AB=BC=AD，推出△ABC为等边三角形，得到∠ABC=60°，则∠BCD=120°，据此判断A；当AB=3时，CE=DE=，根据勾股定理可得AE、BE，据此判断B；根据菱形的性质可得BC=CD=2CE，据此判断C；根据等高的三角形面积之比等于底之比可判断D.
4．（2022·黄石）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE=2cm，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD=11，
∴AB+BD+DC=11，即AB+BC=11，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+2×2=15（cm）.
故答案为：C.
【分析】由作法得MN垂直平分AC，则DA=DC，AE=CE=2cm，结合△ABD的周长可得AB+BC=11，进而不难求出△ABC的周长.
5．（2022·安顺）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A、由作法可知，OD是BC的垂直平分线，∴OB=OD，正确，不符合题意；
B、∵OD是BC的垂直平分线，∴△OBC是等腰三角形，∴∠BOD=∠COD（三线合一），正确，不符合题意；
C、∵E为AC的中点，D为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，正确，不符合题意；
D、∵OB=OC，OD故答案为：D.
【分析】根据作法得出OD是BC的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质得出OB=OD，则可判断A；根据等腰三角形三线合一的性质判断出OD平分∠BOC，则可对B作出判断；根据三角形中位线定理对C作出判断；无法找到对应边相等，则可判断和不全等.
三、变式题2巩固
6．（2022·毕节）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线交于点D，交于点E，连接.则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，MN垂直平分线段AC，
∴，，
所以B、C、D正确，
因为点B的位置不确定，
所以不能确定AB=AE.
故答案为： A.
【分析】由题意得：MN垂直平分线段AC，然后根据线段垂直平分线的性质判断即可.
7．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
8．（2022·西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF（HL） ，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给的图形，结合题意对每个选项一一判断即可。
9．（2022·济南）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC
C．AB＝4 D．AC＝2AB
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质，结合图形，利用勾股定理计算求解即可。
四、变式题3提升
10．（2021九上·鄞州期中）如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N．连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM∶EN的值的变化情况是（ ）
A．变大 B．变小
C．先变大再变小 D．保持不变
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OC和OE，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∵OA=OC，
∴OD是AC的垂直平分线，
∴点M在线段OD上，
∴∠ODC=45°，
同理，∠OED=45°，
∴∠DOE=90°，
∵∠ODE=∠OED，
∴OD=OE，
∵OM=ON，
∴DM=EN，
∴DM：EN=1，值不变.
故答案为：D.
【分析】连接OD， OE， OC， MN，根据垂直平分线的性质证明点M在线段OD上，点N在OE上，然后推出△ODE是等腰直角三角形，最后根据线段间的和差关系求出DM=EN，即可作答.
五、原题10
11．（2022·衢州）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：y＝a（x 1）2 a
∴此抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1， a），
当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a，
∵y的最小值为 4，
∴ a＝ 4，
∴a＝4；
当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a a＝ 4，
解得a＝ ；
综上所述：a的值为4或 .
故答案为：D.
【分析】利用函数解析式可得到抛物线的对称轴及顶点坐标；再分情况讨论：当a＞0时，在 1≤x≤4，函数有最小值 a；当a＜0时，在 1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值为-4；分别得到关于a的方程，解方程求出a的值.
六、变式题4基础
12．（2021九上·温州期末）二次函数 的图象 如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 ，1＞0，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵由函数图象可知，二次函数的最大值为3，
∴当 时， ，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的性质可求出二次函数的最小值；利用x的取值范围可得到函数的最大值，由此可得到y的取值范围.
13．（2021·阜新）如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由图可得开口向上，故a＞0，A不符合题意；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D符合题意
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B不符合题意；
由图可知当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
14．（2020九上·安庆月考）对于抛物线 的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，-3）
C．抛物线的对称轴是直线
D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 中 ，抛物线开口向下，顶点坐标为（1，-3），对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而减小．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图形和性质与其系数的关系逐项判定即可。
15．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
七、变式题5巩固
16．（2020·杭州）设函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a≠0)，当x=1时，y=1，当x=8时，y=8，（ ）
A．若h=4，则a<0 B．若h=5，则a>0
C．若h=6，则a<0 D．若h=7，则a>0
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：函数y=a(x-h)2+k(a，h，k是实数，a*0)，对称轴是直线x=h，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时：
若a<0，
若a>0， >h时，满足x=8取到最大值y=8，即h<
故答案为：C
【分析】由函数解析式可得到抛物线的对称轴，当1≤x≤8，且对称轴在取值范围中间时，分情况讨论：a＞0和a＜0，即可求出符合题意的h的值。
17．（2018·潍坊）已知二次函数 ( 为常数)，当自变量 的值满足 时，与其对应的函数值 的最大值为-1，则 的值为（ ）
A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】根据当h＜2时，有-（2-h）2=-1，可求出h的值，再根据h的取值范围即y的最值，可得出符合题意的h的值；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解方程求出h的值，综上所述，可求得h的值。
18．（2017·宁波）抛物线 （m是常数）的顶点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： ∵y=x2-2x+m2+2.
∴y=（x-1）2+m2+1.
∴顶点坐标（1，m2+1）.
∴顶点坐标在第一象限.
故答案为A.
【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.
八、变式题6提升
19．（2021·宿迁）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ＞0；③ ；④不等式 ＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴ ＜0，故②错误
∵抛物线的对称轴为x=1
∴ ，即b=-2a
∴4a+b=2a≠0，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1，1），且过点（3，3）
则 ，解得
∴ ＜0可化为 ＜0，解得：1＜x＜3
故④错误.
故答案为：A.
【分析】①根据开口向上可得a＞0；②根据与x轴无交点可得 ＜0；③由对称轴可得4a+b=2a；④由抛物线顶点坐标和过点（3，3）可得抛物线解析式，即可得 ＜0，可得结果.
20．（2019·鄂州）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③(a+c)2-b2＜0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】二次函数图象张口向上，故a>0，
对称轴 ，故b<0，
图像与y轴的交点在x轴下方，则c<0.
∴abc>0，①错误，不符合题意；
由对称轴，
∵ a-b+c>0，消b得3a+c>0；②正确，符合题意；
由图像可知x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，
则(a+c) 2 -b 2=(a-b+c)(a+b+c)<0，③正确，符合题意；
当x=1时，ymin=a+b+c，又当x=m时，y=am2+bm+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，即a+b≤m(am+b)，④正确，符合题意；
故正确的个数有3个。
故答案选：C
【分析】根据二次函数图象性质、开口方向、对称轴、取特殊值等分别讨论。
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