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【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第11-12题
一、原题11
1．（2020七下·福州期末）计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2，
故答案为：2.
【分析】先计算根号下的乘方，再利用算术平方根的定义求解.
二、变式题1基础
2．（2022·武汉） 计算的结果是 .
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|-2|=2.
故答案为：2.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此计算.
3．化简： = ， = ， = ， =
【答案】；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行计算，即可得出答案.
4．（2021八下·广水期末）化简 = .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = = ，
故答案为： .
【分析】先将被开方数化为假分，再开方即可.
三、变式题2巩固
5．化简： = ， = ， = ， = ， =
【答案】；；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行 计算，即可得出答案.
6．如果a≥0，那么 = ；如果a<0，那么 =
【答案】a；-a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴当a≥0时， =a；
当a＜0时， =-a.
故答案为：a；-a.
【分析】根据二次根式的性质得出，再根据绝对值的性质进行计算，即可得出答案.
7．我们可以把非负数写成一个非负数的平方的形式，如：5=( )2．请把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
（1）2=
（2）a= (a≥0)．
【答案】（1）( )2
（2）( )2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）2=；
（2）a=（a≥0）.
【分析】根据二次根式的性质：当a≥0时，a=，即可得出答案.
8．（2021八下·武汉月考）计算： ； ； .
【答案】；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ； ；
故答案为： ； ； .
【分析】根据二次根式的性质将二次根式逐个化简成最简二次根式即可.
9．计算：
（1） =
（2） =
【答案】（1）2
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）=7-5=2；
（2）=3-5+3=1.
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，再进行减法运算，即可得出答案；
（2）根据二次根式的性质和算术平方根进行化简，再进行加减运算，即可得出答案.
四、变式题3提升
10．（）观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据题意找出规律，利用找出的规律将各个加数化简，再进行有理数的加减法运算即可.
五、原题12
11．（2022·衢州）不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，
∴P（摸出一个球是红球）=.
故答案为：.
【分析】根据题意可知一共有6种结果数，摸出一个球是红球的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
六、变式题4基础
12．（2022·攀枝花）盒子里装有除颜色外，没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，
两次取出的球是1红1黑的概率为.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，根据概率公式即可算出答案.
13．（2022·资阳）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6；骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为：．
故答案为：.
【分析】利用朝上的数字为偶数的面数除以总面数即可求出对应的概率.
14．（2022·西宁）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：全班共有50人，男生有26人，
从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是=，
故答案为：．
【分析】根据全班共有50人，男生有26人，求概率即可。
15．（2022·贵港）从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（-3，-2），（-3，2），（-2，2），（-2，-3），（2，-3），（2，-2），共6个点；在第三象限的点有（-3，-2），（-2，-3），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；
故答案为：.
【分析】列举出所有可能出现的情况，根据第三象限点的坐标特征：横纵坐标均为负，找出满足题意的情况数，然后结合概率公式计算即可.
七、变式题5巩固
16．（2022·盐城）如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A，B，都可使小灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于.
故答案为：.
【分析】根据题意可得：三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，然后根据概率公式进行计算.
17．（2022·娄底）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个，
∴摸出的球编号为偶数的概率.
故答案为：.
【分析】根据概率的计算公式，利用编号为1~15号台球中偶数球的个数除以球的总个数即可.
18．（2022·南充）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6张卡片，其中是物理变化的卡片有2张卡片， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是.
故答案为：.
【分析】利用概率公式进行计算，即可得出答案.
八、变式题6提升
19．（2021·盘锦）从不等式组 的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式
【解析】【解答】解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再算出所有符合条件的整数，再利用概率公式求解即可。
20．（2020·广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 , , 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 , 中任意一个关闭时，满足：
一共有： , ,、 , 、 , 三种情况，满足条件的有 , 、 , 两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为： ．
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 , 中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
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【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第11-12题
一、原题11
1．（2020七下·福州期末）计算： ．
二、变式题1基础
2．（2022·武汉） 计算的结果是 .
3．化简： = ， = ， = ， =
4．（2021八下·广水期末）化简 = .
三、变式题2巩固
5．化简： = ， = ， = ， = ， =
6．如果a≥0，那么 = ；如果a<0，那么 =
7．我们可以把非负数写成一个非负数的平方的形式，如：5=( )2．请把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
（1）2=
（2）a= (a≥0)．
8．（2021八下·武汉月考）计算： ； ； .
9．计算：
（1） =
（2） =
四、变式题3提升
10．（）观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你发现的规律，计算：
其结果为
五、原题12
11．（2022·衢州）不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 ．
六、变式题4基础
12．（2022·攀枝花）盒子里装有除颜色外，没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出1个球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为 .
13．（2022·资阳）投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 ．
14．（2022·西宁）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 ．
15．（2022·贵港）从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是 .
七、变式题5巩固
16．（2022·盐城）如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A，B，都可使小灯泡发光．现任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于
17．（2022·娄底）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 .
18．（2022·南充）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是
八、变式题6提升
19．（2021·盘锦）从不等式组 的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是
20．（2020·广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关 , , 中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2，
故答案为：2.
【分析】先计算根号下的乘方，再利用算术平方根的定义求解.
2．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|-2|=2.
故答案为：2.
【分析】二次根式的性质：=|a|，据此计算.
3．【答案】；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行计算，即可得出答案.
4．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： = = ，
故答案为： .
【分析】先将被开方数化为假分，再开方即可.
5．【答案】；；；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
；
；
；
.
【分析】根据二次根式的性质进行 计算，即可得出答案.
6．【答案】a；-a
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴当a≥0时， =a；
当a＜0时， =-a.
故答案为：a；-a.
【分析】根据二次根式的性质得出，再根据绝对值的性质进行计算，即可得出答案.
7．【答案】（1）( )2
（2）( )2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）2=；
（2）a=（a≥0）.
【分析】根据二次根式的性质：当a≥0时，a=，即可得出答案.
8．【答案】；；
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ； ；
故答案为： ； ； .
【分析】根据二次根式的性质将二次根式逐个化简成最简二次根式即可.
9．【答案】（1）2
（2）1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）=7-5=2；
（2）=3-5+3=1.
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，再进行减法运算，即可得出答案；
（2）根据二次根式的性质和算术平方根进行化简，再进行加减运算，即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
......
依此类推，可得：
∴......
=
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】根据题意找出规律，利用找出的规律将各个加数化简，再进行有理数的加减法运算即可.
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，
∴P（摸出一个球是红球）=.
故答案为：.
【分析】根据题意可知一共有6种结果数，摸出一个球是红球的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，
两次取出的球是1红1黑的概率为.
故答案为：.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，根据概率公式即可算出答案.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6；骰子共有6面，
∴朝上的数字为偶数的概率为：．
故答案为：.
【分析】利用朝上的数字为偶数的面数除以总面数即可求出对应的概率.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：全班共有50人，男生有26人，
从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是=，
故答案为：．
【分析】根据全班共有50人，男生有26人，求概率即可。
15．【答案】
【知识点】概率公式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵从-3，-2，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（-3，-2），（-3，2），（-2，2），（-2，-3），（2，-3），（2，-2），共6个点；在第三象限的点有（-3，-2），（-2，-3），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；
故答案为：.
【分析】列举出所有可能出现的情况，根据第三象限点的坐标特征：横纵坐标均为负，找出满足题意的情况数，然后结合概率公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于.
故答案为：.
【分析】根据题意可得：三个开关，只有闭合C小灯泡才发光，然后根据概率公式进行计算.
17．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个，
∴摸出的球编号为偶数的概率.
故答案为：.
【分析】根据概率的计算公式，利用编号为1~15号台球中偶数球的个数除以球的总个数即可.
18．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：共有6张卡片，其中是物理变化的卡片有2张卡片， ∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是.
故答案为：.
【分析】利用概率公式进行计算，即可得出答案.
19．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式
【解析】【解答】解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集，再算出所有符合条件的整数，再利用概率公式求解即可。
20．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 , 中任意一个关闭时，满足：
一共有： , ,、 , 、 , 三种情况，满足条件的有 , 、 , 两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为： ．
【分析】分析电路图知：要让灯泡发光， 必须闭合，同时 , 中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
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