【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第13-14题
一、原题13
1．（2022·衢州）如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB是圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO
∵∠AOB=∠C+∠CBO=2∠C=50°，
∴∠C=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BOA的度数；利用等边对等角可证得∠C=∠CBO；再利用三角形的外角的性质，可求出∠C的度数.
二、变式题1基础
2．（2022·资阳）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是 度．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35.
【分析】根据圆周角定理可得∠C=90°，则∠BAC=90°-∠B=55°，根据切线的性质可得∠BAD=90°，然后根据∠CAD=90°-∠BAC进行计算.
3．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
4．（2020·枣庄）如图，AB是 的直径，PA切 于点A，线段PO交 于点C．连接BC，若 ，则 ．
【答案】27°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接AC，
是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵PA切 于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到 ，根据三角形外角的性质可得 ，因此可得 ，求解即可．
三、变式题2巩固
5．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是 .
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
6．（2021·温州）如图， 与 的边 相切，切点为 .将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使点 落在 上，边 交线段 于点 .若 ，则 度.
【答案】85
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连结OO′，
∵将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
∴BO′=BO=OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′=60°，
∵ 与 的边 相切，
∴∠OBA=∠O′BA′=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°
∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°
∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°.
故答案为：85.
【分析】连接OO'，根据切线的性质得到∠OBA= 90°，再根据旋转的性质得∠A=∠A'=25，∠ABA'=∠OBO'，BO= BO'，则可得出△OO'B为等边三角形，可知∠OBO' = 60°，从而得出∠CBO=30°，再利用余角的性质求出求出∠AOB，最后然后利用三角形内角和定理求∠OCB即可.
7．（2021·北京）如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ．
【答案】130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【分析】根据切线的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可。
8．（2020九上·长乐期中）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O.若直线 PA 与⊙O 相切于点
A，则∠PAB＝ .
【答案】30°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°.
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°.
故答案为：30°.
【分析】连接OB，AD，BD，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOB的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ADB，最后根据同角的余角相等，即可解答.
四、变式题3提升
9．（2021·南京）如图， 是五边形 的外接圆的切线，则 .
【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】如图：过圆心连接五边形 的各顶点，
则
.
故答案为：180°.
【分析】过圆心连接五边形 的各顶点，利用三角形的内角和定理，可求出∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA；再利用切线的性质可求出∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ的值.
五、原题14
10．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
六、变式题4基础
11．（2018·日照）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为 ．
【答案】x（x+40）=1200
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
【分析】设绿地宽为x米，则长为（x+40）米，根据矩形的面积等于长乘以宽即可列出方程。
12．（2021·青山模拟）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为 米．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【分析】设道路的宽为x米，根据图形列出方程求解即可。
13．（2020·邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ．
【答案】x(x+12)=864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
14．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.
【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意.
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答.
15．（2019·徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 ，宽 .在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 ？
【答案】解：设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去，
∴ ，
答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ， 根据矩形的面积计算方法，及长方体盒子侧面积的计算方法，由 长方体盒子的侧面积为 建立方程，求解并检验即可。
七、变式题5巩固
16．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
17．（2021九上·平阴期末）某校劳动教育课上，老师让同学们设计劳动基地的规划．如图，在块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种绿植，要使栽种面积为，则修建的路宽应为多少米？
【答案】解：设道路的宽为x米．依题意得：
（15-x）（10-x）=126，
150-25 x + x2=126
x2-25 x+24=0
（x -1）（x -24）=0
解得：x1=1，x2=24（不合题意舍去）
答：道路宽为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设道路的宽为x米．根据平移的性质可知绿植部分是一个长为（15-x）m，宽为（10-x）米的矩形， 根据矩形的面积公式列出方程并解之即可.
18．（2019·襄阳）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ ）16 ，宽（ ）9 的矩形场地 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 ，则小路的宽应为多少？
【答案】解：解：设小路的宽应为x米，
根据题意得： ，
解得： ， .
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去，
∴ .
答：小路的宽应为1米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】利用平移法，根据（16-2×小路的宽）（9-小路的宽）=112，设未知数，列方程求出方程的解。
19．（2019·南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【答案】解：设扩充后广场的长为 ，宽为 .
根据题意，得 .
解得 （不合题意，舍去）.
所以 .
答：扩充后广场的长和宽应分别为 和
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设扩充后广场的长为 ，宽为 ，扩建后广场的面积为3x·2x平方米，扩建后的广场铺设地砖费用为3x·2x×100元；扩建部分的面积为（3x·2x-50×40）平方米，扩建部分的费用为30（3x·2x-50×40）元，根据扩建部分的费用+扩建后的广场铺设地砖费用=642000元，列出方程，求解并检验即可。
八、变式题6提升
20．（2021九上·四会月考）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= cm，PB= cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2t；（5-t）
（2）解：由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）解：存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
【分析】（1）先求出AP=tcm，再求出PB=（5-t）cm，最后计算求解即可；
（2）先求出 （5-t）2+（2t）2=52， 再计算求解即可；
（3）根据题意求出 （5-t）×2t×=4， 再解方程即可。
1 / 1【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第13-14题
一、原题13
1．（2022·衢州）如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
二、变式题1基础
2．（2022·资阳）如图，内接于是直径，过点A作的切线．若，则的度数是 度．
3．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
4．（2020·枣庄）如图，AB是 的直径，PA切 于点A，线段PO交 于点C．连接BC，若 ，则 ．
三、变式题2巩固
5．（2020·苏州）如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点D，连接 .若 ，则 的度数是 .
6．（2021·温州）如图， 与 的边 相切，切点为 .将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，使点 落在 上，边 交线段 于点 .若 ，则 度.
7．（2021·北京）如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ．
8．（2020九上·长乐期中）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O.若直线 PA 与⊙O 相切于点
A，则∠PAB＝ .
四、变式题3提升
9．（2021·南京）如图， 是五边形 的外接圆的切线，则 .
五、原题14
10．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
六、变式题4基础
11．（2018·日照）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为 ．
12．（2021·青山模拟）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为 米．
13．（2020·邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ．
14．（2020·西藏）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.
15．（2019·徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 ，宽 .在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为 ？
七、变式题5巩固
16．（2020·南通） 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 .
17．（2021九上·平阴期末）某校劳动教育课上，老师让同学们设计劳动基地的规划．如图，在块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种绿植，要使栽种面积为，则修建的路宽应为多少米？
18．（2019·襄阳）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（ ）16 ，宽（ ）9 的矩形场地 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 平行，另一条与 平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 ，则小路的宽应为多少？
19．（2019·南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
八、变式题6提升
20．（2021九上·四会月考）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ= cm，PB= cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】25°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB是圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO
∵∠AOB=∠C+∠CBO=2∠C=50°，
∴∠C=25°.
故答案为：25°.
【分析】连接OB，利用切线的性质可证得∠OBA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BOA的度数；利用等边对等角可证得∠C=∠CBO；再利用三角形的外角的性质，可求出∠C的度数.
2．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠C=90°，
∵，
∴∠BAC=55°，
∵AD与相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．
故答案为：35.
【分析】根据圆周角定理可得∠C=90°，则∠BAC=90°-∠B=55°，根据切线的性质可得∠BAD=90°，然后根据∠CAD=90°-∠BAC进行计算.
3．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；同余及其性质（奥数类）
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35.
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.
4．【答案】27°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】如图，连接AC，
是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵PA切 于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到 ，根据三角形外角的性质可得 ，因此可得 ，求解即可．
5．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数.
6．【答案】85
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连结OO′，
∵将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ，
∴BO′=BO=OO′，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠OBO′=60°，
∵ 与 的边 相切，
∴∠OBA=∠O′BA′=90°，
∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°
∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°
∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°.
故答案为：85.
【分析】连接OO'，根据切线的性质得到∠OBA= 90°，再根据旋转的性质得∠A=∠A'=25，∠ABA'=∠OBO'，BO= BO'，则可得出△OO'B为等边三角形，可知∠OBO' = 60°，从而得出∠CBO=30°，再利用余角的性质求出求出∠AOB，最后然后利用三角形内角和定理求∠OCB即可.
7．【答案】130°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【分析】根据切线的性质可得，再利用四边形的内角和求解即可。
8．【答案】30°
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°.
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°.
故答案为：30°.
【分析】连接OB，AD，BD，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOB的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ADB，最后根据同角的余角相等，即可解答.
9．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】如图：过圆心连接五边形 的各顶点，
则
.
故答案为：180°.
【分析】过圆心连接五边形 的各顶点，利用三角形的内角和定理，可求出∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA；再利用切线的性质可求出∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ的值.
10．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
11．【答案】x（x+40）=1200
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由题意可得，
x（x+40）=1200，
故答案是：x（x+40）=1200．
【分析】设绿地宽为x米，则长为（x+40）米，根据矩形的面积等于长乘以宽即可列出方程。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【分析】设道路的宽为x米，根据图形列出方程求解即可。
13．【答案】x(x+12)=864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
14．【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意.
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答.
15．【答案】解：设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不合题意，舍去，
∴ ，
答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设剪去正方形的边长为 ，则做成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，高为 ， 根据矩形的面积计算方法，及长方体盒子侧面积的计算方法，由 长方体盒子的侧面积为 建立方程，求解并检验即可。
16．【答案】x（x﹣12）＝864
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.
依题意，得：x（x﹣12）＝864.
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
17．【答案】解：设道路的宽为x米．依题意得：
（15-x）（10-x）=126，
150-25 x + x2=126
x2-25 x+24=0
（x -1）（x -24）=0
解得：x1=1，x2=24（不合题意舍去）
答：道路宽为1m．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设道路的宽为x米．根据平移的性质可知绿植部分是一个长为（15-x）m，宽为（10-x）米的矩形， 根据矩形的面积公式列出方程并解之即可.
18．【答案】解：解：设小路的宽应为x米，
根据题意得： ，
解得： ， .
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去，
∴ .
答：小路的宽应为1米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】利用平移法，根据（16-2×小路的宽）（9-小路的宽）=112，设未知数，列方程求出方程的解。
19．【答案】解：设扩充后广场的长为 ，宽为 .
根据题意，得 .
解得 （不合题意，舍去）.
所以 .
答：扩充后广场的长和宽应分别为 和
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设扩充后广场的长为 ，宽为 ，扩建后广场的面积为3x·2x平方米，扩建后的广场铺设地砖费用为3x·2x×100元；扩建部分的面积为（3x·2x-50×40）平方米，扩建部分的费用为30（3x·2x-50×40）元，根据扩建部分的费用+扩建后的广场铺设地砖费用=642000元，列出方程，求解并检验即可。
20．【答案】（1）2t；（5-t）
（2）解：由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）解：存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
【分析】（1）先求出AP=tcm，再求出PB=（5-t）cm，最后计算求解即可；
（2）先求出 （5-t）2+（2t）2=52， 再计算求解即可；
（3）根据题意求出 （5-t）×2t×=4， 再解方程即可。
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