【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第15-16题
一、原题15
1．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
二、变式题1基础
2．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
3．（2022·南通）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（ 3m， 2n）是函数y＝kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∵m≠0
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（ 3m， 2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m＋2m|） |3m m|＝1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用点A，B，C的坐标及反比例函数的解析式，可得到n＝m，可推出B、C关于原点对称，可证得BO＝CO；再利用△ABC的面积可得到△AOB的面积；然后根据S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，可得到关于m的方程，解方程求出m2的值，即可求出k的值.
4．（2022·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点D，∠OAB＝90°，
∴D（m，），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m，），
∴AB＝3m，OA＝，
∴反比例函数的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，
∴，
∵，
∴，即，
解得k＝1，
故答案为：1．
【分析】设D（m，），则B（3m，），可得AB＝3m，OA＝，先求出，利用割补法可得，即，再求出k的值即可。
三、变式题2巩固
5．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OD，过C作，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，，
∴，，2OC=OA，
∵，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴，
∴，
∴k＝，
故答案为：．
【分析】连接OD，过C作，交x轴于E，先证出△OCE∽△OAB，可得，再结合，可得，最后求出k的值即可。
6．（2022·锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A，若S△OAB=1，则k的值为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2．
【分析】设A(a，b) ，作A过x轴的垂线与x 轴交于C ，先证明△ADC≌△BDO，可得S△ADC=S△BDO，再利用割补法可得S△OAC=1，利用三角形的面积公式可得×OC×AC=ab=1，求出ab的值，再将点A的坐标代入y=，求出k的值即可。
7．（2022·威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
【答案】24
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥y轴，先证明可得OA=BE=2，OB=CE=4，再利用线段的和差求出OE的长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例解析式即可得到答案。
8．（2021九上·龙沙期末）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，，的面积为8，则 ．
【答案】-4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S ABCD=8
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为4
即DO EO=4
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=-4
故答案为：-4．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，得出AB=CD，ABDO为矩形，S矩形ABDO=S ABCD=8，即可得出四边形PDOE为矩形面积为4，即DO EO=4，设P点坐标为（x，y），即可得出k的值。
四、变式题3提升
9．（2022·黄石）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC，则，
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【分析】过点E作EF⊥BC，利用矩形的性质和三角形的中位线定理可证得；设A点坐标为坐标为（c，2b），利用点A，E在反比例函数图象上，可得方程，解方程可得到a=2c，由此可表示出BF，FC，OC的长；然后利用三角形的面积公式建立关于bc的方程，解方程求出bc的长，即可得到k的值.
10．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
五、原题16
11．（2022·衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近点A，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1） km．
（2） = ．
【答案】（1）1.8
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）CD EF GJ＝5.5 1 2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8.
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，
∴AZ＝CD EF GJ＝1.8，
BZ＝DE＋FG CB AJ＝4.9＋3.1 3 2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）观察图形可得到CD，EF，GL的长，然后代入计算求出CD EF GJ的值.
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．利用图中数据求出AZ，BZ的长；利用点P，A，B，Q共线，利用对顶角相等，可证得∠MBQ=∠ZBA，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BMQ∽△BZA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出k的值.
六、变式题4基础
12．（2021·龙湾模拟）如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2， ， .出纸盘 下方为一段以 为圆心的圆弧 ，与上部面板线段 相接于点 ，与 相切于点 .测得 ， .进纸盘 可以随调节扣 向右平移， ， .当 向右移动 至 时，点 ， ， 在同一直线上，则 的长度为 .若点 到 的距离为 ， ，连结 ，线段 恰好过 的中点.若 ，则点 到直线 的距离为 .
【答案】34；32
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过F′作FG⊥AB于G交CD于M，
∵ ， ，
∴∠GBH′=∠BH′F′=∠F′GB=90°，
∴四边形BGF′H′是矩形，
∴GF′=BH′，F′H′=FH=MC=GB=2cm，
∵DM∥AG，
∴∠F′DM=∠F′AG，∠F′GA=∠F′MD，
∴△DMF′∽△AGF′，
∴ ，
∵ cm，
， cm，DM=DC-CM=18-2=16cm，
∴ ，
∴ cm，
∴AB=AG+BG=32+2=34cm，
连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，
∵OD⊥CD，AB∥CD，
∴EJ∥OD，EK⊥JE，
∵tanA=4，JE=16cm，
∴ ，
∵EK=AB-AJ-CD=34-4-18=12cm，KD=BC-JE=24-16=8cm，
∵PO过 中点，DE为弦
∴OP⊥ED，且EN=DN，
∴OP为DE垂直平分线，
∴PE=PD=
在Rt△EKD中，由勾股定理ED= ，
∴ND=EN=2 ，
∵EK⊥OD，ON⊥ED，
∴∠EKD=∠OND=90°，
∴∠EDK=∠ODN，
∴△EKD∽△OND，
∴ 即 ，
∴OD=13，
∵tan∠POL=tan∠DEK= ，
∴设PL=2m，OL=3m，
∴DL=OL-OD=3m-13，
在Rt△PDL中，由勾股定理得：PD2=DL2+PL2，
即
整理得 ，
解得m=7，或m=-1(舍去)
∴PL=2m=2×7=14cm，
∵PR⊥BH，DC⊥BH，OL⊥CD，
∴∠LDC=∠DCR=∠LRC=90°，
∴四边形DCRL是矩形，
∴LR=CD=18cm，
∴PR=PL+LR=14+18=32cm.
故答案为：34，32.
【分析】过F′作FG⊥AB于G交CD于M，由 ， ，可证四边形BGF′H′是矩形，由DM∥AG，可证△DMF′∽△AGF′，可得 ，可求 cm，连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，OD⊥CD，AB∥CD，可得EJ∥OD，EK⊥JE，由tanA=4，JE=16cm，可求 可求EK=12cm，KD =8cm，由PO过 中点，利用垂径定理，PE=PD= ，由勾股定理ED ，可得ND=EN=2 ，可证△EKD∽△OND，可求OD=13，由tan∠POL=tan∠DEK= ，设PL=2m，OL=3m，构造方程 ，解之即可.
13．（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为 步．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，
解得：CK= ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。
14．（2017·天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
【答案】5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
15．（2014·遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 里．
【答案】1.05
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA=3.5里，EA=4.5里，
∴ ，
解得：FH=1.05里．
故答案为：1.05．
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
16．（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是 .
【答案】（1）
（2）12
【知识点】相似三角形的应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=-2+m=0，即m=2.
∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2）
∴OB=OA=2，AB=2 ，
设点O到直线AB的距离是d，
由S△OAB= ，
则4=2 d，
∴d= .
2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m),
则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，
当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合，
∴m>0.
∵∠CPA=∠ABO=45°，
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，
即∠OPC=∠BAP，
则△PCD~△APB，
∴ ，
即 ，
解得m=12.
故答案为 ；12.
【分析】（1）点C与点A都在x轴上，当直线AB经过点C，则点C与点A重合，将C点坐标代入y=-x+m代入求出m的值，则可写出B的坐标和OB，求出AB，再由等积法可解出；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD~△APB，对m的分析进行讨论，在m<0时，点A在x轴负半轴，而此时∠CPA>∠ABO，故m>0,∴由相似比求出边的相应关系.
七、变式题5巩固
17．（2021·金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 ， .
（1）ED的长为 .
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 （如图2），点P的对应点为 ， 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 反射后，在MN上的光点为 .若 ，则 的长为 .
【答案】（1）13
（2）
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意，
∵ ，
∴ ，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.
过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x，E′D′=5+x，
在Rt△BDN中，
∴ ，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故答案为：13.
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x，E′D′=5+x，
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B= ，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B= +∠E′D′F，
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F，
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′.
∴ ，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9- ，
∴ 即 ，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5= .
故答案为 .
【分析】 （1） 利用垂直的定义可证得∠ABP=∠EDP=90°，利用平面镜成像原理可知∠APB=∠EPD，可推出△ABP∽△EDP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED的长.
（2）利用勾股定理求出D′B的长，再证明△ABH∽△BD′D∽△E′D′F，利用相似三角形的对应边成比例，求出AH，BH的长，表示出E′F，F′D的长；利用平面镜成像原理可知∠A′PB=∠E′P′D，可推出△AHP′∽△E′FP′，利用相似三角形的性质可求出HP′、P′D′、P′F的长，利用比例式建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到EE′的长.
18．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
19．（2017·历下模拟）如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C点）．将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．
①∠NAP=45°；
②当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
③四边形AMCB的面积最大值为10；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．
【答案】①③⑤
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB，
由折叠知，∠DAN=∠EAN，∠AEN=∠ADN=90°，AE=AD
∴AE=AB，
在Rt△APE和Rt△APB中， ，
∴Rt△APE≌Rt△APB，
∴∠EAP=∠BAP，
∵∠DAN=∠EAN，∠BAD=90°，
∴∠PAN=45°，
故①正确，
当PB=PC=PE=2时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故②错误，
设PB=x，则CP=4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴ ，
∴CM= x（4﹣x），
∴S四边形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确，
作MG⊥AB于G，
∵AM= = ，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值= =5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK，AK=PK= PB，
∴PB+ PB=4，
∴PB=4 ﹣4，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【分析】①正确，先判断出Rt△APE≌Rt△APB，即可得出结论；
②错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM= = ，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，列出关于PB的方程即可解决问题．
八、变式题6提升
20．（2021·衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 ， ， .
（1）椅面CE的长度为 cm.
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 的度数达到最小值 时，A，B两点间的距离为 cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： ， ， ）
【答案】（1）40
（2）12.5
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，
∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
∴ ，
解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；
故答案为：40；
（2）在图2中，
∵ ，椅面CE与地面平行，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵H是CD的中点，
∴ ，
∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
∴ ，
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：12.5.
【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，利用椅面CE与地面平行，可证得△MFC∽△AFB，利用相似三角形的性质可求出CM的值，利用CE=AB-CM，可求出CE的长.
（2）利用AAS可证得△AMD≌△BEC，利用全等三角形的性质，可证得DM=CE，MC=ED=8，同时可求出CD的长；再利用线段中点的定义求出CH的长；然后证明△COD∽△BOA，利用相似三角形的性质可求出CO与BO的比值；图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，利用解直角三角形求出CD的长，由此可求出AB的长.
1 / 1【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第15-16题
一、原题15
1．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
二、变式题1基础
2．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
3．（2022·南通）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为 ．
4．（2022·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点．在中，，边在轴上，点是边上一点，且，反比例函数的图象经过点交于点，连接．若，则的值为 ．
三、变式题2巩固
5．（2022·呼伦贝尔、兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数（）的图象经过OA的中点C，交于点D，连接．若的面积是1，则k的值是 ．
6．（2022·锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图象经过点A，若S△OAB=1，则k的值为 ．
7．（2022·威海）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 ．
8．（2021九上·龙沙期末）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，，的面积为8，则 ．
四、变式题3提升
9．（2022·黄石）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则 ．
10．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
五、原题16
11．（2022·衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近点A，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．
（1） km．
（2） = ．
六、变式题4基础
12．（2021·龙湾模拟）如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2， ， .出纸盘 下方为一段以 为圆心的圆弧 ，与上部面板线段 相接于点 ，与 相切于点 .测得 ， .进纸盘 可以随调节扣 向右平移， ， .当 向右移动 至 时，点 ， ， 在同一直线上，则 的长度为 .若点 到 的距离为 ， ，连结 ，线段 恰好过 的中点.若 ，则点 到直线 的距离为 .
13．（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为 步．
14．（2017·天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
15．（2014·遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 里．
16．（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是 .
七、变式题5巩固
17．（2021·金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 ， .
（1）ED的长为 .
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 （如图2），点P的对应点为 ， 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 反射后，在MN上的光点为 .若 ，则 的长为 .
18．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
19．（2017·历下模拟）如图，边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C点）．将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有 （写出所有正确结论的序号）．
①∠NAP=45°；
②当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；
③四边形AMCB的面积最大值为10；
④线段AM的最小值为2 ；
⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．
八、变式题6提升
20．（2021·衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 ， ， .
（1）椅面CE的长度为 cm.
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 的度数达到最小值 时，A，B两点间的距离为 cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
2．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
3．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（ 3m， 2n）是函数y＝kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∵m≠0
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（ 3m， 2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m＋2m|） |3m m|＝1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用点A，B，C的坐标及反比例函数的解析式，可得到n＝m，可推出B、C关于原点对称，可证得BO＝CO；再利用△ABC的面积可得到△AOB的面积；然后根据S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，可得到关于m的方程，解方程求出m2的值，即可求出k的值.
4．【答案】1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点D，∠OAB＝90°，
∴D（m，），
∵OD：DB＝1：2，
∴B（3m，），
∴AB＝3m，OA＝，
∴反比例函数的图象经过点D交AB于点C，∠OAB＝90°，
∴，
∵，
∴，即，
解得k＝1，
故答案为：1．
【分析】设D（m，），则B（3m，），可得AB＝3m，OA＝，先求出，利用割补法可得，即，再求出k的值即可。
5．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OD，过C作，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数（x＞0）的图象经过OA的中点C，，
∴，，2OC=OA，
∵，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∴，
∴，
∴k＝，
故答案为：．
【分析】连接OD，过C作，交x轴于E，先证出△OCE∽△OAB，可得，再结合，可得，最后求出k的值即可。
6．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，
∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y=上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2．
【分析】设A(a，b) ，作A过x轴的垂线与x 轴交于C ，先证明△ADC≌△BDO，可得S△ADC=S△BDO，再利用割补法可得S△OAC=1，利用三角形的面积公式可得×OC×AC=ab=1，求出ab的值，再将点A的坐标代入y=，求出k的值即可。
7．【答案】24
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【分析】过点C作CE⊥y轴，先证明可得OA=BE=2，OB=CE=4，再利用线段的和差求出OE的长，即可得到点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例解析式即可得到答案。
8．【答案】-4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S ABCD=8
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为4
即DO EO=4
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=-4
故答案为：-4．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形，得出AB=CD，ABDO为矩形，S矩形ABDO=S ABCD=8，即可得出四边形PDOE为矩形面积为4，即DO EO=4，设P点坐标为（x，y），即可得出k的值。
9．【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC，则，
设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，
故，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【分析】过点E作EF⊥BC，利用矩形的性质和三角形的中位线定理可证得；设A点坐标为坐标为（c，2b），利用点A，E在反比例函数图象上，可得方程，解方程可得到a=2c，由此可表示出BF，FC，OC的长；然后利用三角形的面积公式建立关于bc的方程，解方程求出bc的长，即可得到k的值.
10．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
11．【答案】（1）1.8
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）CD EF GJ＝5.5 1 2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8.
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，
∴AZ＝CD EF GJ＝1.8，
BZ＝DE＋FG CB AJ＝4.9＋3.1 3 2.4＝2.6，
∵点P，A，B，Q共线，
∴∠MBQ＝∠ZBA，
又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）观察图形可得到CD，EF，GL的长，然后代入计算求出CD EF GJ的值.
（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．利用图中数据求出AZ，BZ的长；利用点P，A，B，Q共线，利用对顶角相等，可证得∠MBQ=∠ZBA，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△BMQ∽△BZA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出k的值.
12．【答案】34；32
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过F′作FG⊥AB于G交CD于M，
∵ ， ，
∴∠GBH′=∠BH′F′=∠F′GB=90°，
∴四边形BGF′H′是矩形，
∴GF′=BH′，F′H′=FH=MC=GB=2cm，
∵DM∥AG，
∴∠F′DM=∠F′AG，∠F′GA=∠F′MD，
∴△DMF′∽△AGF′，
∴ ，
∵ cm，
， cm，DM=DC-CM=18-2=16cm，
∴ ，
∴ cm，
∴AB=AG+BG=32+2=34cm，
连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，
∵OD⊥CD，AB∥CD，
∴EJ∥OD，EK⊥JE，
∵tanA=4，JE=16cm，
∴ ，
∵EK=AB-AJ-CD=34-4-18=12cm，KD=BC-JE=24-16=8cm，
∵PO过 中点，DE为弦
∴OP⊥ED，且EN=DN，
∴OP为DE垂直平分线，
∴PE=PD=
在Rt△EKD中，由勾股定理ED= ，
∴ND=EN=2 ，
∵EK⊥OD，ON⊥ED，
∴∠EKD=∠OND=90°，
∴∠EDK=∠ODN，
∴△EKD∽△OND，
∴ 即 ，
∴OD=13，
∵tan∠POL=tan∠DEK= ，
∴设PL=2m，OL=3m，
∴DL=OL-OD=3m-13，
在Rt△PDL中，由勾股定理得：PD2=DL2+PL2，
即
整理得 ，
解得m=7，或m=-1(舍去)
∴PL=2m=2×7=14cm，
∵PR⊥BH，DC⊥BH，OL⊥CD，
∴∠LDC=∠DCR=∠LRC=90°，
∴四边形DCRL是矩形，
∴LR=CD=18cm，
∴PR=PL+LR=14+18=32cm.
故答案为：34，32.
【分析】过F′作FG⊥AB于G交CD于M，由 ， ，可证四边形BGF′H′是矩形，由DM∥AG，可证△DMF′∽△AGF′，可得 ，可求 cm，连结OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，OD⊥CD，AB∥CD，可得EJ∥OD，EK⊥JE，由tanA=4，JE=16cm，可求 可求EK=12cm，KD =8cm，由PO过 中点，利用垂径定理，PE=PD= ，由勾股定理ED ，可得ND=EN=2 ，可证△EKD∽△OND，可求OD=13，由tan∠POL=tan∠DEK= ，设PL=2m，OL=3m，构造方程 ，解之即可.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DEFG是正方形，∴∠EDG=90°，∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，∴CK：100=100：15，
解得：CK= ．
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质及已知证明∠C=∠HDA，∠CKD=∠DHA，再证明△CKD∽△DHA，得出对应边成比例，就可求出CK的长。
14．【答案】5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ，
解得AM=5m．则小明的影长为5米．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
15．【答案】1.05
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB=9里，DA=7里，EG=15里，
∴FA=3.5里，EA=4.5里，
∴ ，
解得：FH=1.05里．
故答案为：1.05．
【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
16．【答案】（1）
（2）12
【知识点】相似三角形的应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=-2+m=0，即m=2.
∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2）
∴OB=OA=2，AB=2 ，
设点O到直线AB的距离是d，
由S△OAB= ，
则4=2 d，
∴d= .
2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，
由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m),
则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，
当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合，
∴m>0.
∵∠CPA=∠ABO=45°，
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，
即∠OPC=∠BAP，
则△PCD~△APB，
∴ ，
即 ，
解得m=12.
故答案为 ；12.
【分析】（1）点C与点A都在x轴上，当直线AB经过点C，则点C与点A重合，将C点坐标代入y=-x+m代入求出m的值，则可写出B的坐标和OB，求出AB，再由等积法可解出；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD~△APB，对m的分析进行讨论，在m<0时，点A在x轴负半轴，而此时∠CPA>∠ABO，故m>0,∴由相似比求出边的相应关系.
17．【答案】（1）13
（2）
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意，
∵ ，
∴ ，
∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.
过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x，E′D′=5+x，
在Rt△BDN中，
∴ ，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故答案为：13.
（2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x，E′D′=5+x，
在Rt△BDN中，
∵BD=12，DD′=5，
由勾股定理D′B= ，
∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°，
∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B= +∠E′D′F，
∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F，
∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′.
∴ ，
∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，
P′F= P′D′-FD′=9- ，
∴ 即 ，
解得x=1.5，
经检验x=1.5是方程的解，
EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5= .
故答案为 .
【分析】 （1） 利用垂直的定义可证得∠ABP=∠EDP=90°，利用平面镜成像原理可知∠APB=∠EPD，可推出△ABP∽△EDP，利用相似三角形的对应边成比例，可求出ED的长.
（2）利用勾股定理求出D′B的长，再证明△ABH∽△BD′D∽△E′D′F，利用相似三角形的对应边成比例，求出AH，BH的长，表示出E′F，F′D的长；利用平面镜成像原理可知∠A′PB=∠E′P′D，可推出△AHP′∽△E′FP′，利用相似三角形的性质可求出HP′、P′D′、P′F的长，利用比例式建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到EE′的长.
18．【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
19．【答案】①③⑤
【知识点】全等三角形的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB，
由折叠知，∠DAN=∠EAN，∠AEN=∠ADN=90°，AE=AD
∴AE=AB，
在Rt△APE和Rt△APB中， ，
∴Rt△APE≌Rt△APB，
∴∠EAP=∠BAP，
∵∠DAN=∠EAN，∠BAD=90°，
∴∠PAN=45°，
故①正确，
当PB=PC=PE=2时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y= ，
∴NE≠EP，故②错误，
设PB=x，则CP=4﹣x，
∵△CMP∽△BPA，
∴ ，
∴CM= x（4﹣x），
∴S四边形AMCB= [4+ x（4﹣x）]×4=﹣ x2+2x+8=﹣ （x﹣2）2+10，
∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故③正确，
作MG⊥AB于G，
∵AM= = ，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣ x（4﹣x）= （x﹣2）2+3，
∴x=2时，AG最小值=3，
∴AM的最小值= =5，故④错误．
∵△ABP≌△ADN时，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK，AK=PK= PB，
∴PB+ PB=4，
∴PB=4 ﹣4，故⑤正确．
故答案为：①③⑤．
【分析】①正确，先判断出Rt△APE≌Rt△APB，即可得出结论；
②错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
③正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可．
④错误，作MG⊥AB于G，因为AM= = ，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5．
⑤正确，在AB上取一点K使得AK=PK，列出关于PB的方程即可解决问题．
20．【答案】（1）40
（2）12.5
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，
∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
∴ ，
解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；
故答案为：40；
（2）在图2中，
∵ ，椅面CE与地面平行，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵H是CD的中点，
∴ ，
∵椅面CE与地面平行，
∴ ，
∴ ，
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：12.5.
【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，利用椅面CE与地面平行，可证得△MFC∽△AFB，利用相似三角形的性质可求出CM的值，利用CE=AB-CM，可求出CE的长.
（2）利用AAS可证得△AMD≌△BEC，利用全等三角形的性质，可证得DM=CE，MC=ED=8，同时可求出CD的长；再利用线段中点的定义求出CH的长；然后证明△COD∽△BOA，利用相似三角形的性质可求出CO与BO的比值；图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，利用解直角三角形求出CD的长，由此可求出AB的长.
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