【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第17-18题
一、原题17
1．（2022·衢州）
（1）因式分解：．
（2）化简：．
二、变式题1基础
2．（2022八下·南召开学考）因式分解：
（1）；
（2）.
3．（2021八上·富裕期末）因式分解：．
4．（2021八上·朝阳期中）因式分解下列各题：
（1）
（2）
5．（2017·天门）化简： ﹣ ．
6．（2012·湛江）计算： ．
三、变式题2巩固
7．（2021八上·川汇期末）
（1）运用乘法公式计算：；
（2）分解因式：.
8．（2021八上·东平月考）请将下列各式因式分解．
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
（3）2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）．
四、变式题3提升
9．（2017·吉林）某学生化简分式 + 出现了错误，解答过程如下：
原式= + （第一步）
= （第二步）
= ．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
五、原题18
10．（2022·衢州）已知：如图，．求证：．
六、变式题4基础
11．（2020·泸县）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．
12．（2020·南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
13．（2020·菏泽）如图，在 中， ，点E在 的延长线上， 于点D，若 ，求证： ．
七、变式题5巩固
14．（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
15．（2021·杭州）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F。若_▲_，求证：BE=CD 。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
16．（2020·铜仁）如图， ， ， .求证： .
17．（2020·台州）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由.
18．（2020·温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE。
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长。
八、变式题6提升
19．（2020·甘肃）如图，点M， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，把 绕点A顺时针旋转 得到 .
（1）求证： ≌ .
（2）若 ， ，求正方形 的边长.
20．（2020·黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形.
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长.
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
（2）解：
= ，
= ，
= ．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式且符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
（2）先将分子分母中能分解因式的分解因式，进行约分；再通分，转化为同分母分式的加法，然后利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加减.
2．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为(m+n)2-(2n)2，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为(x2+y2)2-(2xy)2，然后利用平方差公式、完全平方公式分解即可.
3．【答案】解：原式＝（5+m）（5﹣m）．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用平方差公式因式分解即可。
4．【答案】（1）解：a2+2a+1＝（a+1）2；
（2）解：a3﹣ab2）＝a（a2﹣b2），
＝a（a+b）（a﹣b）；
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
5．【答案】解： ﹣
=
=
= ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】根据分式的减法可以解答本题．
6．【答案】解：
=
=
=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．
7．【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）观察两个多项式可得：x是完全相同的项，3y和2是互为相反的项，符合平方差公式的特征，于是原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2，再由完全平方公式计算即可求解；
（2）观察多项式可知：将中间两项结合可得原式=（a-b）2-10(a-b)+52，符合完全平方公式的特征，根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解.
8．【答案】（1）解：3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）
＝3a（x﹣y）+5b（x﹣y）
＝（x﹣y）（3a+5b）
（2）解：x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝x2（a﹣b）2﹣y2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x -y）（x +y）
（3）解：2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn
＝
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提取公因式（x-y）即可得到答案；
（2）先提取公因式（a﹣b）2，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）提取公因式即可得到答案。
9．【答案】（1）一；分式的基本性质用错
（2）解：原式= +
=
=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】分式的基本性质是分子、分母都同时乘以（除以）不等于0的式子，分式的值保持不变，必须同时乘(除），题目中的同学就是分母乘，分子没乘，出现错误.
10．【答案】证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用邻补角的定义可证得∠ACB+∠3=180°，∠4+∠ACD=180°，利用等角的补角相等，可证得∠ACB=∠ACD；再利用ASA证明△ACB≌△ACD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
11．【答案】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∵AC＝AD， AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS）．
∴BC＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．
12．【答案】证明：∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
在 和 中
∴ ≌
故 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到 ， ， ，从而有 ，可以验证 和 全等，从而得到AB=CD．
13．【答案】证明：∵ ，
∴∠ADE=90°，
∵ ，
∴∠ACB=∠ADE，
在 和 中
，
∴ ，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用AAS证明 ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
14．【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
15．【答案】解：选择条件①的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件②的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件③的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】选择条件①，利用等角对等边可证得AB=AC，利用SAS可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；选择条件②，利用等角对等边，可证得AB=AC，再利用ASA可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质，可证得结论；选择条件③，利用等边对等角可证得∠FBC=∠FCB，再利用ASA可证得△CBE≌△BCD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
16．【答案】证明： ，
，
，
，
在 和 中， ，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，由等量加等量和相等可得BC=EF，然后用角边角可证△ABC≌△DEF.
17．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
18．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D
∵∠B=∠DCE=90°，AC=DE
∴△ABC≌△DCE(AAS)
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5
∵AC=12，∠ACE=90°，
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠BAC=∠D，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长，再利用勾股定理求出AE的长。
19．【答案】（1）证明：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在 和 中，
；
（2）解：设正方形 的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又 四边形ABCD是正方形
则在 中， ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为6.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.
20．【答案】（1）解：全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）
（2）解：如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝
（3）解：如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝ ，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1× ＝ ，
∴S△ACD＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× ＝ ，
FD＝CD﹣CF＝2﹣ ，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝ ＝3，
∴AD＝ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）依据角的构成可证∠BCD＝∠ACE，然后根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）的全等三角形知：BD＝AE，用勾股定理可求得AE的长，则BD=AE可求解；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，由特殊角的三角函数可求得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长.
1 / 1【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第17-18题
一、原题17
1．（2022·衢州）
（1）因式分解：．
（2）化简：．
【答案】（1）解：
（2）解：
= ，
= ，
= ．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点：有两项，都能写成平方形式且符号相反，因此利用平方差公式分解因式.
（2）先将分子分母中能分解因式的分解因式，进行约分；再通分，转化为同分母分式的加法，然后利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加减.
二、变式题1基础
2．（2022八下·南召开学考）因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）原式可变形为(m+n)2-(2n)2，然后利用平方差公式分解即可；
（2）原式可变形为(x2+y2)2-(2xy)2，然后利用平方差公式、完全平方公式分解即可.
3．（2021八上·富裕期末）因式分解：．
【答案】解：原式＝（5+m）（5﹣m）．
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用平方差公式因式分解即可。
4．（2021八上·朝阳期中）因式分解下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：a2+2a+1＝（a+1）2；
（2）解：a3﹣ab2）＝a（a2﹣b2），
＝a（a+b）（a﹣b）；
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
5．（2017·天门）化简： ﹣ ．
【答案】解： ﹣
=
=
= ．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】根据分式的减法可以解答本题．
6．（2012·湛江）计算： ．
【答案】解：
=
=
=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．
三、变式题2巩固
7．（2021八上·川汇期末）
（1）运用乘法公式计算：；
（2）分解因式：.
【答案】（1）解：
=
=；
（2）解：
=
=.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）观察两个多项式可得：x是完全相同的项，3y和2是互为相反的项，符合平方差公式的特征，于是原式=[x+(3y-2)][x-(3y-2)]=x2-(3y-2)2，再由完全平方公式计算即可求解；
（2）观察多项式可知：将中间两项结合可得原式=（a-b）2-10(a-b)+52，符合完全平方公式的特征，根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”计算即可求解.
8．（2021八上·东平月考）请将下列各式因式分解．
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）；
（2）x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2．
（3）2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均为大于1的整数）．
【答案】（1）解：3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）
＝3a（x﹣y）+5b（x﹣y）
＝（x﹣y）（3a+5b）
（2）解：x2（a﹣b）2﹣y2（b﹣a）2
＝x2（a﹣b）2﹣y2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（x2﹣y2）
＝（a﹣b）2（x -y）（x +y）
（3）解：2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn
＝
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）提取公因式（x-y）即可得到答案；
（2）先提取公因式（a﹣b）2，再利用平方差公式因式分解即可；
（3）提取公因式即可得到答案。
四、变式题3提升
9．（2017·吉林）某学生化简分式 + 出现了错误，解答过程如下：
原式= + （第一步）
= （第二步）
= ．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；分式的基本性质用错
（2）解：原式= +
=
=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】分式的基本性质是分子、分母都同时乘以（除以）不等于0的式子，分式的值保持不变，必须同时乘(除），题目中的同学就是分母乘，分子没乘，出现错误.
五、原题18
10．（2022·衢州）已知：如图，．求证：．
【答案】证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴ ．
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用邻补角的定义可证得∠ACB+∠3=180°，∠4+∠ACD=180°，利用等角的补角相等，可证得∠ACB=∠ACD；再利用ASA证明△ACB≌△ACD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
六、变式题4基础
11．（2020·泸县）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．
【答案】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∵AC＝AD， AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS）．
∴BC＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．
12．（2020·南充）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
【答案】证明：∵ ， ，
∴
∴ ，
∴
在 和 中
∴ ≌
故 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到 ， ， ，从而有 ，可以验证 和 全等，从而得到AB=CD．
13．（2020·菏泽）如图，在 中， ，点E在 的延长线上， 于点D，若 ，求证： ．
【答案】证明：∵ ，
∴∠ADE=90°，
∵ ，
∴∠ACB=∠ADE，
在 和 中
，
∴ ，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用AAS证明 ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
七、变式题5巩固
14．（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
15．（2021·杭州）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F。若_▲_，求证：BE=CD 。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
【答案】解：选择条件①的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件②的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件③的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】选择条件①，利用等角对等边可证得AB=AC，利用SAS可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；选择条件②，利用等角对等边，可证得AB=AC，再利用ASA可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质，可证得结论；选择条件③，利用等边对等角可证得∠FBC=∠FCB，再利用ASA可证得△CBE≌△BCD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
16．（2020·铜仁）如图， ， ， .求证： .
【答案】证明： ，
，
，
，
在 和 中， ，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ACB=∠DFE，由等量加等量和相等可得BC=EF，然后用角边角可证△ABC≌△DEF.
17．（2020·台州）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
18．（2020·温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE。
（1）求证：△ABC≌△DCE
（2）连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长。
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D
∵∠B=∠DCE=90°，AC=DE
∴△ABC≌△DCE(AAS)
（2）解：∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5
∵AC=12，∠ACE=90°，
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可证得∠BAC=∠D，再利用AAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长，再利用勾股定理求出AE的长。
八、变式题6提升
19．（2020·甘肃）如图，点M， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，把 绕点A顺时针旋转 得到 .
（1）求证： ≌ .
（2）若 ， ，求正方形 的边长.
【答案】（1）证明：由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在 和 中，
；
（2）解：设正方形 的边长为x，则
由旋转的性质得：
由（1）已证：
又 四边形ABCD是正方形
则在 中， ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为6.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性质可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得.
20．（2020·黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形.
探究发现
（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.
拓展运用
（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长.
（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长.
【答案】（1）解：全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）
（2）解：如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝
（3）解：如图2，过A作AF⊥CD于F，
∵B、C、E三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在Rt△ACF中，sin∠ACF＝ ，
∴AF＝AC×sin∠ACF＝1× ＝ ，
∴S△ACD＝ ＝ ＝ ，
∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× ＝ ，
FD＝CD﹣CF＝2﹣ ，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝ ＝3，
∴AD＝ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）依据角的构成可证∠BCD＝∠ACE，然后根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）的全等三角形知：BD＝AE，用勾股定理可求得AE的长，则BD=AE可求解；
（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，由特殊角的三角函数可求得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长.
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