【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第19-20题
一、原题19
1．（2022·衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
二、变式题1基础
2．（2019·金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可。
三、变式题2巩固
3．（2019·衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，
（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.
4．（2018·宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
5．（2021·自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）.
6．（2019·温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
7．（2019·哈尔滨）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．
四、变式题3提升
8．（2021·衢州）如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出 ，使 与 全等，顶点D在格点上.
（2）在图2中过点B画出平分 面积的直线l.
9．（2021·吉林）图①、图2均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 ，点 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点 ， ， 为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为3的平行四边形．
五、原题20
10．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
六、变式题4基础
11．（2017·湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
12．（2022·淮安）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
七、变式题5巩固
13．（2022·攀枝花）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C.
（1）求证：；
（2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积.
14．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
15．（2022·南通）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
（1）求直径的长；
（2）若，计算图中阴影部分的面积．
16．（2022·东营）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
17．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
18．（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
19．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．
八、变式题6提升
20．（2011·苏州）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 和 ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 ？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图1，线段AC即为所求（图中其余四条与AC平行的线段也符合题意）.
（2）解：如图2，线段CD即为所求（图中其余两条线段上的格点线段也符合题意）．
【知识点】线段的中点；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用格点的特点及垂直的定义，画出AC⊥AB.
（2）利用格点的特点及线段中点的定义，画出线段CD，使CD平分AB.
2．【答案】解：如图所示，
【知识点】作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①从图中可得AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；
②EC=，EF=，FC=，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
③借助圆规作AB的垂直平分线即可。
3．【答案】（1）解：如图，
线段CD就是所求作的图形．
（2）解：如图，
ABEC就是所求作的图形
【知识点】三角形全等的判定；作图-垂线；作图-三角形
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.
4．【答案】（1）如图所示：线段BD为所求作的线段.
（2）如图所示：线段BE为所求作的线段.
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）在图中找CD和AB平行且相等，就可以得四边形ABDC为平行四边形，再由平行四边形的性质可得BD∥AC，
（2）tan∠CAB=tan∠AEB= ，所以∠AEB+∠EAC=90°，所以可得BE⊥AC.
5．【答案】解：如图，射线BD即为所求作.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用勾股定理可知AB的长为5，再利用等腰三角形三线合一的性质作出射线BD.
6．【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等.
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；作图-三角形
【解析】【分析】（1）为了画出格点三角形，利用勾股定理试算。设每小正方形的边长为1，构造Rt△EFG，为了保证∠EFG=90°，要使△EBF∽△FCG。（2）先由勾股定理按格点正方形边长试算MP和NQ，使MP=NQ，画出MP和NQ，使其相交，把四边形四点连接即可。
7．【答案】（1）解： ∵ 以AC为底边的等腰直角三角形ABC
AC=
∴AB=BC=ACsin45°=
如图1
（2）解： ∵AC=CD=
∵ 以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8
∴△ACD的底边上的高为4，底边AD=4
如图2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长，再由以AC为底边的等腰直角三角形ABC，利用勾股定理求出AB、BC的长，然后画出△ABC即可。
（2） 以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8，就可得到AD的长及AD边上的高，然后画出△ACD。
8．【答案】（1）解：如图，画
∵
∴
∴ 就是所求作的三角形
（2）解：如图，取格点D，连接AD、CD，
由（2）可知△ACD与 △ACB 全等，可以证明四边形ABCD是平行四边形，
过点D和点B作直线l交AC于点E，∴AE=AC，∴△ABE的面积等于△BEC的面积，则直线l即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用SSS，画出△ACD即可.
（2）利用全等三角形的性质可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，可画出符合题意的直线即可.
9．【答案】（1）解：如图①中，此时以 为顶点， 为底边，该 即为所求（答案不唯一）．
（2）解：如图②中，此时底 ，高 ，因此四边形 即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）根据 以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为3的平行四边形，作图即可。
10．【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= ，
∴S阴影= ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
11．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
又∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）解：在Rt△ABC中，sinA= ==.
∴∠A=30°.
∵AB切⊙O于点D.
∴OD⊥AB.
∴∠AOD=90°-∠A=60°.
∵=tanA=tan30°.
∴=.
∴OD=1.
S阴影==.
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
12．【答案】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 直线BD与相切， 连接BE、OB，由同弧所对圆周角相等得∠AEB=∠C=60°，推出△OBE是等边三角形，则∠BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得∠OBD=90°，据此可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE、BD的长，最后根据图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.
13．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，由据等边对等角得∠OBC=∠OCB，由同弧所对圆周角相等得∠ADF=∠OBC，故∠OCB=∠ADF，根据切线的性质及角的和差可得∠PCB+∠BCO=90°，从而根据等角等角的余角相等得∠PCB=∠PAD；
（2）连接OD，易得∠ODF=30°，根据三角形的内角和定理得∠DOF=60°，根据垂径定理得DF=CF，故S△DOF=S△BFC，再根据S阴影=S扇形BOD，利用扇形面积计算公式即可算出答案.
14．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
15．【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴，
∴BC=DC=，
∴.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵，
∴S阴影部分=S△DCE=.
答：阴影部分的面积为6.
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
16．【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明，再结合OC为半径，即可得到直线是的切线；
（2）过点O作于F，先求出，再利用割补法求出阴影部分的面积即可。
17．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
18．【答案】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
19．【答案】解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，则四边形ADEG是矩形．
∵S△ABE=BE AH=AB EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=AF=5，
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5﹣=．
【知识点】矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；
（2）连接AF，则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．
20．【答案】解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
∴顶点O在此过程中经过的路程为： 2+ =（1+ ）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
×2+ +2×V×1=1+π．
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
3+ =（ + ）π，
②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵ 2+ =（1+ ）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴ =20（1+ ）π+ ，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出 =20（1+ ）π+ ，即可得出旋转次数．
1 / 1【浙江衢州】备战2023年中考数学真题变式题第19-20题
一、原题19
1．（2022·衢州）如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．
（1）在图1中画一条线段垂直AB．
（2）在图2中画一条线段平分AB．
【答案】（1）解：如图1，线段AC即为所求（图中其余四条与AC平行的线段也符合题意）.
（2）解：如图2，线段CD即为所求（图中其余两条线段上的格点线段也符合题意）．
【知识点】线段的中点；作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用格点的特点及垂直的定义，画出AC⊥AB.
（2）利用格点的特点及线段中点的定义，画出线段CD，使CD平分AB.
二、变式题1基础
2．（2019·金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可。
【答案】解：如图所示，
【知识点】作图-垂线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】①从图中可得AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；
②EC=，EF=，FC=，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
③借助圆规作AB的垂直平分线即可。
三、变式题2巩固
3．（2019·衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上，
（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点，
（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点.
【答案】（1）解：如图，
线段CD就是所求作的图形．
（2）解：如图，
ABEC就是所求作的图形
【知识点】三角形全等的判定；作图-垂线；作图-三角形
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.
4．（2018·宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；
（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．
【答案】（1）如图所示：线段BD为所求作的线段.
（2）如图所示：线段BE为所求作的线段.
【知识点】作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】（1）在图中找CD和AB平行且相等，就可以得四边形ABDC为平行四边形，再由平行四边形的性质可得BD∥AC，
（2）tan∠CAB=tan∠AEB= ，所以∠AEB+∠EAC=90°，所以可得BE⊥AC.
5．（2021·自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上.只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）.
【答案】解：如图，射线BD即为所求作.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】利用勾股定理可知AB的长为5，再利用等腰三角形三线合一的性质作出射线BD.
6．（2019·温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．
【答案】（1）解：画法不唯一，如图1或图2等.
（2）解：画法不唯一，如图3或图4等.
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；作图-三角形
【解析】【分析】（1）为了画出格点三角形，利用勾股定理试算。设每小正方形的边长为1，构造Rt△EFG，为了保证∠EFG=90°，要使△EBF∽△FCG。（2）先由勾股定理按格点正方形边长试算MP和NQ，使MP=NQ，画出MP和NQ，使其相交，把四边形四点连接即可。
7．（2019·哈尔滨）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC，点B在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD 的面积为8．
【答案】（1）解： ∵ 以AC为底边的等腰直角三角形ABC
AC=
∴AB=BC=ACsin45°=
如图1
（2）解： ∵AC=CD=
∵ 以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8
∴△ACD的底边上的高为4，底边AD=4
如图2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长，再由以AC为底边的等腰直角三角形ABC，利用勾股定理求出AB、BC的长，然后画出△ABC即可。
（2） 以AC为腰的等腰三角形ACD，点D在小正方形的顶点上，且△ACD的面积为8，就可得到AD的长及AD边上的高，然后画出△ACD。
四、变式题3提升
8．（2021·衢州）如图，在 的网格中， 的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中画出 ，使 与 全等，顶点D在格点上.
（2）在图2中过点B画出平分 面积的直线l.
【答案】（1）解：如图，画
∵
∴
∴ 就是所求作的三角形
（2）解：如图，取格点D，连接AD、CD，
由（2）可知△ACD与 △ACB 全等，可以证明四边形ABCD是平行四边形，
过点D和点B作直线l交AC于点E，∴AE=AC，∴△ABE的面积等于△BEC的面积，则直线l即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【分析】（1）利用SSS，画出△ACD即可.
（2）利用全等三角形的性质可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，可画出符合题意的直线即可.
9．（2021·吉林）图①、图2均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 ，点 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点 ， ， 为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【答案】（1）解：如图①中，此时以 为顶点， 为底边，该 即为所求（答案不唯一）．
（2）解：如图②中，此时底 ，高 ，因此四边形 即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质作图即可；
（2）根据 以点 ， ， ， 为顶点画一个面积为3的平行四边形，作图即可。
五、原题20
10．（2022·衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，，连结BC，CD．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵ = ，
∴∠ACD＝∠DBA，
又 ∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴ ；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°，
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵ ，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD= ，
∴S阴影= ．
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠DBA，结合已知可证得∠CAB=∠ACD；再利用平行线的判定定理可证得结论.
（2）连接OC，OD，可求出∠CAB的度数，利用圆周角定理可求出∠AOD和∠COB的度数，由此可求出∠COD的度数，利用平行线的判定定理可证得CD∥AB，可推出△DOC和△DBC的面积相等，可证得阴影部分的面积=扇形COD的面积；然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积.
六、变式题4基础
11．（2017·湖州）如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的 与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知 ， ．
（1）求 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB= = =2 .
∵BC⊥OC
∴BC是⊙O的切线
又∵AB是⊙O的切线
∴BD=BC=
∴AD=AB-BD=
（2）解：在Rt△ABC中，sinA= ==.
∴∠A=30°.
∵AB切⊙O于点D.
∴OD⊥AB.
∴∠AOD=90°-∠A=60°.
∵=tanA=tan30°.
∴=.
∴OD=1.
S阴影==.
【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.
（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.
12．（2022·淮安）如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：如（1）中图，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 直线BD与相切， 连接BE、OB，由同弧所对圆周角相等得∠AEB=∠C=60°，推出△OBE是等边三角形，则∠BOD=60° ，根据三角形的内角和定理得∠OBD=90°，据此可得结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE=90°，根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可算出AE、BD的长，最后根据图中阴影部分的面积=S△OBD-S扇形BOE，结合三角形的面积计算公式及扇形面积计算公式计算即可.
七、变式题5巩固
13．（2022·攀枝花）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C.
（1）求证：；
（2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，由据等边对等角得∠OBC=∠OCB，由同弧所对圆周角相等得∠ADF=∠OBC，故∠OCB=∠ADF，根据切线的性质及角的和差可得∠PCB+∠BCO=90°，从而根据等角等角的余角相等得∠PCB=∠PAD；
（2）连接OD，易得∠ODF=30°，根据三角形的内角和定理得∠DOF=60°，根据垂径定理得DF=CF，故S△DOF=S△BFC，再根据S阴影=S扇形BOD，利用扇形面积计算公式即可算出答案.
14．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.
15．（2022·南通）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．
（1）求直径的长；
（2）若，计算图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC=45°，
∴，
∴BC=DC=，
∴.
答：直径BD的长为4.
（2）解：∵在圆O中，，
∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，
∴阴影部分的面积等于△DCE的面积
∵，
∴S阴影部分=S△DCE=.
答：阴影部分的面积为6.
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.
（2）利用在圆O中，，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
16．（2022·东营）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明，再结合OC为半径，即可得到直线是的切线；
（2）过点O作于F，先求出，再利用割补法求出阴影部分的面积即可。
17．（2021九上·临江期末） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE
（1）求证：DB＝DE
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心 ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC
∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC
∴∠DBE＝∠DEB
∴DB＝DE
（2）证明：连接CD ，则 ∠CDB=90°
∵点E为△ABC的内心 ∴DA平分∠BAC ∴∠DAB＝∠DAC ∴BD＝CD
∴∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°
∴∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 即CF是⊙O的切线
（3）解：连接OD
∵ O、D是BC、BF的中点，CF＝4 ∴ OD＝2
∵∠BCF＝90° ∴∠BOD＝90°
∴图中阴影部分的面积 =扇形BOD的面积﹣△BOD的面积
==π-2
【知识点】等腰三角形的判定；切线的判定；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内心的定义得出∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC，再根据三角形外角性质得出∠BED＝∠BAE+∠EBA，根据圆周角定理得出∠DBC＝∠EAC，从而得出∠DBE＝∠DEB，即可得出DB＝DE；
（2） 连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB=90°，根据∠BAE＝∠CAE得出BD＝CD，从而得出
∠CBD=∠BCD=∠DCF=45°，得出∠BCF＝90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（3） 连接OD，根据三角形中位线定理得出OD=2，OD∥CF，从而得出∠BOD＝90°，利用阴影部分的面积=扇形BOD的面积-△BOD的面积，代入数值进行计算，即可得出答案.
18．（2017·枣庄）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（Ⅰ）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：（Ⅰ）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（Ⅱ）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故阴影部分的面积为2 ﹣ ．
【知识点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（Ⅰ）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（Ⅱ）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
19．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上的点，且BE=BA，以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M，过点B作⊙A的切线BF，切点为F．
（1）请判断直线BE与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=10，BC=5，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，
理由如下：连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，则四边形ADEG是矩形．
∵S△ABE=BE AH=AB EG，AB=BE，
∴AH=EG，
∵四边形ADEG是矩形，
∴AD=EG，
∴AH=AD，
∴BE是圆的切线；
（2）连接AF，
∵BF是⊙A的切线，
∴∠BFA=90°
∵BC=5，
∴AF=5，
∵AB=10，
∴∠ABF=30°，
∴∠BAF=60°，
∴BF=AF=5，
∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5﹣=．
【知识点】矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）直线BE与⊙A的位置关系是相切，连接AE，过A作AH⊥BE，过E作EG⊥AB，再证明AH=AD即可；
（2）连接AF，则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积．
八、变式题6提升
20．（2011·苏州）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上．OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1，绕点B1按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 和 ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形A001的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l2上，0A边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B2处，小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 ？
【答案】解：①如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧，
∴顶点O在此过程中经过的路程为： 2+ =（1+ ）π，
顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为：
×2+ +2×V×1=1+π．
正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
3+ =（ + ）π，
②正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O在此过程中经过的路程为：
∵ 2+ =（1+ ）π，根据第四次正方形旋转时O点不动，也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程；
∴ =20（1+ ）π+ ，
∴正方形纸片OABC经过了：20×4+1=81次旋转．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】①根据正方形旋转3次和5次的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出 =20（1+ ）π+ ，即可得出旋转次数．
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