苏科版数学七年级下册 9.4 乘法公式课件（29张PPT）

(共29张PPT)
9.4 乘法公式
第9章 整式乘法与因式分解
完全平方公式
平方差公式
知识点
完全平方公式
1
1. 完全平方公式
用字母表示为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.
文字描述：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和与它们积的
2 倍的和(或差). 这两个公式即为(乘法的)完全平方公式.
特别解读：
1. 弄清公式的特征： 公式的左边是一个二项式的完全平方， 公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和， 另一项是这两项的乘积的2 倍.
2. 理解字母a、b 的意义：公式中的字母a、b 可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
3. 口诀记忆：首平方，尾平方，积的2倍在中央，和是加来差是减，完全平方要记全.
2. 推导方法
(1)多项式乘法法则解释
(a+b)2 ＝(a+b)(a+b)＝ a2+ab+ab +b2 ＝ a2+2ab+b2，
(a-b)2 ＝(a-b)(a-b)＝ a2-ab -ab+b2 ＝ a2-2ab+b2.
(2)几何解释
如果把图9.4-1 看成一个大正方形，那么它的面积为(a+b)2.
如果把图9.4-1 看成是由2 个小长方形和2 个小正方形组成的，那么它的面积为a2+2ab+b2.
3. 拓展——完全平方公式的几种常见变形公式
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；
(2)(a+b)2=(a-b)2 +4ab；
(3)(a-b) 2=(a+b)2-4ab；
(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；
例 1
计算：
(1)(a－b)2；
解：(a－b)2
= [ a ＋ ( －b) ] 2
=a2+2 · a · ( －b) ＋ ( －b) ]2
=a2 － 2ab＋b2 .
(1)(5+3p)2；
解： (5+3p)2
=52+2·5·3p+(3p)2
=25+30p+9p2；
加法交换律
例 2
(2)(2x-7y)2；
解：(2x-7y)2
=(2x)2-2·2x·7y+（7y2）
=4x2-28xy+49y2；
(3) (-2x-5)2
解：(-2x-5)2
=(-2a)2+2·(-2a)·(-5)+(-5)2
=4a2+20a+25 .
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
方法点拨：
1. 利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：
(1)确定公式中的a、b；(2)确定和差关系；
(3)选择公式；(4)计算结果.
2. 两个易错点：
(1)套用公式时千万不能漏掉“2ab”项；
(2)两个平方项的底数要带上括号.
例3
计算：(1)9992；
解：9992
=(1 000-1)2
=1 0002-2×1 000×1+12
=1 000 000-2 000+1
=998 001；
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
方法点拨：
利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差的形式，拆分时主要有两种情况：
一是接近整十、整百或整千的数. 将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；
二是带分数. 将带分数拆分成整数部分与真分数的和或差.
知识点
平方差公式
2
1. 平方差公式
用字母表示为(a+b)(a-b)=a2-b2.
文字描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式即为(乘法的)平方差公式.
2. 推导方法
(1)多项式乘法法则解释
(a+b)(a-b)＝ a2-ab+ab -b2 ＝ a2-b2.
(2)几何解释
图①阴影部分的面积是a2-b2.
图②这个长方形的长是a+b、
宽是a-b，面积为(a+b)(a-b).
特别解读：
公式的特征：
1. 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
2. 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
理解字母a、b 的意义：平方差公式中的a、b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.
3. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2 - b2
符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2 -a2=b2-a2
系数变化 (3a+2b)(3a -2b)=(3a)2-(2b)2 =9a2 -4b2
指数变化 ( a3 +b2)(a3-b2)=( a3)2-(b2)2 =a6-b4
增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
连用公式 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
例 3
计算：
(1)(5x+y)(5x-y)；
解： (5x+y)(5x-y) =(5x)2-(y)2=25x2-y2；
(2)(m+2n)(2n-m)；
(m+2n)(2n-m) =(2n)2-m2=4n2-m2；
(3)(3y-x)(-x-3y)；
(3y-x)(-x-3y)
=(x)2-(3y)2
=x2-9y2；
解题秘方：先确定公式中的“a” 和“b”， 然后根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 进行计算.
解法提醒：
运用平方差公式计算的3 个关键步骤：
第1步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(1)(2)不需调整，(3)(4)就必须调整.
第2步：找准公式中的a、b 分别代表哪个单项式或多项式.
第3步：套用公式计算，注意将底数带上括号. 如(1)中(5m)2 不能写成5m2.
例 4
计算：
(1)(x-3)(x+3)(x +9)； (2) (2x+3)2(2x-3)2 .
解：(1)(x-3)(x+3)(x +9)
=(x -9)(x +9)
= x -81;
解：(2) (2x+3)2(2x-3)2
= [ (2x+3)2(2x-3)2 ]
= (4x -9) 2
= 16x -72x +81 .
例 5
计算：
(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b) ；
解：(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b) ；
=(b+2a)(b-2a)-(a-3b) ；
=b -4a -(a -6ab+9b )
=b -4a -(a +6ab-9b )
=-5a +6ab-8b ) .
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
方法点拨：
运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.
乘法公式
乘
法
公
式
完全平方公式
平方差公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
综合
运用