10.5 用二元一次方程组解决问题-苏科版数学七年级下册同步课件(共37张PPT)

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第10章 二元一次方程组
10.5 用二元一次方程组解决问题
列二元一次方程组解应用题
列二元一次方程组解应用题的常见题型
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
知识点
列二元一次方程组解应用题
1
1.基本思想方法
(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程，它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的相等关系并列出方程组.
(2)一般情况下，设几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等.
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特别解读：
1. 一般设几个未知数就列几个方程.
2. 设未知数和写答案时，都要写清楚单位名称.
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)审：审清题意，找出已知量、未知量及相等关系；
(2)设： 直接或间接设出未知数；
(3)列：根据相等关系列出方程组；
(4)解：解这个方程组，求出未知数的值；
(5)检：检验所求的未知数的值是否为所列方程组的解，是否符合实际问题；
(6)答：写出答案(包括单位名称).
例 1
国庆长假期间，某旅行社接待 1日游和3日游的旅客共2 200 人，收旅游费 200 万元，其中1日游每人收费 200 元，3 日游每人收费 1500 元.该旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人
分析：问题 1中包括两个相等关系:
1日游旅客人数+3日游旅客人数 =2200;
所收的1日游旅游费十所收的3日游旅游费 200 万元.
解：设接待1日游旅客x 人，3 日游旅客y 人.
那么所收的1日游旅游费为 200 x 元，3日游旅游费为 1500 y 元.
由题意，得 x+y=2200， 解得 x=1000，
200x+1500y= 2000000. y=1200.
答：该旅行社接待 1日游旅客 1000 人，3日游旅客 1200 人.
知识点
列二元一次方程组解应用题的常见题型
2
根据在实际问题中相等关系的不同类型，归纳出应用题几种常见的题型：
(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；
(3)配套问题；(4)销售问题；
(5)行程问题；(6)百分比问题；
(7)年龄问题；(8)图形面积问题.
特别提醒：
●不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“ 售价”“标价”“折扣”等等.
●不同类型的问题中都有不同的相等关系.
真题1
[ 二模·泰州] 某厂生产甲、乙两种产品，生产1 个甲种产品需要用时2 分钟、耗材30 克；生产1 个乙种产品需要用时3 分钟、耗材40 克．如果生产甲种产品和生产乙种产品共用时小时、耗材11 千克，那么甲、乙两种产品各生产了多少个？
解题秘方：紧扣“生产甲、乙两种产品”之间的数量关系，利用“共用时小时、耗材11千克”的两个相等关系建立关于x、y 的二元一次方程组．
方法点拨：
设未知数时， 一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等.
解和、差、倍、分问题的应用题时，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义.
解：设甲种产品生产了x 个，乙种产品生产了y 个．
根据题意，得 2x+3y= ×60，
30x+40y=11×1 000.
解得 x=100，
y=200.
答：甲种产品生产了100 个，乙种产品生产了200 个．
例 2
有为保护环境，某校环保小组成员收集废旧电池·第一天收集5节1号电池，6 节5 号电池，总质量为 500 g; 第二天收集3节1号电池，4节5 号电池，总质量为 310 g.1节1 号电池和1节 5 号电池的质量分别是多少
分析:
问题 2 中包括两个相等关系:
5节1号电池的质量+6节5号电池的质量 =500 g;
3节1号电池的质量十4节5号电池的质量=310 g.
解：设1节1号电池的质量为x g， 1节 5 号电池的质量为y g.
由题意，得 5x+6y=500， 解得 x=70，
3x+4y=310. y=25.
答：1节1号电池质量为 70 g，1节 5 号电池质量为 25 g.
1节1号废旧锌锰电池的质量为 70g，其中含碳棒 5.2g、锌皮7.0g、锰粉 25 g、铜帽 0.5g，其他物质 32.3 g. 废旧电池的危害主要集中在它所含的少量重金属上，如铅、汞、锡等.由于机械磨损和腐蚀，使得废旧电池内部的重金属和酸、碱等泄漏出来，进入土壤或水源.有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水 600 000L.如这些有毒物质通过各种途径进入人体内，长期积累难以排除，会损害人体的神经系统、造血功能和骨骼，甚至致癌.
废旧电池的危害
例3
某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产1个甲种产品景用时8s、铜8g;生产1个乙种产品需用时 6 s、铜 16 g.如果生产甲、乙两种产品共用时 1h、用铜 6.4 kg，那么甲、乙两种产品各生产多少个？
分析:
解：设生产甲种产品x 个，乙种产品y个.
根据题意，得 8x+6y=3600，
8x+16y=6400.
解得 x=240，
y=280.
答：生产甲种产品 240个，乙种产品 280 个.
例 4
为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水:每户居民每月用水不超过 15 立方米时，按基本价格收费;超过 15 立方米时，超过的部分要加价收费.该市某户居民今年 4、5 月份的用水量和水费如下表所示 :
求该市居民用水的两种收费价格.
解：设该市居民用水的基本价格为x元/立方米，超过 15 立方米部分的价格为y元/立方米.
根据题意，得 15x+(16-15)y=50，
15x+(20-15)y=70 .
解这个方程组，得 x=3，
y=5.
答：该市居民用水的基本价格为 3 元/立方米，超过 15 立方米部分的价格为 5 元/立方米.
例5
制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒(如图 10-1)，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.现有150 张正方形硬纸片和 300 张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个
分析:每个甲种纸盒用正方形硬纸片 1张，长方形硬
纸片 4 张;每个乙种纸盒用正方形硬纸片 2 张，长
方形硬纸片 3 张.
解：设可制作甲种纸盒x 个，乙种纸盒是y个.
由题意，得 x+2y=150，
解这个方程组，得 x=30，
y=60.
答：可制作甲种纸盒 30 个，乙种纸盒 60个.
例 6
某铁路桥长 1000 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1 min，整列火车完全在桥上的时间共 40 s.求火车的速度和长度。
分析：如果设火车的速度为 x m/s，火车的长度为 y m，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出图 10 - 2.
由图 10-2可知:火车 1min 行驶的路程等于桥长与火车长的和，火车 40 s 行驶的路程等于桥长与火车长的差.
解：设火车的速度为x m/s，火车的长度为y m.
由题意，得 60x= 1000+y，
40x= 1000-y .
解得 x=20，
y=200.
答：火车的速度为 20 m/s，火车的长度为 200 m.
知识点
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
3
建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题. 对某个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于：
(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；
(2)看方程组的解是否符合实际问题的限制条件.
特别提醒：
设计方案问题应从不同的角度去考虑，先考虑多种可能的方案，最后根据结果合理地选择方案.
例7
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500 元. 当地一家公司收获这种蔬菜共140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司制定了三种加工方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：对部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天内完成.
你认为哪种方案获利最多？为什么？
解法提醒：
解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案.
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解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数.
解：方案三.
理由：方案一：将蔬菜全部进行粗加工，易知15 天内能全部加工完，获利为4 500×140=630 000(元).
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，即
精加工的质量为6×15=90(吨).
获利为7 500×90+1 000×(140-90)=725 000(元).
方案三：设对x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
由题意，得 x+y=140，解得 x=60，
+ =15. y=80.
所以获利为7 500×60+4 500×80=810 000(元).
因为630 000 ＜ 725 000 ＜ 810 000，
所以方案三获利最多.
用二元一次方程组解决问题
实
际
问
题
建模
设列
数学问题
(列二元一
次方程组)
数学问题的
解(二元一次
方程组的解)
检验