12.2 证明-苏科版数学七年级下册同步课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第12章 证明
12.2 证明
感受推理的必要性
定理与证明
三角形的内角和定理及其推论
知识点
感受推理的必要性
1
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段. 通过观察、操作、实验，常常可以发现一些结论，但是仅凭观察、操作、实验得到的结论有时是不深入、不全面的，甚至是错误的. 所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学会用数学方法加以证实.
特别提醒：
注意错觉不是错误，错觉是由于某种原因而引起的一种不正确的知觉，而错误是与实际不符合、不正确的结论.
真题1
[ 期末·泰兴] 用等号或不等号填空：
(1)比较2x 与x2+1 的大小：
①当x=2 时，2x______x2+1；
②当x=1 时，2x______x2+1；
③当x=-1 时，2x______ x2+1；
＜
＝
＜
解题秘方：紧扣“把数代入代数式求值”比较大小，然后猜想，最后利用“完全平方式是非负数”说明理由
解法提醒：
例1(1)：
当x ＝ 2 时，2x ＝ 4，x2+1 ＝ 5，则2x ＜ x2+1；
当x ＝ 1 时，2x ＝ 2，x2+1 ＝ 2，则2x ＝ x2+1；
当x ＝﹣1 时，2x ＝﹣ 2，x2+1＝ 2，则2x ＜ x2+1．
(2)通过上面的填空，猜想2x 与x2+1 的大小关系为_________；
2x ≤ x2+1
解题秘方：紧扣“把数代入代数式求值”比较大小，然后猜想，最后利用“完全平方式是非负数”说明理由
例1(2)：
可以再取几个x 的值代入代数式求值，经过大小比较，可猜想2x 与x2+1 的大小关系.
(3)无论x 取什么值，2x 与x2+1 总有这样的大小关系吗？试说明理由．
解题秘方：紧扣“把数代入代数式求值”比较大小，然后猜想，最后利用“完全平方式是非负数”说明理由.
例1(3)：
根据完全平方公式， 可得无论x取什么值，2x ≤ x2+1 的理由．
解：无论x 取什么值，总有2x ≤ x2+1．
理由：由x2-2x+1=(x-1)2 ≥ 0，得x2+1-2x ≥ 0，
即0 ≤ x2+1-2x．则2x ≤ x2+1．
所以无论x 取什么值，总有2x ≤ x2+1．
知识点
定理与证明
2
1. 证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明.
(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)等；(2)证明一个命题是假命题，只要举出一个例子说明其不成立即可.
2. 定理 经过证明的真命题称为定理.
3. 证明与图形有关的命题，一般有以下的步骤：
(1)根据题意，画出图形；(2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；(3)写出证明过程．
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1) 联系：定义、基本事实(公理)、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据.
(2) 区别：基本事实(公理)是最原始的依据；而命题不一定是真命题，所以不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
例2
写出下面文字命题的证明过程. 求证：对顶角相等.
(要求：画出图形，写出已知、求证及证明的过程)
解题秘方：先将文字语言转化为几何语言，并根据题意画出图形，再利用已学过的性质或定理进行证明.
解：已知：如图12.2-1 所示，直线AB、CD 相交于点 O.
求证：∠ BOC= ∠ AOD.
证明： ∵直线AB、CD 相交于点 O，
∴∠ AOC+ ∠ BOC=180°(平角的定义)，
∠ AOC+ ∠ AOD=180°(平角的定义).
∴∠ BOC= ∠ AOD(同角的补角相等).
知识点
三角形的内角和定理及其推论
3
1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° .
特别提醒：
1. 三角形的三个外角(三个顶点处各取一个) 的和等于360° .
2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角. 作用：用来证明角的不等关系.
2. 三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质)
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
作用：(1)此性质反映了三角形的外角与它不相邻的两个内角之间的数量关系, 利用它可以求相关角的度数；
(2)利用它可以证明一个角等于另两个角的和或差；
(3)利用它作为中间关系可以证明两个角相等.
例 3
如图12.2-2，AD 是∠ CAE 的平分线， ∠ B=35 °，
∠ DAE=60°，求∠ ACD 的度数.
解题秘方：利用三角形外角的性质，将∠ ACD 转化为∠ B+ ∠ BAC 进行求解.
解：∵ AD 是∠ CAE 的平分线，∠ DAE=60°，
∴∠ CAE=2 ∠ DAE=2×60°=120°.
∴∠ BAC=180°- ∠ CAE=180°-120°=60°.
∵∠ ACD 是△ ABC 的一个外角，∠ B=35°，
∴∠ ACD= ∠ BAC+ ∠ B=60°+35°=95°
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和).
一题多解：
本题的解法是将∠ ACD 看成△ ABC 的外角求的，也可以将∠ ACD看成△ ACD 的内角来求.
∵∠ DAE=60°，∠ B=35°，∴∠ D=60°-35° =25° .
∵ AD 是∠ CAE 的平分线，
∴∠ CAD= ∠ DAE=60° .
∴∠ACD=180°-60°-25°=95°
证明
证明
必要性
必要性
事件的判断
步骤
画图
写已知、求证
写证明过程
定理
经过证明的真命题
可作为推理的依据
三角形内角和定理
三角形内角和定理的推论