12.3 互逆命题-苏科版数学七年级下册同步课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第12章 证明
12.3 互逆命题
互逆命题
反例
平行的基本性质
直 角三角形的性质与判定
知识点
互逆命题
1
1. 定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其中一个命题是另一个命题的逆命题.
特别解读:
1. 如果一个命题是真命题，那么它的逆命题可能是真命题，也可能是假命题.
2. 逆命题是相对于另一个命题(原命题)而言的，每个命题都有逆命题.
注意：每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理.
2. 拓展
如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理.
例 1
下列各组命题是否为互逆命题？
(1)“有理数的平方是非负数”与“如果一个数的平方是非负数，那么这个数是有理数”；
解：是互逆命题；
解题秘方：紧扣互逆命题的定义进行判断.
(2)“等底等高的两个三角形面积相等”与“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形等底等高”；
解：是互逆命题；
解题秘方：紧扣互逆命题的定义进行判断.
(3)“若ab=0，则a=0 或b=0”与“如果ab ≠ 0，那么a ≠ 0 且b ≠ 0”.
解：第一个命题的条件是“ab=0”，结论是“a=0 或b=0”；而第二个命题的条件是“ab ≠ 0”，结论是“a ≠ 0 且b ≠ 0”，故它们不是互逆命题.
解题秘方：紧扣互逆命题的定义进行判断.
方法点拨:
判断两个命题是否为互逆命题，先确定每一个命题的条件和结论，然后根据两个命题是否将条件和结论互换位置进行判断. 对于条件与结论不是很明显的命题，可先将命题改写为“ 如果……，那么……”的形式.
知识点
反例
2
1. 定义 举出一个符合命题的条件，但命题的结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例.
2. 易错警示
举反例时，要符合命题的条件，但不符合命题的结论.
特别解读:
反例的列举必须符合实际，举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示.
[ 模拟·泰兴] 能说明命题“若a ≥ b，则a>0”是假命题的反例是(　　)
A. a=-2，b=-3　　　　　 B. a=-2，b=1
C. a=-2，b=-1　　　　　 D. a=2，b=1
A
解题秘方：紧扣反例“符合命题的条件，不符合命题的结论”进行判断.
真题1
方法点拨：
要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．而正确的反例需要符合命题的条件，不符合命题的结论. 此题采用排除法，针对选项逐一判断，选择符合反例的定义即可.
解：选项A中，因为a＝-2，b＝-3，符合条件a ≥ b，不符合结论a ＞0，所以a＝-2，b＝-3 可作为说明命题“若a ≥ b，则a ＞0”是假命题的反例；选项B中，因为a＝-2，b＝1，不符合条件a ≥ b；选项C中，因为a＝-2，b＝-1， 不符合条件a ≥ b； 选项D中，因为a＝2，b＝1， 既符合条件a ≥ b，又符合结论a ＞ 0，所以选项B、C、D 不可作为说明命题“若a ≥ b，则a ＞ 0”是假命题的反例．
知识点
平行的基本性质
3
1. 平行的基本性质
如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简称：平行于同一条直线的两条直线平行.
2. 符号语言
如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b.
此性质体现了平行具有传递性.
例 2
已知: 如图12-10,b // a,c // a.
求证:b // c.
证明: 作直线 d，使它与直线 a、b、c 都相交.
∵b//a(已知)，
∴ ∠ 2= ∠ 1(两直线平行,同位角相等).
∵c//a(已知)， ∠ 3= ∠ 1(两直线平行,同位角相等) ∴∠ 2= ∠ 3(等量代换)
∴b // c(同位角相等,两直线平行).
知识点
直角三角形的性质与判定
4
1. 性质 直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：如图12.3-2，在△ ABC 中，
∵∠ C=90°，∴∠ A+ ∠ B=90° .
2. 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形.
符号语言：如图12.3-2，在△ ABC 中，
∵∠ A+ ∠ B=90°，∴△ ABC 是直角三角形.
3. 应用
利用直角三角形的性质可以得到两个锐角的数量关系，而在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角三角形的定义外，还可找出两个互余的锐角，从而直接判定其为直角三角形.
知识储备：
1. “直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角互余的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的内角和定理证明.
2. 在直角三角形中，若已知两个锐角之间的倍分关系，可以结合两锐角互余求出每个锐角的大小，而不必再使用三角形内角和定理求解.
例3
(1)如图12.3-3， 在△ ABC 中， ∠ ACB=90 °，
∠ ACD= ∠ B. 求证：CD ⊥ AB；
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD 与AB 的夹角为90° .
证明：∵∠ ACB=90°，
∴∠ A+ ∠ B=90°(直角三角形的性质).
∵∠ ACD= ∠ B，
∴∠ A+ ∠ ACD=90°(等量代换).
∴∠ CDA=90°(直角三角形的判定).
∴ CD ⊥ AB.
(2)你在(1)中的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题.
解：用到的两个互逆的真命题是“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
教你一招：
证明两条直线垂直的方法：
1. 定义法：推导相交的两条直线的夹角中有一个角为直角.
2. 证明直角三角形法：在三角形中，推导出两个角的和为90，° 从而得到三角形为直角三角形.
互逆命题
互逆命题
命题
结构
条件
结论
结论
条件
结构
逆命题