7.5 多边形的内角和与外角和-苏科版数学七年级下册同步课件(共34张PPT)

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第7章 平面图形的认识(二)
7.5 多边形的内角和与外角和
三角形的内角和
多边形的内角和
多边形的外角和
知识点
三角形的内角和
1
1. 三角形的内角和 三角形的内角和是180° .
表达方式：在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° .
特别解读：
1. 三角形的内角和是180°揭示了三角形三个内角之间的数量关系.
2. 三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.
2. 说明“三角形的内角和是180°”的思路
思路一： 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角，如图7.5-1 ①所示.
思路二： 利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角，如图7.5-1 ②所示.
例 1
在△ ABC 中，∠A=40°，∠B= ∠C，求∠C的度数；
解： 在△ ABC中，
由∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180°，∠ A=40°，得
∠ B+ ∠ C=180°－ ∠ A=180°－40°=140°，
由∠B= ∠C，得
2∠ C=140°=70°.
解题秘方：紧扣三角形的内角和是180°建立方程求解.
方法点拨：
求三角形内角的度数的方法：
1. 若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形的内角和定理求解.
2. 若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程求解.
[ 月考· 宜兴] 若一个三角形的三个内角度数的比为
2 ∶ 3 ∶ 4，则这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
A
真题1
解题秘方：紧扣三角形的三个内角的度数比，求出三个内角的度数，根据三个内角的度数判断三角形的形状．
另解： 设三个内角分别为2x °、3x °、4x °，
则2x+3x+4x＝180. 解得x＝20.所以4x ＝ 80. 即可求解.
方法点拨：
按角判断一个三角形的形状的方法：
可以将三个角的度数分别求出；也可以看三角形中最大的角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形.
例 2
如图 7-30，△ABC 的角平分线BD、CE 相交于点 P，∠A =70°.求∠BPC的度数.
解:在ABC 中，
由∠A+∠ABC+∠ACB = 180°、 ∠A=70°,
得∠ ABC+ ∠ ACB =180°- ∠ A= 180°-70°=110°
因为 BD、CE 分别平分 ∠ ABC、 ∠ ACB，
所以∠1= ∠ABC, ∠2= ∠ACB，
∠1+∠2 = (∠ABC+∠ ACB)= ×110°= 55°.
在△PBC 中，由∠BPC+∠1+∠2=180°、 ∠ 1+∠2=55°,得∠ BPC =180°-(∠ 1+ ∠ 2)=180°-55°=125°.
解题秘方：建立三角形的模型，利用三角形的内角和求出角度解决问题.
解法提醒：
本例主要考查了建模思想，即把方位角建模成几何图形中与平行线相关的角，同时应用了平行线的性质、三角形内角和定理及直角三角形的定义等.
知识点
多边形的内角和
2
1. 多边形的定义
在平面内，由不在同一条直线上的3 条或3 条以上的线段首尾依次相接组成的图形叫做多边形.
(1) 表示方法：
表示多边形时，先写出多边形的名称，后面依次写出多边形的顶点字母.
● ● ● ●
(2)分类：
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形.
特别解读：
多边形的三个必要条件：
1. 线段在“同一平面内”；
2. 线段“不在同一直线上”且条数不少于3；
3. 首尾依次相接.
2. 多边形的内角和公式 n 边形的内角和等于(n-2)·180°
(n ≥ 3).
验证多边形内角和公式的方法：
(1)如图7.5-3，从n 边形的一个顶点出发作对角线；
(2)如图7.5-4，在n 边形的一条边上任取一点与其他的顶点相连；
(3)如图7.5-5，在n 边形内任取一点与n 个顶点相连.
3. 思路 把多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题，即把多边形分成几个三角形，利用三角形的内角和推导.
[ 期中·苏州] 如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
D
真题2
解题秘方：紧扣多边形的内角和公式求出边数.
解：设这个正多边形的边数是n，由题意，得
(n-2)·180°＝ 720°，解得n ＝ 6．
方法点拨：
已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形的内角和公式列方程：(n-2)·180°=内角和，解方程求出n，即得多边形的边数.
[ 模拟· 宿迁] 如图7.5-6, 求∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C+
∠ D+ ∠ FED+ ∠ F 的度数.
真题3
解：如图7.5-6，连接BE，因为∠ COD= ∠ BOE，
所以∠ OBE+ ∠ OEB= ∠ C+ ∠ D.
所以∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C+ ∠ D+ ∠ FED+ ∠ F= ∠ A+ ∠ ABC+∠OBE+∠OEB+∠FED+∠F=∠A+∠ABE+∠ BEF+ ∠ F=360°.
解题秘方：由于所求的六个角不在同一个多边形中，所以考虑把它们转化到同一个多边形中. 如图7.5-6，连接BE，则这六个角的和等于四边形ABEF 的内角和.
规律点拨：
在△OCD 与△OBE 中，因为∠COD+∠C+∠D=
∠BOE+ ∠OBE+∠ OEB=180° ，且∠ COD = ∠BOE， 所以∠ OBE+ ∠ OEB=∠ C+∠D.
知识点
多边形的外角和
3
1. 多边形的外角定义
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.
2. 多边形的外角和的定义 在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.
3. 多边形的外角和 多边形的外角和等于360° .
[ 模拟·南京] 根据下列条件解决问题：
(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；
解：设该多边形的边数为n.
因为多边形的各内角都相等，所以每一个外角也都相等.根据多边形的外角和为360°，
得n×72°=360°，解得n=5．
所以该多边形的边数为5.
真题4
(2)已知一个多边形的每一个外角都等于30°，求这个多边形的边数.
解：因为多边形的外角和为360°，
所以360°÷30°=12.
所以这个多边形的边数为12.
解题秘方：根据多边形的内角与外角的关系及外角和进行计算.
解法提醒：
多边形的各内角相等，从而外角也相等，已知其中一个外角的度数，由多边形的外角和是360°，即可得出边数．
n边形的内角和
等于(n-2)·180°
多边形的内角和与外角和
多边形的内角
和与外角和
三角形
多边形
三角形的内角和是180°
多边形的外
角和等于360°