下学期 高中数学知识梳理与解题指要[下学期]

课件57张PPT。高中数学知识梳理
与解题指要 一、数学高考介绍二、数学知识梳理三、数学试题简析四、数学解题指要 (’99全国)向高为H的水瓶中注水，
注满为止，如果注水量V与水深h的
函数关系的图象如右图所示，那么
水瓶的形状是（ ）
一、高考数学命题的特点与要求高考数学命题的特点B 位置?数值 h H V V0 O f( )= = f ( x )+f ( )=1.（2002 全国）已知函数f (x)=
则 f( 1 )+f( 2 )+f( )+f( 3 )+f( )+f( 4 )+
f ( )= .结构特征 高考数学是考查数学基础的考试①基础知识
②基本技能
③基本数学思想方法
ａ、数形结合（转换策略）
ｂ、函数与方程（分析策略）
ｃ、分类讨论（分解策略）
ｄ、等价转换（分析策略）
①在高考数学命题中，经历了“以知识立意”到以“问题立意”，再发展为“以能力立意”的过程。
②以能力立意命题，保障了高考突出能力与学习 潜能考查的要求。
③以能力立意命题拓展了命题思路。
④以能力立意命题于题型设计，易于形成综合自 然、新颖脱俗的试题。
⑤以能力立意命题在全卷的整合时，对试题的整体布局、层次安排有高屋建瓴之势。。
⑥以能力立意命题促进了高考改革的深入发展。高考数学注重能力考查 3+4+6+6=19高考数学对难度和速度均有要求 木 桶 原 理知识要求
①了解
②理解和掌握
③灵活和综合运用
能力要求
①思维能力
②运算能力
③空间想像能力
④实践能力
⑤创新意识
个性品质要求高考数学的要求二、高考数学知识梳理与复习高考数学知识梳理 平面向量 ①理解向量的概念，掌握向量的几何表， 了解共线向量的概念。②掌握向量的加法与减法。 ③掌握实数与向量的积，理解两个向量 共线的充要条件。④了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
⑤掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
⑥掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用、掌握平移公式。①理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。了解空集和全集的意义。了解属 于、包含、相等关系的意义。掌握有关 的术语和符号，并会用它们正确表示一 些简单的集合。
②理解逻辑联结词“或”、“且”、“非” 的含义。理解四种命题及其相互关系，掌 握充分条件、必要条件及充要条件的意 义。集合、简易逻辑函数①了解映射的概念，理解函数的概念。
②了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
③了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。
④理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质。掌握指数函数的概念、图象和性质⑤理解对数的概念，掌握对数的运算性质， 掌握对数函数的概念、图像和性质。
⑥能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题。 ①理解不等式的性质及其证明。
②掌握两个（不扩展到三个）正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的定 理，并会简单的应用。
③掌握分析法、综合法、比较法证明简单 的不等式。
④掌握简单不等式的解法。
⑤理解不等式
∣a∣- ∣ b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣不等式①理解任意角的概念、弧度的意义，能正 确地进行弧度与角度的换算。
②掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 义。了解余切、正割、余割的定义 ，掌 握同角三角函数的基本关系式： sin2α+cos2α=1， ，tanαcotα=1。 掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期 函数与最小正周期的意义。
③掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切 公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。三角函数④能正确运用三角公式，进行简单的三角函 数式的化简、求值和恒等式证明。
⑤了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图 像和性质，会用“五点法”画正弦函数、 余弦函数和函数y=Asin（ωx+ψ）的简图， 理解A、ω、ψ的物理意义。
⑥会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinx、arccosx、arctanx表示。
⑦掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用 它们解斜三角形。①理解数列的概念，了解数列通项公式的 意义，了解递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前 几项。
②理解等差数列的概念，掌握等差数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。
③理解等比数列的概念，掌握等比数列的 通项公式与前n项和公式，并能解决简单 的实际问题。数列①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过 两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的 点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程。
②掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式。能够 根据直线的方程判断两条直线的位置关 系。
③了解二元一次不等式表示平面区域。直线和圆的方程④了解线性规划的意义，并会简单的应用。
⑤了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
⑥掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的 参数方程。①掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简 单几何性质。理解椭圆的参数方程。
②掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线
的简单几何性质。
③掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线 的简单几何性质。
④了解圆锥曲线的初步应用。圆锥曲线方程①掌握平面的基本性质，会作斜二测的画 法画水平放置的平面图形的直观图；能 够画出空间两条直线、直线和平面的各 种益关系的图形，能够根据图形想像它 们的位置关系。
②掌握直线和平面平行的判定定理和性质 定理；掌握直线和平面垂直的判定定 理；掌握三垂线定理及其逆定理。
③理解空间向量的概念，掌握空间向量的 加法、减法和数乘。直线、平面、简单几何体④了解空间向量的基本定理；理解空间向量 坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。
⑤掌握空间向量的数量积的定义及其性质； 掌握用直角坐标计算空间向量数量积的
公式；掌握空间两点间距离公式。
⑥理解直线的方向向量、平面的法向量、向 量在平面内的射影等概念。
⑦掌握直线和直线、直线和平面、平面和平 面所成的角、距离的概念。⑧了解多面体、凸多面体的概念，了解正多 面体的概念。
⑨了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画 直棱柱的直观图。
⑩了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会 画正棱锥的直观图。
11了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的 表面积、体积公式○
①掌握分类计数原理与分步计数原理，并 能用它们分析和解决一些简单的应用问 题。
②理解排列的意义，掌握排列数计算公 式，并能用它解决一些简单的应用问题。
③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和 组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。
④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并 能用它们计算和证明一些简单的问题。排列、组合、二项式定理①了解随机事件的发生存在着规律性的随 机事件概率的意义。
②了解等可能性事件的概率的意义，会用 排列组合的基本公式计算一些等可能性 事件的概率。
③了解互斥事件与相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的 概率。
④会计算事件在n次独立重复试验中恰好发 生k次概率。概率①了解随机抽样，了解分层抽样的意义， 会用它们对简单实际问题进行抽样。
②会用样本频率分布估计总体分布。
③会用样本估计总体期望值和方差。统计①了解导数概念的实际背景。
②理解导数的几何意义。
③掌握函数y=c（C为常数）、y=xn（n∈N+） 的导数公式，会求多项式函数的导数。
④理解极大值、极小值、最大值、最小值的 概念，并会用导数求多项式函数的单调区 间、极大值、极小值及闭区间上的最大值 和最小值。
⑤会利用导数求某些简单实际问题的最大 值和最小值。 导数设函数f(x)的导数为f ?(x), 且 f(x)=x3+2x f ?(1)
则 f ?(0)= ( ) A. 0 B. -3 C. -6 D. 6 理解 f ?(1)是常量 ∵ f ?(x)=3x2+2f ?(1), ∴ f ?(0)=2f ?(1). ① 又 f ?(1)=3+2f ?(1),∴ f ?(1)=-3.代入 ①式,得 f ?(0)=-6.高考复习“四字诀”②深层次挖掘教材
如：{an}为等差数列，a1、a2、a9成等比数列
则
题目的来源：选择特殊数列为背景，最常 见、最先想到的是自然数列，易知它满足条 件，所以选an=n。
再如函数这一部分，复习时可对y= 和 y=logax的图象和性质进行研究。广：天高任鸟飞 ①全面复习，知识和能力并重
②学会学习新：万变不离其宗
①“旧题”新解，追求优美
例如：过抛物线y2=x上一点（4，2），作倾
角互补的两条直线AB、AC交抛物线 B、C，求证：直线BC的斜率为定值。
思考： 按照与作图步骤相吻合的思路来求解。 解：设KAB=K，则，KAC=-K，AB的方程为 y=k（x-4）+2
因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程组
可求得KBC=再思考：在解题过程中，求B点坐标的计算量比较 大，应该想办法改进。我们还再回顾一下原来的解题程序。
设KAB→写直线AB、AC的方程→解出B、C→表示KBC改进：先设B、C坐标。
改进后的程序为：
设B、C坐标→求出KAB、KAC→表示KBC
设B（ ，t2），C（ ，t2）（∣t1∣≠∣t2∣）
这时KAB= ， KAC=
∵KAB=-KAC，即x0ABCy化简得：t1+2= -（t2+2）
下面怎么办？似乎迷失了方向。我们还是应该明确一下本题的目标。要证明KBC是一个定值，于是不妨先求出
KBC KBC=这就好了，原来是要证明t1+t2是定值。
这样，就自然想到将t1+2=-（t2+2）变形为 t1+t2= - 4
本题圆满获得解决。再改进：设B、C坐标→表示KBC→求出KAB、KAC②看透本质，新题通法。 “知识与技能”突出思想和智慧
程序性
主干性
这里的技能特性也有两点：
独立操作性：由重复再现过渡到独立 完成；
迁移性：通过联系的思想与转换的手 段达到灵活运用、举一反三和触类旁 通的目的。三、去年高考数学试题的亮点 例1 （高考第一题第6小题）某校为了了解学生的课外 阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某 一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图形 表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每 人的课外阅读时间为
A、0.6小时
B、0.9小时
C、1.0小时
D、1.5小时
解析 一天平均每人课外阅读时间为
=0.9（小时）
故选B。时间（小时）
0 0.5 1.0 1.5 2.0 x
y
20
15
10
5
人数（人）
例2（高考第一题第8小题）设k>1，f（x）=k（x-1） （x∈R）。在平面直角坐标系xOy中，函数 y=f(x)的图象与x轴变于A点，它的反函数
y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函
数的图象交于P点，已知四边形OAPB的面积是
3，则k等于（ ）
A、 3
B、
C、
D、0 1 A xy

1
Bp解析:依题意A（1，0），B（0，1）， y=f（x）与y=f-1（x）的交点必在 直线y=x上。
由 y=k（x-1），
y=x
解得：x=
因为S四边形OAPB=2S△OPA=2· ∣OA∣·∣xp∣= =3，
所以k= 。
故此选B“过程与方法”重视价值和策略
例3 (高考第二题第16小题)平面向量a、b
中，已知a=(4，-3)，∣b∣=1且a·b=5 则向量b= 。 [方法1] 设a与b夹角为θ。
则由a·b=5→∣a∣∣b∣cosθ=5
→5·1·cosθ=5
→cosθ=1
→θ=0o
所以b与a共线且方向相同，
b=（ ，- )。解析 解决本题至少可从这样两个角度思考[方法2] 设b=（x，y）
x2+y2=1 x=
4x-3y=5 y= -
或利用直线4x-3y=5与圆x2+y2=1相切的特征，借助几何图形，利用几何方法，求得切点坐标为（ ，- ）
b=（ ，- ）则 →“情感、态度与价值观”体现感悟和动力
例4（高考第六大题）制订投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考 虑可能出现的亏损。
某投资人打算投资甲、乙两个项目，根 据预测，甲、乙项目可能的最大利率分别 为100%为50%，可能的最大亏损率分别为 30%和10%，投资人计划投资金额超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资 多少万元，才能使可能的盈利最大？解析 设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
x+y≤10，
0.3X+0.1y≤1.8,
x≤0,
y≥0.
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域。
作直线L：x+0.5y=0，并作平行于直线L的一组直线。
X+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。Y
18
10
0 6 10 x
0.3x+0.1y=1.8
x+0.5y=0M(4,6)
x+y=10L解方程组
x+y=10
0.3x+0.1y=1.8
得x=4，y=6
此时z=1×4+0.5×6=7（万元）
因为7>0，
所以x=4，y=6时z取最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投 资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大。多思善想
思联系，网络知识，夯实基础
例1 α、β是两个不同的平面，m、n是 平面α及β之外的两条不同直线，给 出四个论断：①m⊥n，②α⊥β， ③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论 断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题 。 四、高考数学复习解题指要思路1：题目结构中a、b、c具有轮换对称性， 可将右式分为三个部分，用综合法易证： （a+b）， （b+c）， （a+c），三式相加即得。 例2 已知a>0，b>0，c>0，求证：
（a+b+c）
思多解，多方出击，培养思维的发散性是三角函数的特殊值，联系三角知识，可从右边证到左边。
思路2：（a+b）=asin+bcos=sin（+φ）≤（a+c）≤三式相加即得。（b+c）≤ B
α
a
b
A c同理： ≥ （a+c）
三式相加即得。 思路3 观察左边三个根式，联系立几知识，它们 是以a、b、c为三度的长方体的三个面的对 角线长度，可构造长方体来证明，如图:
∣AB∣= ，
a+b=∣AB∣sinα+∣AB∣cosα
= （sinα+cosα）
= sin（α+ ）
≤
所以 ≥ （a+b）思规律，找变化，触类旁通例3 试证以过椭圆的焦点的弦为直径的圆必 和椭圆相应的准线相离。
例4 已知异面直线a和b所成的角为50o，P为空间任一定点，则P点且与a、b所成的角都是30o的直线有且仅有 （ ）
　A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
在本题中50o和30o的设置对答案起着重要作用。因此，可通过改变50o和30o的大小来深化对这类题目的理解。（1）若将50o改为25o，其余条件不变，则答 案是 。
（2）若将50o改为65o，其余条件不变，则答 案 。
（3）若将30o改为70o，其余条件不变，则答 案是 。
（4）若将50o改为xo，30o改为yo，且答案为A， 则x、y的关系式为 ；若答案为B，则 x、y的关系为 ；若答案为C，则x、 y的关系为 ；若答案为D，则x、y的 关系为 。例5 求和S=（x+ ）+（x2+ ）+…+（xn+ ）
错解：
S=（x+x2+x3+…+xn）+( + + …+ )
= +
这是应用等比数列求和公式时很容易出现的 问题,按照等比数列求和公式,当公式q是一个不确 定的数时,求其前n项和,则要考虑q=1,q≠1两种情 况,因此应分四种情形求解:（1）x=1，y≠1；（2）x≠1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x≠1，y≠1思错处，找错因，提高辨别解题错误的能力例6 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和 这条抛物线相交于P1、P2两点，两个交点的 纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2
①已知条件不变时
a、求证：x1x2= ；
b、求焦点弦∣P1P2∣的长；
c、求△OP1P2的面积；
d、求焦点弦P1P2中点的轨迹方程；
e、求证 ：
f、求证：以焦点弦为直径的圆必与准线 相切。 思演变，层层深入，提高应变能力②改成逆命题：一条直线与抛物线y2=2px（p>0） 相交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，如果 满足y1y2=-p2（或x1x2= ），那么这条直线过 抛物线的焦点。
③已知条件不变，再附加条件“过P1、P2分别作x 轴的垂线，垂足为M1、M2”，求证： ∣OM1∣、∣OF∣、∣OM2∣成等比数列。
④已知条件不变，再附加条件“过焦点F，再作 一条与P1P2垂直的弦P3P4”，求以此两弦为对　　角线的内接四边形的面积的最小值。弄清问题（解题应从弄清问题开始）
　　①化简策略：从最复杂的地方开刀
　　②语言变换策略：用不同的语言重新叙述
　　③分析策略：假设问题已经解决
变换问题
　　①联想策略：联想一个熟悉的问题
　　②讨论策略：先解决问题的部分解题策略方法2：语言变换 数形结合。
f（x）=∣x+2∣，g（x）=∣x∣。方法1：讨论 分x≤-2，-2 （x+2）2≥x2 → x≥-1。解不等式∣x+2∣≥∣x∣
思路：化简 去掉绝对值符号。